Базис (линейная алгебра)

«Базовый вектор» перенаправляется сюда. Для базисного вектора в контексте кристаллов см. Кристаллическую структуру . Более общую концепцию физики см . в разделе «Система отсчета» .

«Основы (математика)» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. «Базис» .

Один и тот же вектор можно представить в двух разных основах (фиолетовая и красная стрелки).

В математике набор B если векторов в векторном пространстве V называется базисом ( мн.ч.: базисами ) каждый элемент V может быть записан уникальным образом как конечная линейная комбинация элементов B. , Коэффициенты этой линейной комбинации называются компонентами или координатами вектора относительно B . Элементы базиса называются базисные векторы .

Эквивалентно, набор B является базисом, если его элементы линейно независимы и каждый элемент V является линейной комбинацией элементов B . Другими словами, базис — это линейно независимое остовное множество .

Векторное пространство может иметь несколько баз; однако все базы имеют одинаковое количество элементов, называемое размерностью векторного пространства .

Эта статья посвящена в основном конечномерным векторным пространствам. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.

Определение

Базис ) — это B векторного пространства V над полем F например, числа R или комплексные числа C линейно независимое подмножество V действительные , охватывающее V. ( Это означает, что подмножество B из V является базисом, если оно удовлетворяет двум следующим условиям:

линейная независимость

для каждого конечного подмножества $\{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}$ из B , если $c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0}$ для некоторых $c_{1},\dotsc ,c_{m}$ в F , тогда $c_{1}=\cdots =c_{m}=0$;

охватывающее свойство

для каждого вектора v в V можно выбрать $a_{1},\dotsc ,a_{n}$ в фа и $\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}$ в B такой, что $\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}$.

Скаляры ​ $a_{i}$ называются координатами вектора v относительно базиса B и по первому свойству определяются однозначно.

Векторное пространство, имеющее конечный базис, называется конечномерным . В этом случае конечное подмножество можно взять за само B , чтобы проверить линейную независимость в приведенном выше определении.

Часто бывает удобно или даже необходимо упорядочить базисные векторы, например, при обсуждении ориентации или когда рассматривают скалярные коэффициенты вектора по отношению к базису, не ссылаясь явно на базисные элементы. В этом случае упорядочение необходимо для привязки каждого коэффициента к соответствующему базисному элементу. Такое упорядочение можно выполнить путем нумерации базовых элементов. Чтобы подчеркнуть, что порядок был выбран, говорят об упорядоченном базисе , который, следовательно, представляет собой не просто неструктурированное множество , но последовательность , индексированное семейство или что-то подобное; см. § Упорядоченные базы и координаты ниже.

Примеры

Эта картинка иллюстрирует стандартный базис в R. ² . Синий и оранжевый векторы — элементы основы; зеленый вектор может быть задан через базисные векторы и поэтому линейно зависит от них.

Набор Р ² упорядоченных пар действительных чисел представляет собой векторное пространство относительно операций покомпонентного сложения

$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$$

и скалярное умножение

$$\lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),$$

где $\lambda$ любое действительное число. Простой базис этого векторного пространства состоит из двух векторов e ₁ = (1, 0) и e ₂ = (0, 1) . Эти векторы образуют базис (называемый стандартным базисом ), поскольку любой вектор v = ( a , b ) из R ² может быть однозначно записано как

$$\mathbf {v} =a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}.$$

Любая другая пара линейно независимых векторов R ² , такой как (1, 1) и (−1, 2) , также образует базис R ² .

В более общем смысле, если F — поле , множество $F^{n}$ из n -кортежей элементов F является векторным пространством для аналогично определенного сложения и скалярного умножения. Позволять

$$\mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$$

— это n -кортеж, все компоненты которого равны 0, кроме i -го, который равен 1. Тогда $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ является основой $F^{n},$ который называется стандартным базисом $F^{n}.$

Другой вариант примера дают полиномиальные кольца . Если F — поле, совокупность F [ X ] всех многочленов из одного неопределенного X с коэффициентами из F является F -векторным пространством. Одним из базисов этого пространства является мономиальный базис B , состоящий из всех мономов :

$$B=\{1,X,X^{2},\ldots \}.$$

Любой набор полиномов, в котором существует ровно один полином каждой степени (например, базисные полиномы Бернштейна или полиномы Чебышева ), также является базисом. (Такой набор многочленов называется полиномиальной последовательностью .) Но есть также много базисов для F [ X ] , которые не имеют этого вида.

Свойства

Многие свойства конечных базисов являются результатом леммы обмена Стейница , которая утверждает, что для любого векторного пространства V , учитывая конечное остовное множество S и линейно независимое множество L из n элементов V , можно заменить n хорошо выбранных элементов S по элементам L, чтобы получить охватывающий набор, содержащий L , имеющий другие элементы в S и имеющий то же количество элементов что и S. ,

Большинство свойств, вытекающих из леммы об обмене Стейница, остаются верными, когда нет конечного остовного множества, но их доказательства в бесконечном случае обычно требуют аксиомы выбора или ее более слабой формы, такой как лемма об ультрафильтре .

Если V — векторное пространство над полем F , то:

• Если L — линейно независимое подмножество остовного множества S ⊆ V , то существует базис B такой, что
  $$L\subseteq B\subseteq S.$$
• V имеет базис (это предыдущее свойство, где L — пустое множество и S = ​​V ).
• Все базы V одинаковую мощность называется размерностью V. имеют , которая Это теорема размерности .
• Генераторный набор S является базисом V тогда и только тогда, когда он минимален, то есть ни одно подмножество S собственное также не является порождающим набором V .
• Линейно независимое множество L является базисом тогда и только тогда, когда оно максимально, т. е. не является собственным подмножеством ни одного линейно независимого множества.

Если V — векторное пространство размерности n , то:

• Подмножество V с n элементами является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимо.
• Подмножество V с n элементами является базисом тогда и только тогда, когда оно является охватывающим множеством V .

Пусть V — векторное пространство конечной размерности n над полем F и

$$B=\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}$$

основой В. быть По определению базиса каждый v в V может быть записан уникальным образом как

$$\mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n},$$

где коэффициенты $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ (то есть элементами F ), которые называются координатами v являются скалярами над B . Однако если говорить о наборе коэффициентов, то теряется соответствие между коэффициентами и базисными элементами, и несколько векторов могут иметь один и тот же набор коэффициентов. Например, $3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}$ и $2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}$ имеют одинаковый набор коэффициентов {2, 3} и различны. Поэтому часто удобно работать с упорядоченной основой ; обычно это делается путем индексации базисных элементов по первым натуральным числам. Тогда координаты вектора образуют аналогично индексируемую последовательность , и вектор полностью характеризуется последовательностью координат. Упорядоченный базис также называется фреймом — слово, обычно используемое в различных контекстах для обозначения последовательности данных, позволяющей определять координаты.

Пусть, как обычно, $F^{n}$ быть набором n -кортежей элементов F . Это множество представляет собой F -векторное пространство с покомпонентным определением сложения и скалярного умножения. Карта

$$\varphi :(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\mapsto \lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n}$$

является линейным изоморфизмом векторного пространства $F^{n}$ на В. ​Другими словами, $F^{n}$ - координатное пространство V -кортеж а n , $\varphi ^{-1}(\mathbf {v} )$ является вектором v . координатным

Обратное изображение по $\varphi$ из $\mathbf {b} _{i}$ это n -кортеж $\mathbf {e} _{i}$ все компоненты которого равны 0, кроме i -го, равного 1. $\mathbf {e} _{i}$ образуют упорядоченную основу $F^{n}$, который называется его стандартным базисом или каноническим базисом . Упорядоченный базис B — это образ $\varphi$ канонической основы $F^{n}$.

Из предыдущего следует, что каждый упорядоченный базис является образом линейного изоморфизма канонического базиса $F^{n}$, и что каждый линейный изоморфизм из $F^{n}$ на V можно определить как изоморфизм, отображающий канонический базис $F^{n}$ на заданный упорядоченный базис V . Другими словами, это эквивалентно определению упорядоченного базиса V или линейного изоморфизма из $F^{n}$ onto V .

Изменение основы

Основная статья: Изменение основы

Пусть V — векторное пространство размерности n над полем F . Даны две (упорядоченные) базы. $B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ и $B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})$ V x бывает полезно выразить координаты вектора часто относительно $B_{\mathrm {old} }$ в координатах относительно $B_{\mathrm {new} }.$ Это можно сделать с помощью формулы изменения базиса , которая описана ниже. Индексы «старый» и «новый» выбраны потому, что принято относиться к $B_{\mathrm {old} }$ и $B_{\mathrm {new} }$ как старый базис и новый базис соответственно. Полезно описывать старые координаты через новые, потому что, вообще говоря, есть выражения, включающие старые координаты, и если мы хотим получить эквивалентные выражения через новые координаты; это получается заменой старых координат их выражениями через новые координаты.

Обычно новые базисные векторы задаются их координатами над старым базисом, то есть

$$\mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.$$

Если $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ и $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ являются координатами вектора x по старому и новому базису соответственно, формула смены базиса имеет вид

$$x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},$$

для i = 1, ..., n .

Эту формулу можно кратко записать в матричной записи. Пусть A — матрица $a_{i,j}$, и

$$X={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}$$

— векторы-столбцы координат v в старом и новом базисе соответственно, то формула изменения координат имеет вид

$$X=AY.$$

Формулу можно доказать, рассмотрев разложение вектора x по двум основаниям: одно имеет

$$\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i},$$

и

$$\mathbf {x} =\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}{\biggr )}\mathbf {v} _{i}.$$

Тогда формула замены базиса является результатом единственности разложения вектора по базису, здесь $B_{\text{old}}$; то есть

$$x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},$$

для i = 1, ..., n .

Связанные понятия

Бесплатный модуль

Основные статьи: Свободный модуль и Свободная абелева группа.

Если заменить поле, встречающееся в определении векторного пространства, на кольцо , то получится определение модуля . Для модулей линейная независимость и связующие множества определяются точно так же, как и для векторных пространств, хотя « генерирующий набор » используется чаще, чем «охватывающий набор».

Как и в векторных пространствах, базис модуля — это линейно независимое подмножество, которое также является порождающим множеством. Основное отличие от теории векторных пространств состоит в том, что не каждый модуль имеет базис. Модуль, имеющий базис, называется свободным модулем . Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей, поскольку их можно использовать для описания структуры несвободных модулей посредством свободных разрешений .

Модуль над целыми числами — это то же самое, что и абелева группа . Таким образом, свободный модуль над целыми числами также является свободной абелевой группой. Свободные абелевы группы обладают особыми свойствами, которые не свойственны модулям других колец. В частности, каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой, и если G является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы H (то есть абелевой группы, имеющей конечный базис), то существует базис $\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$ числа H и целое число 0 ≤ k ≤ n такое, что $a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}$ является базисом G для некоторых ненулевых целых чисел $a_{1},\ldots ,a_{k}$. Подробности см. в разделе Свободная абелева группа § Подгруппы .

Анализ

В контексте бесконечномерных векторных пространств над действительными или комплексными числами термин Основа Гамеля (названа в честь Георга Гамеля ) или алгебраический базис можно использовать для обозначения базиса, определенного в этой статье. Это сделано для того, чтобы провести различие с другими понятиями «базиса», которые существуют, когда бесконечномерные векторные пространства наделены дополнительной структурой. Наиболее важными альтернативами являются ортогональные базисы на гильбертовых пространствах , базисы Шаудера и базисы Маркушевича на нормированных линейных пространствах . В случае действительных чисел R, рассматриваемых как векторное пространство над полем Q рациональных чисел, базисы Гамеля несчетны и имеют мощность континуума, которая является кардинальным числом. $2^{\aleph _{0}}$, где $\aleph _{0}$ ( алеф-ноль ) — наименьший бесконечный кардинал, кардинал целых чисел.

Общей чертой других понятий является то, что они позволяют брать бесконечные линейные комбинации базисных векторов для создания пространства. Это, конечно, требует, чтобы бесконечные суммы были осмысленно определены в этих пространствах, как в случае с топологическими векторными пространствами – большим классом векторных пространств, включающим, например, гильбертовы пространства , банаховы пространства или пространства Фреше .

Предпочтение других типов базисов для бесконечномерных пространств оправдано тем фактом, что базис Гамеля становится «слишком большим» в банаховых пространствах: если X — бесконечномерное нормированное векторное пространство, которое является полным (т. е. X — банахово пространство ), то любой гамелевский базис X обязательно несчетен . Это следствие теоремы Бэра о категориях . Полнота, а также бесконечная размерность являются ключевыми предположениями в предыдущем утверждении. Действительно, конечномерные пространства по определению имеют конечные базы, и существуют бесконечномерные ( неполные ) нормированные пространства, которые имеют счетные базы Гамеля. Учитывать $c_{00}$, пространство последовательностей $x=(x_{n})$ действительных чисел, имеющих лишь конечное число ненулевых элементов, с нормой ${\textstyle \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|}$. Его стандартный базис , состоящий из последовательностей, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1, является счетным базисом Гамеля.

Пример

Изучая ряды Фурье , можно узнать, что функции {1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... } являются «ортогональным базисом» (действительного или комплексное) векторное пространство всех (действительных или комплекснозначных) функций на интервале [0, 2π], интегрируемых с квадратом на этом интервале, т. е. функций f, удовлетворяющих

$$\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .$$

Функции {1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... } линейно независимы, и каждая функция f , интегрируемая с квадратом на [0, 2π], является «бесконечная линейная комбинация» их в том смысле, что

$$\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos \left(kx\right)+b_{k}\sin \left(kx\right)\right)-f(x){\biggr |}^{2}dx=0$$

для подходящих (действительных или комплексных) коэффициентов a _k , b _k . Но многие интегрируемые с квадратом функции не могут быть представлены как конечные линейные комбинации этих базисных функций, которые, следовательно, не содержат базиса Гамеля. Каждый гамелевский базис этого пространства намного больше, чем этот просто счетный набор функций. Базисы Гамеля пространств такого типа обычно бесполезны, тогда как ортонормированные базисы этих пространств необходимы для анализа Фурье .

Геометрия

Геометрические понятия аффинного пространства , проективного пространства , выпуклого множества и конуса имеют родственные понятия базиса . Аффинный базис n -мерного аффинного пространства — это $n+1$ точки в общем линейном положении . А проективная основа - это $n+2$ точки общего положения в проективном пространстве размерности n . А Выпуклая основа многогранника — это множество вершин его выпуклой оболочки . А конусная основа состоит из одной точки на ребре многоугольного конуса. См. также базис Гильберта (линейное программирование) .

Случайная основа

Для распределения вероятностей в R ^н с функцией плотности вероятности , такой как равнораспределение в n- мерном шаре относительно меры Лебега, можно показать, что n случайно и независимо выбранных векторов образуют базис с вероятностью единица , что связано с тем, что n линейно зависимые векторы x ₁ , ..., x _n в R ^н должно удовлетворять уравнению det[ x ₁ ⋯ x _n ] = 0 (нулевой определитель матрицы со столбцами x _i ), а множество нулей нетривиального многочлена имеет нулевую меру. Это наблюдение привело к появлению методов аппроксимации случайных базисов.

Эмпирическое распределение длин N попарно почти ортогональных цепочек векторов, независимо случайно выбранных из n -мерного куба [−1, 1] ^н как функция размера, n . На диаграммах показаны второй и третий квартили этих данных для каждого n , красные столбцы соответствуют медианам, а синие звездочки обозначают средние значения. Красная кривая показывает теоретическую границу, заданную уравнением. (1) и зеленая кривая показывают уточненную оценку.

Численно проверить линейную зависимость или точную ортогональность сложно. Поэтому используется понятие ε-ортогональности. Для пространств со скалярным произведением , x ε-ортогонален y если $\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|/\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|\right)<\varepsilon$ (то есть косинус угла между x и y меньше ε ).

В больших размерностях два независимых случайных вектора с высокой вероятностью почти ортогональны, а количество независимых случайных векторов, которые с заданной высокой вероятностью попарно почти ортогональны, растет экспоненциально с увеличением размерности. Точнее, рассмотрим равнораспределение в n -мерном шаре. Выберите N из шара независимых случайных векторов (они независимы и одинаково распределены ). Пусть θ — небольшое положительное число. Тогда для

$$N\leq {\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\varepsilon ^{2}n{\bigr )}{\sqrt {-\ln(1-\theta )}}$$

(уравнение 1)

Все N случайных векторов попарно ε-ортогональны с вероятностью 1 − θ . Это N растет экспоненциально с размерностью n и $N\gg n$ для достаточно большого n . Это свойство случайных базисов является проявлением так называемого явления концентрации меры .

Рисунок (справа) иллюстрирует распределение длин N попарно почти ортогональных цепочек векторов, которые независимо случайным образом выбираются из n -мерного куба [−1, 1] ^н как функция размера, n . Сначала в кубе случайным образом выбирается точка. Вторая точка выбирается случайным образом в том же кубе. Если угол между векторами находился в пределах π/2 ± 0,037π/2, то вектор сохранялся. На следующем этапе в том же гиперкубе генерируется новый вектор и вычисляются его углы с ранее сгенерированными векторами. Если эти углы находятся в пределах π/2 ± 0,037π/2, то вектор сохраняется. Процесс повторяется до тех пор, пока цепочка почти ортогональности не разорвется и не будет зафиксировано количество таких попарно почти ортогональных векторов (длина цепочки). Для каждого n численно для каждого измерения было построено 20 попарно почти ортогональных цепочек. Представлено распределение длины этих цепочек.

пространство имеет базис

Пусть V любое векторное пространство над некоторым полем F. — Пусть X — множество всех линейно независимых подмножеств V .

Множество X непусто, поскольку пустое множество является независимым подмножеством V и частично упорядочено включением, которое, как обычно, обозначается через ⊆ .

Пусть Y — подмножество X , полностью упорядоченное по ⊆ , и пусть L _Y — объединение всех элементов Y (которые сами являются определенными подмножествами V ).

Поскольку ( Y , ⊆) полностью упорядочено, каждое конечное подмножество L _Y является подмножеством элемента Y , который является линейно независимым подмножеством V , и, следовательно, линейно _LY независимо. образом, является _LY элементом X. Таким Следовательно, LY _Y является верхней границей , который содержит в ( X ⊆) : это элемент X каждый элемент Y. ,

Поскольку X непусто и каждое полностью упорядоченное подмножество ( X , ⊆) имеет верхнюю границу в X , лемма Цорна утверждает, что X имеет максимальный элемент. Другими словами, существует некоторый элемент L _max из X, удовлетворяющий условию, что всякий раз, когда L _max ⊆ L для некоторого элемента L из X , тогда L = L _max .

Осталось доказать, что L _max является базисом V . Поскольку L _max принадлежит X , мы уже знаем, что max _— линейно независимое подмножество V. L

Если бы существовал некоторый вектор w из V , который не находится в диапазоне L _max , то w также не был бы элементом L _max . Пусть L _ш знак равно L _макс ∪ { ш } . Это множество является элементом X , то есть линейно независимым подмножеством V (поскольку w не входит в диапазон L _max и L _max независим). Поскольку L _max ⊆ L _w и L _max ≠ L _w (поскольку L _w содержит вектор w, который не содержится в L _max ), это противоречит максимальности L _max . Таким образом, это показывает, что L _max охватывает V .

Следовательно, L _max линейно независима и охватывает V . Таким образом, это базис V , и это доказывает, что каждое векторное пространство имеет базис.

Это доказательство опирается на лемму Цорна, эквивалентную аксиоме выбора . И наоборот, было доказано, что если каждое векторное пространство имеет базис, то аксиома выбора верна. Таким образом, оба утверждения эквивалентны.

См. также

• Основа матроида
• Основа линейной программы
• Смена базиса – Изменение координат в линейной алгебре
• Рамка векторного пространства — аналогична основе векторного пространства, но не обязательно линейно независимы. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Сферический базис - базис, используемый для выражения сферических тензоров.

Ссылки

Общие ссылки

• Бласс, Андреас (1984), «Существование базисов подразумевает аксиому выбора» (PDF) , Аксиоматическая теория множеств , Современная математика, том 31, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 31–33, ISBN  978-0-8218-5026-8 , МР   0763890
• Браун, Уильям А. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк: М. Деккер, ISBN  978-0-8247-8419-5
• Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-96412-6

Исторические справки

• Банах, Стефан (1922), «Об операциях в абстрактных множествах и их применении к интегральным уравнениям» (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на французском языке), 3 : 133–181, doi : 10.4064/fm-3-1-133- 181 , ISSN   0016-2736
• Больцано, Бернар (1804 г.), Размышления о некоторых аспектах элементарной геометрии (на немецком языке)
• Бурбаки, Николя (1969), Элементы истории математики (на французском языке), Париж: Германн
• Дорье, Жан-Люк (1995), «Общий очерк возникновения теории векторного пространства» , Historia Mathematica , 22 (3): 227–261, doi : 10.1006/hmat.1995.1024 , MR   1347828
• Фурье, Жан Батист Жозеф (1822), Аналитическая теория тепла (на французском языке), Ше Фирмен Дидо, отец и сын
• Грассманн, Герман (1844), Теория линейного расширения - новая ветвь математики (на немецком языке) , переиздание: Герман Грассманн. Перевод Ллойда К. Канненберга. (2000), Теория расширения , Канненберг, LC, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-2031-5
• Гамель, Георг (1905), «Базис всех чисел и разрывные решения функционального уравнения f(x+y)=f(x)+f(y)» , Mathematical Annals (на немецком языке), 60 (3) , Лейпциг: 459–462, doi : 10.1007/BF01457624 , S2CID   120063569
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции по кватернионам , Королевская ирландская академия
• Мёбиус, Август Фердинанд (1827 г.), Барицентрическое исчисление: новая утилита для аналитической обработки геометрии ( на немецком языке), заархивировано из оригинала 12 апреля 2009 г.
• Мур, Грегори Х. (1995), «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875–1940», Historia Mathematica , 22 (3): 262–303, doi : 10.1006/hmat.1995.1025
• Пеано, Джузеппе (1888), Геометрическое исчисление согласно Ausdehnungslehre Х. Грассмана, которому предшествуют операции дедуктивной логики (на итальянском языке), Турин {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Внешние ссылки

• Обучающие видео от Академии Хана
  • Введение в основы подпространств
  • Доказательство того, что любой базис подпространств имеет одинаковое количество элементов.
• «Линейные комбинации, размах и базисные векторы» . Сущность линейной алгебры . 6 августа 2016 г. Архивировано из оригинала 17 ноября 2021 г. – на YouTube .
• «Базис» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]