Метрический тензор (общая теория относительности)

Эта статья о метриках в общей теории относительности . Для обсуждения метрических тензоров в целом см. метрический тензор .

${\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{pmatrix}}$ Метрический тензор пространства-времени в общей теории относительности, записанный в виде матрицы

В общей теории относительности метрический тензор (в этом контексте часто сокращенно просто метрика ) является фундаментальным объектом исследования. Метрика отражает всю геометрическую и причинную структуру пространства -времени и используется для определения таких понятий, как время, расстояние, объем, кривизна, угол и разделение будущего и прошлого.

В общей теории относительности метрический тензор играет роль гравитационного потенциала в классической теории гравитации, хотя физическое содержание связанных с ним уравнений совершенно иное. Гутфренд и Ренн говорят, «что в общей теории относительности гравитационный потенциал представлен метрическим тензором».

Обозначения и соглашения

В этой статье используется метрическая сигнатура , которая в основном положительна ( − + + + ); см . соглашение о знаках . Гравитационная постоянная $G$ будет оставаться явным. В этой статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании , при котором повторяющиеся индексы суммируются автоматически.

Определение

Математически пространство-время представляется четырехмерным дифференцируемым многообразием. $M$ а метрический тензор задается как ковариантный второй степени симметричный тензор на $M$, условно обозначаемый $g$. При этом метрика должна быть невырожденной с сигнатурой (− + + +) . Многообразие $M$ снабженное такой метрикой, является разновидностью лоренцева многообразия .

Явно метрический тензор представляет собой симметричную билинейную форму в каждом касательном пространстве $M$ которая меняется плавным (или дифференцируемым) образом от точки к точке. Учитывая два касательных вектора $u$ и $v$ в какой-то момент $x$ в $M$, метрика может быть оценена на $u$ и $v$ чтобы дать реальное число:

$$g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} .$$

Это обобщение скалярного произведения обычного евклидова пространства . В отличие от евклидова пространства, где скалярное произведение положительно определено , метрика неопределенна и придает каждому касательному пространству структуру пространства Минковского .

Локальные координаты и матричные представления

Физики обычно работают в локальных координатах (т.е. в координатах, определенных на каком-то локальном участке Земли). $M$). В местных координатах $x^{\mu }$ (где $\mu$ это индекс, который принимает значения от 0 до 3) метрику можно записать в виде

$$g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.$$

Факторы $dx^{\mu }$ являются одной формы градиентами скалярных координатных полей $x^{\mu }$. Таким образом, метрика представляет собой линейную комбинацию тензорных произведений однообразных градиентов координат. Коэффициенты $g_{\mu \nu }$ представляют собой набор из 16 вещественных функций (поскольку тензор $g$ — тензорное поле , определенное во всех точках пространственно-временного многообразия). Чтобы метрика была симметричной

$$g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },$$

дающий 10 независимых коэффициентов.

Если локальные координаты указаны или поняты из контекста, метрика может быть записана как 4 × 4 симметричная матрица с элементами $g_{\mu \nu }$. Невырожденность $g_{\mu \nu }$ означает, что эта матрица невырождена (т.е. имеет ненулевой определитель), а лоренцева сигнатура $g$ означает, что матрица имеет одно отрицательное и три положительных собственных значения . Физики часто ссылаются на эту матрицу или координаты $g_{\mu \nu }$ себя как метрику (см., однако, обозначение абстрактного индекса ).

С количествами $dx^{\mu }$ рассматриваемая как компоненты бесконечно малого четырехвектора смещения координат (не путать с одноформами того же обозначения выше), метрика определяет инвариантный квадрат бесконечно малого линейного элемента , часто называемого интервалом . Интервал часто обозначается

$$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.$$

Интервал $ds^{2}$ передает информацию о причинной структуре пространства-времени . Когда $ds^{2}<0$, интервал времениподобен и квадратный корень из абсолютного значения $ds^{2}$ это приращение собственного времени . Массивный объект может физически пересечь только времяподобные интервалы. Когда $ds^{2}=0$, интервал подобен свету, и его могут пересечь только (безмассовые) объекты, движущиеся со скоростью света. Когда $ds^{2}>0$, интервал пространственноподобен и квадратный корень из $ds^{2}$ действует как инкрементная собственная длина . Пространственноподобные интервалы невозможно пересечь, поскольку они связывают события, находящиеся вне световых конусов друг друга . События могут быть причинно связаны только в том случае, если они находятся внутри световых конусов друг друга.

Компоненты метрики зависят от выбора локальной системы координат. При смене координат $x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}$, компоненты метрики преобразуются как

$$g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.$$

Свойства

Метрический тензор играет ключевую роль в манипулировании индексами . В индексной записи коэффициенты $g_{\mu \nu }$ метрического тензора $\mathbf {g}$ обеспечить связь между ковариантными и контравариантными компонентами других тензоров. Сжатие контравариантного индекса тензора с одним из ковариантных коэффициентов метрического тензора приводит к снижению индекса

$$g_{\mu \nu }A^{\nu }=A_{\mu }$$

и аналогично контравариантный метрический коэффициент повышает индекс

$$g^{\mu \nu }A_{\nu }=A^{\mu }.$$

Применение этого свойства повышения и понижения индексов к самим компонентам метрического тензора приводит к свойству

$$g_{\mu \nu }g^{\nu \lambda }=\delta _{\mu }^{\lambda }$$

Для диагональной метрики (такой, для которой коэффициенты $g_{\mu \nu }=0,\,\forall \mu \neq \nu$; т. е. базисные векторы ортогональны друг другу), это означает, что данный ковариантный коэффициент метрического тензора является обратным соответствующему контравариантному коэффициенту $g_{00}=(g^{00})^{-1},g_{11}=(g^{11})^{-1}$, и т. д.

Примеры

Плоское пространство-время

Простейшим примером лоренцева многообразия является плоское пространство-время , которое можно записать как R ⁴ с координатами $(t,x,y,z)$ и метрика

$$ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.$$

Эти координаты фактически охватывают всю территорию R. ⁴ . Метрика плоского пространства (или метрика Минковского ) часто обозначается символом η и является метрикой, используемой в специальной теории относительности . В приведенных выше координатах матричное представление η имеет вид

$$\eta ={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$$

(Альтернативное соглашение заменяет координату $t$ к $ct$и определяет $\eta$ как в пространстве Минковского § Стандартный базис .)

В сферических координатах $(t,r,\theta ,\phi )$метрика плоского пространства принимает вид

$$ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}$$

где

$$d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}$$

— стандартная метрика на 2-сфере .

Метрики черной дыры

Метрика Шварцшильда описывает незаряженную, невращающуюся черную дыру. Существуют также метрики, описывающие вращающиеся и заряженные черные дыры.

Метрика Шварцшильда

Помимо метрики плоского пространства, наиболее важной метрикой в ​​общей теории относительности является метрика Шварцшильда , которую можно задать в одном наборе локальных координат формулой

$$ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}$$

где опять же $d\Omega ^{2}$ — стандартная метрика на 2-сфере . Здесь, $G$ гравитационная постоянная и $M$ является константой с размерами массы . Его вывод можно найти здесь . Метрика Шварцшильда приближается к метрике Минковского как $M$ приближается к нулю (за исключением начала координат, где оно не определено). Аналогично, когда $r$ стремится к бесконечности, метрика Шварцшильда приближается к метрике Минковского.

С координатами

$$\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,$$

метрику можно записать как

$$g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.$$

Для метрики Шварцшильда было разработано несколько других систем координат: координаты Эддингтона – Финкельштейна , координаты Гулстранда – Пенлеве , координаты Крускала – Секереса и координаты Леметра .

дыры

Решение Шварцшильда предполагает объект, который не вращается в пространстве и не заряжен. Чтобы учитывать заряд, метрика должна удовлетворять уравнениям поля Эйнштейна, как и раньше, а также уравнениям Максвелла в искривленном пространстве-времени. Заряженная невращающаяся масса описывается метрикой Рейсснера – Нордстрема .

Вращающиеся черные дыры описываются метрикой Керра и метрикой Керра-Ньюмана .

Другие показатели

См. Также: Список пространств-временей.

Другими примечательными показателями являются:

• Метрика Алькубьерре ,
• метрики де Ситтера / анти-де Ситтера ,
• метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера ,
• изотропные координаты ,
• метрика Леметра–Толмана ,
• метрика Переса ,
• Координаты Риндлера ,
• Координаты Вейля–Льюиса–Папапетру ,
• Метрика Гёделя .

Некоторые из них лишены горизонта событий или могут быть лишены гравитационной сингулярности .

Объем

Метрика g порождает естественную форму объема (с точностью до знака), которую можно использовать для интегрирования по определенной области многообразия. Учитывая местные координаты $x^{\mu }$ для многообразия форму объема можно записать

$$\mathrm {vol} _{g}=\pm {\sqrt {\left|\det(g_{\mu \nu })\right|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}$$

где $\det(g_{\mu \nu })$ – определитель матрицы компонент метрического тензора для данной системы координат.

Кривизна

Метрика $g$ полностью определяет кривизну пространства-времени. Согласно основной теореме римановой геометрии существует единственная связность ∇ , на любом полуримановом многообразии , совместная с метрикой и не имеющая кручения . Эта связь называется связью Леви-Чивита . Символы Кристоффеля этой связности даются через частные производные метрики в локальных координатах. $x^{\mu }$ по формуле

$$\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left({\frac {\partial g_{\rho \mu }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial g_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}}\right)={\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho }\right)$$

(где запятые обозначают частные производные ).

Тогда кривизна пространства-времени задается тензором кривизны Римана , который определяется в терминах связи Леви-Чивита ∇. В местных координатах этот тензор имеет вид:

$${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.$$

Тогда кривизна выражается чисто через метрику $g$ и его производные.

Уравнения Эйнштейна

Одна из основных идей общей теории относительности заключается в том, что метрика (и связанная с ней геометрия пространства-времени) определяется материей и энергетическим содержанием пространства -времени . Уравнения поля Эйнштейна :

$$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }$$

где тензор кривизны Риччи

$$R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }$$

и скалярная кривизна

$$R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$$

связать метрику (и связанные с ней тензоры кривизны) с тензором энергии-напряжения $T_{\mu \nu }$. Это тензорное уравнение представляет собой сложную систему нелинейных уравнений в частных производных для метрических компонент. Точные решения уравнений поля Эйнштейна найти очень сложно.

См. также

• Альтернативы общей теории относительности
• Введение в математику общей теории относительности
• Математика общей теории относительности
• Фигурное исчисление

Ссылки

• см . в ресурсах по общей теории относительности . Список ссылок