Математика общей теории относительности

Более доступное и менее техническое введение в эту тему см. Введение в математику общей теории относительности .

При изучении и формулировании Альберта Эйнштейна общей теории относительности различные математические используются структуры и методы. Основными инструментами, используемыми в этой геометрической теории гравитации , являются тензорные поля , определенные на лоренцевом многообразии, представляющем пространство-время . Эта статья представляет собой общее описание математики общей теории относительности.

Примечание. В статьях по общей теории относительности, использующих тензоры, будет использоваться абстрактная индексная нотация .

Тензоры

Принцип общей ковариантности был одним из центральных принципов развития общей теории относительности. Он утверждает, что законы физики должны принимать одну и ту же математическую форму во всех системах отсчета . Термин «общая ковариантность» использовался в ранней формулировке общей теории относительности, но теперь этот принцип часто называют « ковариацией диффеоморфизма ».

Ковариация диффеоморфизма не является определяющей особенностью общей теории относительности. ^[1] и остаются споры относительно его нынешнего статуса в общей теории относительности. Однако свойство инвариантности физических законов, заложенное в принципе, в сочетании с тем фактом, что теория носит по существу геометрический характер (с использованием неевклидовых геометрий ), предложили формулировать общую теорию относительности на языке тензоров . Это будет обсуждаться ниже.

Пространство-время как многообразие

Основные статьи: Пространство-время и топология пространства-времени

Большинство современных подходов к математической общей теории относительности начинаются с концепции многообразия . Точнее, основная физическая конструкция, представляющая гравитацию   —   искривленное пространство-время   —   моделируется четырехмерным гладким лоренцевым связным многообразием . Другие физические дескрипторы представлены различными тензорами, обсуждаемыми ниже.

Основанием для выбора многообразия в качестве фундаментальной математической структуры является отражение желаемых физических свойств. Например, в теории многообразий каждая точка содержится в (ни в коем случае не уникальной) координатной карте , и эту карту можно рассматривать как представляющую «локальное пространство-время» вокруг наблюдателя ( представленного точкой). Принцип локальной ковариации Лоренца , который утверждает, что законы специальной теории относительности выполняются локально относительно каждой точки пространства-времени, обеспечивает дополнительную поддержку в выборе структуры многообразия для представления пространства-времени, как локально вокруг точки на общем многообразии, области выглядит как' или очень близко приближается к пространству Минковского (плоскому пространству-времени).

Идея координатных карт как «местных наблюдателей, которые могут выполнять измерения поблизости», также имеет хороший физический смысл, поскольку именно так на самом деле собираются физические данные – локально. Для космологических задач карта координат может быть довольно большой.

глобальная

Важным различием в физике является различие между локальными и глобальными структурами. Измерения в физике выполняются в относительно небольшой области пространства-времени, и это одна из причин изучения локальной структуры пространства-времени в общей теории относительности, тогда как определение глобальной структуры пространства-времени важно, особенно в космологических проблемах.

Важная проблема общей теории относительности — определить, являются ли два пространства-времени «одинаковыми», по крайней мере локально. Эта проблема уходит корнями в теорию многообразий, где определяется, являются ли два римановых многообразия одной и той же размерности локально изометрическими («локально одинаковыми»). Эта последняя проблема была решена, и ее адаптация для общей теории относительности называется алгоритмом Картана – Карлхеде .

Тензоры в общей теории относительности

Дополнительная информация: Тензор

Одним из глубоких последствий теории относительности стала отмена привилегированных систем отсчета . Описание физических явлений не должно зависеть от того, кто проводит измерения: одна система отсчета должна быть не хуже любой другой. Специальная теория относительности продемонстрировала, что ни одна инерциальная система отсчета не является предпочтительной по сравнению с любой другой инерциальной системой отсчета, но предпочитает инерциальные системы отсчета неинерциальным системам отсчета. Общая теория относительности устранила предпочтение инерциальных систем отсчета, показав, что не существует предпочтительной системы отсчета (инерциальной или нет) для описания природы.

Любой наблюдатель может производить измерения, и полученные точные числовые величины зависят только от используемой системы координат. Это предложило способ формулирования теории относительности с использованием «инвариантных структур», которые не зависят от используемой системы координат (представленной наблюдателем), но при этом имеют независимое существование. Наиболее подходящей математической структурой оказался тензор. Например, при измерении электрических и магнитных полей, создаваемых ускоряющимся зарядом, значения полей будут зависеть от используемой системы координат, но поля считаются имеющими независимое существование, и эта независимость представлена ​​электромагнитным тензором .

Математически тензоры представляют собой обобщенные линейные операторы — полилинейные отображения . Таким образом, идеи линейной алгебры используются для изучения тензоров.

В каждой точке $p$многообразия точке можно построить касательное и . кокасательное пространства к многообразию в этой Векторы (иногда называемые контравариантными векторами ) определяются как элементы касательного пространства, а ковекторы (иногда называемые ковариантными векторами , но чаще двойственными векторами или одноформами ) являются элементами кокасательного пространства.

В $p$, эти два векторных пространства могут использоваться для построения типа $(r,s)$ тензоры, которые представляют собой вещественные многолинейные карты, действующие на прямую сумму $r$ копии котангенса пространства с $s$копии касательного пространства. Набор всех таких полилинейных карт образует векторное пространство, называемое тензорным пространством произведения типа $(r,s)$ в $p$ и обозначается $(T_{p})_{s}^{r}M.$ Если касательное пространство n-мерно, можно показать, что $\dim(T_{p})_{s}^{r}M=n^{r+s}.$

В литературе по общей теории относительности для тензоров принято использовать компонентный синтаксис.

Тип $(r,s)$ тензор можно записать как

$$T={T^{a_{1}\dots a_{r}}}_{{b_{1}}\dots {b_{s}}}{\frac {\partial }{\partial x^{a_{1}}}}\otimes \dots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{a_{r}}}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \dots \otimes dx^{b_{s}}$$

где ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{a_{i}}}}}$ является базисом i -го касательного пространства и $dx^{b_{j}}$ базис j -го кокасательного пространства.

Поскольку пространство-время считается четырехмерным, каждый индекс тензора может иметь одно из четырех значений. Следовательно, общее количество элементов, которыми обладает тензор, равно 4 ^р , где R — количество ковариантных $(b_{i})$ и контрвариантный $(a_{i})$ индексы на тензоре, $r+s$ (число, называемое рангом тензора).

и

Основные статьи: Антисимметричный тензор и Симметричный тензор

Некоторые физические величины представляются тензорами, не все компоненты которых независимы. Важными примерами таких тензоров являются симметричные и антисимметричные тензоры. Антисимметричные тензоры обычно используются для представления вращений (например, тензор завихренности ).

Хотя общий тензор ранга R в 4 измерениях имеет 4 ^р компонентов, ограничения на тензор, такие как симметрия или антисимметрия, служат для уменьшения количества различных компонентов. Например, симметричный тензор второго ранга $T$ удовлетворяет $T_{\alpha \beta }=T_{\beta \alpha }$ и имеет 10 независимых компонент, тогда как антисимметричный (кососимметричный) тензор второго ранга $P$ удовлетворяет $P_{\alpha \beta }=-P_{\beta \alpha }$и имеет 6 независимых компонентов. Для рангов больше двух пары симметричных или антисимметричных индексов должны быть явно идентифицированы.

Антисимметричные тензоры ранга 2 играют важную роль в теории относительности. Набор всех таких тензоров, часто называемых бивекторами , образует векторное пространство размерности 6, иногда называемое бивекторным пространством.

Метрический тензор

Основная статья: Метрический тензор (общая теория относительности)

Метрический тензор — центральный объект общей теории относительности, описывающий локальную геометрию пространства-времени (в результате решения уравнений поля Эйнштейна ). Используя приближение слабого поля , метрический тензор также можно рассматривать как представляющий «гравитационный потенциал». Метрический тензор часто называют просто «метрикой».

Метрика представляет собой симметричный тензор и является важным математическим инструментом. Помимо того, что он используется для повышения и понижения индексов тензора , он также генерирует связи , которые используются для построения уравнений геодезического движения и тензора кривизны Римана .

Удобный способ выражения метрического тензора в сочетании с приращенными интервалами координатного расстояния, к которым он относится, — через элемент линии :

$$ds^{2}=g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}$$

Этот способ выражения метрики использовался пионерами дифференциальной геометрии . Хотя некоторые релятивисты считают эту систему обозначений несколько старомодной, многие охотно переключаются между ней и альтернативной системой обозначений:

$$g=g_{ab}\,dx^{a}\otimes dx^{b}$$

Метрический тензор обычно записывается как матрица 4×4. Эта матрица симметрична и, следовательно, имеет 10 независимых компонентов.

Инварианты

Одной из центральных особенностей ОТО является идея инвариантности физических законов. Эту инвариантность можно описать разными способами, например, в терминах локальной ковариации Лоренца , общего принципа относительности или ковариации диффеоморфизма .

Более явное описание можно дать с помощью тензоров. Важнейшей особенностью тензоров, используемых в этом подходе, является тот факт, что (как только задана метрика) операция сжатия тензора ранга R по всем индексам R дает число - инвариант - которое не зависит от координатной карты, которую мы используем для выполнить сокращение. Физически это означает, что если инвариант вычислен любыми двумя наблюдателями, они получат одинаковое число, что позволяет предположить, что инвариант имеет какое-то независимое значение. Некоторые важные инварианты теории относительности включают:

• Скаляр Риччи : $R=R^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }$
• Скаляр Кречмана : $K=R^{abcd}R_{abcd}$

Другие примеры инвариантов в теории относительности включают электромагнитные инварианты и различные другие инварианты кривизны , некоторые из последних находят применение в изучении гравитационной энтропии и гипотезы кривизны Вейля .

Тензорные

Классификация тензоров представляет собой чисто математическую задачу. Однако в ОТО некоторые тензоры, имеющие физическую интерпретацию, могут быть классифицированы по различным формам тензоров, обычно соответствующим некоторой физике. Примеры тензорных классификаций, полезных в общей теории относительности, включают классификацию Сегре тензора энергии -импульса и классификацию Петрова тензора Вейля . Существуют различные методы классификации этих тензоров, некоторые из которых используют тензорные инварианты.

Тензорные поля в

Основная статья: Тензорное поле

Тензорные поля на многообразии — это отображения, которые присоединяют тензор к каждой точке многообразия . Это понятие можно уточнить, введя идею расслоения , что в данном контексте означает сбор всех тензоров во всех точках многообразия, таким образом «объединяя» их всех в один грандиозный объект, называемый тензорным расслоением . Тензорное поле тогда определяется как отображение многообразия в тензорное расслоение, каждая точка $p$ связанный с тензором в $p$.

Понятие тензорного поля имеет важное значение в ОТО. Например, геометрия вокруг звезды описывается метрическим тензором в каждой точке, поэтому в каждой точке пространства-времени значение метрики должно быть задано для определения путей материальных частиц. Другой пример — значения электрического и магнитного полей (задаваемые тензором электромагнитного поля ) и метрика в каждой точке вокруг заряженной черной дыры для определения движения заряженной частицы в таком поле.

Векторные поля представляют собой контравариантные тензорные поля первого ранга. Важные векторные поля в теории относительности включают четырехскоростное , $U^{a}={\dot {x}}^{a}$, которое представляет собой координатное расстояние, пройденное за единицу собственного времени, четырехускоренное $A^{a}={\ddot {x}}^{a}$ и четырехток $J^{a}$описывающие плотность заряда и тока. Другие физически важные тензорные поля в теории относительности включают следующее:

• напряжения Тензор энергии- $T^{ab}$, симметричный тензор второго ранга.
• поля Тензор электромагнитного $F^{ab}$, антисимметричный тензор второго ранга.

Хотя слово «тензор» относится к объекту в определенной точке, тензорные поля в пространстве-времени (или его области) обычно называют просто «тензорами».

В каждой точке пространства -времени , в которой определена метрика, метрика может быть приведена к форме Минковского с помощью закона инерции Сильвестра .

Тензорные производные

До появления общей теории относительности изменения физических процессов обычно описывались частными производными , например, при описании изменений электромагнитных полей (см. уравнения Максвелла ). Даже в специальной теории относительности частной производной все еще достаточно для описания таких изменений. Однако в общей теории относительности обнаружено, что необходимо использовать производные, которые также являются тензорами. Производные имеют некоторые общие черты, в том числе то, что они являются производными по интегральным кривым векторных полей.

Проблема определения производных на многообразиях неплоских заключается в том, что не существует естественного способа сравнения векторов в разных точках. Для определения производных требуется дополнительная структура на общем многообразии. Ниже описаны две важные производные, которые можно определить, наложив в каждом случае дополнительную структуру на многообразие.

Аффинные соединения

Основная статья: Аффинное соединение

Кривизну пространства -времени можно охарактеризовать, взяв вектор в некоторой точке и параллельно транспортируя его по кривой пространства-времени. Аффинная связность — это правило, которое описывает, как законно перемещать вектор по кривой многообразия, не меняя его направления.

По определению, аффинная связность — это билинейное отображение. $\Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\to \Gamma (TM)$, где $\Gamma (TM)$представляет собой пространство всех векторных полей в пространстве-времени. Это билинейное отображение можно описать с помощью набора коэффициентов связи (также известных как символы Кристоффеля ), определяющих, что происходит с компонентами базисных векторов при бесконечно малой параллельной транспортировке:

$$\nabla _{e_{i}}e_{j}=\Gamma _{ji}^{k}e_{k}$$

Несмотря на свой внешний вид, коэффициенты связи не являются компонентами тензора .

Вообще говоря, существуют $D^{3}$независимые коэффициенты связи в каждой точке пространства-времени. Соединение называется симметричным или без кручения , если $\Gamma _{ji}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}$. Симметричное соединение имеет не более ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}D^{2}(D+1)}$ уникальные коэффициенты.

Для любой кривой $\gamma$ и две точки $A=\gamma (0)$ и $B=\gamma (t)$ на этой кривой аффинная связность приводит к отображению векторов в касательном пространстве в точке $A$ на векторы в касательном пространстве при $B$:

$$X(t)=\Pi _{0,t,\gamma }X(0)$$

и $X(t)$ можно вычислить покомпонентно, решив дифференциальное уравнение

$${\frac {d}{dt}}X^{i}(t)=\nabla _{C(t)}X^{i}(t)=\Gamma _{jk}^{i}X^{j}(t)C^{k}(t)$$

где $C^{j}(t)$ вектор, касательный к кривой в точке $\gamma (t)$.

Важным аффинным соединением в общей теории относительности является соединение Леви-Чивита , которое представляет собой симметричное соединение, полученное в результате параллельного переноса касательного вектора вдоль кривой, сохраняя при этом скалярное произведение этого вектора постоянным вдоль кривой. Результирующие коэффициенты связи ( символы Кристоффеля ) можно рассчитать непосредственно из метрики . По этой причине этот тип соединения часто называют метрическим соединением .

Ковариантная производная

Основная статья: Ковариантная производная

Позволять $X$ быть точкой, ${\vec {A}}$ вектор, расположенный в $X$, и ${\vec {B}}$векторное поле. Идея дифференциации ${\vec {B}}$ в $X$ по направлению ${\vec {A}}$ физически значимым образом можно понять, выбрав аффинную связность и параметризованную гладкую кривую. $\gamma (t)$ такой, что $X=\gamma (0)$ и ${\textstyle {\vec {A}}={\frac {d}{dt}}\gamma (0)}$. Формула

$$\nabla _{\vec {A}}{\vec {B}}(X)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\left[\Pi _{(\varepsilon ,0,\gamma )}{\vec {B}}(\gamma [\varepsilon ])-{\vec {B}}(X)\right]$$

для ковариантной производной ${\vec {B}}$ вдоль ${\vec {A}}$ связанный с подключением $\Pi$ оказывается, дает результаты, независимые от кривой, и может использоваться как «физическое определение» ковариантной производной.

Его можно выразить с помощью коэффициентов связи:

$$\nabla _{\vec {Y}}{\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c})Y^{b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$$

Выражение в скобках, называемое ковариантной производной $X$ (по связи) и обозначается $\nabla {\vec {X}}$, чаще используется в расчетах:

$$\nabla {\vec {X}}=X^{a}{}_{;b}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}=(X^{a}{}_{,b}+\Gamma _{bc}^{a}X^{c}){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\otimes dx^{b}$$

Ковариантная производная $X$ таким образом, можно рассматривать как дифференциальный оператор , действующий на векторное поле, переводящий его в тензор типа (1, 1) (увеличивая ковариантный индекс на 1), и может быть обобщен для действия на тип $(r,s)$ тензорные поля, отправляющие их на ввод $(r,s+1)$тензорные поля. Тогда понятия параллельного транспорта можно определить так же, как и в случае векторных полей. По определению, ковариантная производная скалярного поля равна регулярной производной поля.

В литературе распространены три способа обозначения ковариантной дифференциации:

$$D_{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=\nabla _{a}T_{d\dots e}^{b\dots c}=T_{d\dots e;a}^{b\dots c}$$

Многие стандартные свойства регулярных частных производных также применимы к ковариантным производным:

$${\begin{aligned}\nabla _{a}(X^{b}+Y^{b})&=\nabla _{a}X^{b}+\nabla _{a}Y^{b}\\\nabla _{a}(cX^{b})&=c\nabla _{a}X^{b}&&c{\text{ a constant}}\\\nabla _{a}(X^{b}Y^{c})&=Y^{c}(\nabla _{a}X^{b})+X^{b}(\nabla _{a}Y^{c})\\\nabla _{a}(f(x)X^{b})&=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}\nabla _{a}f=f\nabla _{a}X^{b}+X^{b}{\partial f \over \partial x^{a}}\\\end{aligned}}$$

В общей теории относительности обычно называют «ковариантную производную», которая связана с аффинной связью Леви-Чивита. По определению связность Леви-Чивита сохраняет метрику при параллельном переносе, поэтому ковариантная производная дает ноль при воздействии на метрический тензор (а также на его обратную величину). Это означает, что мы можем использовать (обратный) метрический тензор в производной и использовать его для повышения и понижения индексов:

$$\nabla _{a}T^{b}=\nabla _{a}(T_{c}g^{bc})=g^{bc}\nabla _{a}T_{c}$$

Производная Лия

Основные статьи: Производная Ли и симметрии пространства-времени

Другая важная тензорная производная — это производная Ли. В отличие от ковариантной производной, производная Ли не зависит от метрики, хотя в общей теории относительности обычно используют выражение, которое, по-видимому, зависит от метрики через аффинную связность. В то время как ковариантная производная требовала аффинной связи, чтобы обеспечить возможность сравнения векторов в разных точках, производная Ли использует сравнение векторного поля для достижения той же цели. Идея о том, что Ли перетаскивает функцию вдоль сравнения, приводит к определению производной Ли, где перетаскиваемая функция сравнивается со значением исходной функции в данной точке. Производную Ли можно определить для типа $(r,s)$ тензорные поля и в этом отношении могут рассматриваться как карта, которая отправляет тип $(r,s)$ к типу $(r,s)$ тензор.

Производную Ли обычно обозначают ${\mathcal {L}}_{X}$, где $X$ – векторное поле, по конгруэнции которого берется производная Ли.

Производная Ли любого тензора вдоль векторного поля может быть выражена через ковариантные производные этого тензора и векторного поля. Производная Ли скаляра — это просто производная по направлению:

$${\mathcal {L}}_{X}\phi =X^{a}\nabla _{a}\phi =X^{a}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{a}}}$$

Объекты более высокого ранга приобретают дополнительные члены при использовании производной Ли. Например, производная Ли тензора типа (0, 2) равна

$${\mathcal {L}}_{X}T_{ab}=X^{c}\nabla _{c}T_{ab}+(\nabla _{a}X^{c})T_{cb}+(\nabla _{b}X^{c})T_{ac}=X^{c}T_{ab,c}+X_{,a}^{c}T_{cb}+X_{,b}^{c}T_{ac}$$

В более общем смысле,

$${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}&T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{b_{1}\dots b_{s}}=X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-\\&\quad (\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\cdots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\dots b_{s}}+\\&\quad (\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{c\dots b_{s}}+\cdots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\dots a_{r}}{}_{b_{1}\dots b_{s-1}c}\end{aligned}}$$

Фактически в приведенном выше выражении можно заменить ковариантную производную $\nabla _{a}$ с любым соединением без скручивания ${\tilde {\nabla }}_{a}$ или локально, с производной, зависящей от координаты $\partial _{a}$, показывая, что производная Ли не зависит от метрики. Однако ковариантная производная удобна, поскольку она коммутирует с повышением и понижением индексов.

Одно из основных применений производной Ли в общей теории относительности — изучение симметрии пространства-времени, при которой сохраняются тензоры или другие геометрические объекты. В частности, симметрия Киллинга (симметрия метрического тензора при лиевом перетаскивании) очень часто встречается при изучении пространства-времени. Используя приведенную выше формулу, мы можем записать условие, которое должно выполняться для того, чтобы векторное поле порождало симметрию Киллинга:

$${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}g_{ab}=0&\Longleftrightarrow \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0\\&\Longleftrightarrow X^{c}g_{ab,c}+X_{,a}^{c}g_{bc}+X_{,b}^{c}g_{ac}=0\end{aligned}}$$

Римана

Основная статья: Тензор Римана (общая теория относительности)

Важнейшей особенностью общей теории относительности является концепция искривленного многообразия. Полезным способом измерения кривизны многообразия является использование объекта, называемого тензором Римана (кривизны).

Этот тензор измеряет кривизну с помощью аффинной связи , учитывая эффект параллельной транспортировки вектора между двумя точками вдоль двух кривых. Расхождение между результатами этих двух параллельных транспортных маршрутов по существу количественно выражается тензором Римана .

Это свойство тензора Римана можно использовать для описания того, как расходятся изначально параллельные геодезические. Это выражается уравнением геодезического отклонения и означает, что приливные силы , возникающие в гравитационном поле, являются результатом искривления пространства-времени .

Используя описанную выше процедуру, тензор Римана определяется как тензор типа (1, 3) и при полной записи в явном виде содержит символы Кристоффеля и их первые частные производные. Тензор Римана имеет 20 независимых компонент. Исчезновение всех этих компонентов в определенной области указывает на то, что пространство-время в этой области плоское . С точки зрения геодезического отклонения это означает, что первоначально параллельные геодезические в этой области пространства-времени останутся параллельными.

Тензор Римана обладает рядом свойств, иногда называемых симметриями тензора Римана . Особое значение для общей теории относительности имеют алгебраические и дифференциальные тождества Бьянки.

Связь и кривизна любого риманова многообразия тесно связаны с теорией групп голономии , которые формируются путем взятия линейных карт, определенных параллельным переносом вокруг кривых на многообразии, обеспечивая описание этих отношений.

Тензор Римана позволяет нам математически определить, является ли пространство плоским или, если оно искривлено, насколько сильно искривлено пространство в той или иной данной области. Чтобы вывести тензор кривизны Римана, необходимо сначала вспомнить определение ковариантной производной тензора с одним и двумя индексами;

1. $$\nabla _{\mu }V_{\nu }=\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }$$
2. $$\nabla _{\sigma }[V_{\mu \nu }]=\partial _{\sigma }V_{\mu \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }V_{\rho \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }V_{\mu \rho }$$

Для формирования тензора Римана дважды берется ковариантная производная по тензору первого ранга. Уравнение составляется следующим образом;

$${\begin{aligned}\nabla _{\sigma ;\mu }V_{\nu }&=\nabla _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]\\&=\partial _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\nabla _{\rho }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\nabla _{\mu }V_{\rho }]\\&=\partial _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }[\partial _{\rho }V_{\nu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }[\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }]\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\\&=\partial _{\sigma }\partial _{\mu }V_{\nu }-\partial _{\sigma }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }\partial _{\sigma }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }V_{\alpha }\end{aligned}}$$

Аналогично имеем:

$$\nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=\partial _{\mu }\partial _{\sigma }V_{\nu }-\partial _{\mu }(\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma })V_{\alpha }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }\partial _{\mu }(V_{\alpha })-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\partial _{\rho }V_{\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \rho }V_{\alpha }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\partial _{\sigma }V_{\rho }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }V_{\alpha }$$

Вычитание двух уравнений, замена фиктивных индексов и использование симметрии символов Кристоффеля дает:

$$\nabla _{\sigma ;\mu }V_{\nu }-\nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma })V_{\alpha }$$

или

$$R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }V_{\alpha }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }b-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma })V_{\alpha }$$

Наконец, тензор кривизны Римана записывается как

$$R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\nu \mu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\rho \sigma }$$

Вы можете сжать индексы, чтобы сделать тензор ковариантным, просто умножая на метрику, что будет полезно при работе с уравнениями поля Эйнштейна :

$$g_{\alpha \lambda }R_{\nu \mu \sigma }^{\lambda }=R_{\alpha \nu \mu \sigma }$$

и при дальнейшем разложении

$$g^{\alpha \mu }R_{\alpha \nu \mu \sigma }=R_{\nu \sigma }$$

Этот тензор называется тензором Риччи , который также можно получить, полагая $\alpha$ и $\mu$в тензоре Римана к тому же индексу и суммирование по ним. Тогда скаляр кривизны можно найти, пройдя еще один шаг:

$$g^{\nu \sigma }R_{\nu \sigma }=R$$

Итак, теперь у нас есть 3 разных объекта,

1. Римана тензор кривизны : $R_{\nu \mu \sigma }^{\alpha }$ или $R_{\alpha \nu \mu \sigma }$
2. Риччи тензор : $R_{\nu \sigma }$
3. скалярная кривизна : $R$

все это полезно при вычислении решений уравнений поля Эйнштейна.

энергии

Основная статья: Тензор энергии-импульса (общая теория относительности)

Источники любого гравитационного поля (материи и энергии) представлены в теории относительности симметричным тензором типа (0, 2), называемым тензором энергии-импульса . Он тесно связан с тензором Риччи . Будучи тензором второго ранга в четырех измерениях, тензор энергии-импульса можно рассматривать как матрицу размером 4 на 4. Различные допустимые типы матриц, называемые жордановыми формами , не могут все существовать, поскольку энергетические условия , которым вынужден удовлетворять тензор энергии-импульса, исключают определенные формы.

Энергосбережение

В специальной и общей теории относительности существует локальный закон сохранения энергии-импульса. Это можно кратко выразить тензорным уравнением:

$$T^{ab}{}_{;b}=0$$

Это иллюстрирует практическое правило , согласно которому «частные производные переходят в ковариантные производные».

Уравнения

Основная статья: уравнения поля Эйнштейна

Смотрите также: Решения уравнений поля Эйнштейна.

Уравнения поля Эйнштейна (УЭУ) составляют основу общей теории относительности. EFE описывает, как масса и энергия (как представлено в тензоре энергии-напряжения ) связаны с кривизной пространства-времени (как представлено в тензоре Эйнштейна ). В абстрактной индексной записи EFE выглядит следующим образом:

$$G_{ab}+\Lambda g_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab}$$

где $G_{ab}$ – тензор Эйнштейна , $\Lambda$ — космологическая постоянная , $g_{ab}$ – метрический тензор , $c$ скорость света в вакууме и $G$ — гравитационная постоянная , вытекающая из закона всемирного тяготения Ньютона .

Решениями ЭФЭ являются метрические тензоры. EFE, представляющее собой нелинейное дифференциальное уравнение для метрики, часто трудно решить. Для их решения используется ряд стратегий. Например, одна из стратегий состоит в том, чтобы начать с анзаца (или обоснованного предположения) окончательной метрики и уточнять ее до тех пор, пока она не станет достаточно конкретной, чтобы поддерживать систему координат, но при этом достаточно общей, чтобы дать набор одновременных дифференциальных уравнений с неизвестными, которые можно решить для. Метрические тензоры, возникающие в случаях, когда результирующие дифференциальные уравнения могут быть решены точно для физически разумного распределения энергии-импульса, называются точными решениями . Примеры важных точных решений включают решение Шварцшильда и решение Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера .

Приближение EIH плюс другие ссылки (например, Героч и Янг, 1975 - «Движение тела в общей теории относительности», JMP, Том 16, Выпуск 1).

Уравнения геодезии

Основная статья: Геодезика (общая теория относительности)

После того как ЭФЭ решены для получения метрики, остается определить движение инерциальных объектов в пространстве-времени. В общей теории относительности предполагается, что инерционное движение происходит вдоль времениподобных и нулевых геодезических пространств-времени, параметризованных собственным временем . Геодезические - это кривые, которые параллельно переносят свой собственный касательный вектор. ${\vec {U}}$; то есть $\nabla _{\vec {U}}{\vec {U}}=0$. Это условие, уравнение геодезических , можно записать в системе координат $x^{a}$ с касательным вектором $U^{a}={\frac {dx^{a}}{d\tau }}$:

$${\ddot {x}}^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\,{\dot {x}}^{b}\,{\dot {x}}^{c}=0$$

где ${\dot {}}$ обозначает производную по собственному времени, $d/d\tau$, где τ параметризует собственное время вдоль кривой и демонстрирует наличие символов Кристоффеля .

Принципиальной особенностью общей теории относительности является определение путей частиц и излучения в гравитационных полях. Это достигается путем решения уравнений геодезических .

ЭФЭ связывает общее распределение материи (энергии) с искривлением пространства-времени . Их нелинейность приводит к проблеме определения точного движения материи в результирующем пространстве-времени. Например, в системе, состоящей из одной планеты, вращающейся вокруг звезды , движение планеты определяется путем решения уравнений поля с тензором энергии-импульса, представляющим собой сумму тензоров для планеты и звезды. Гравитационное поле планеты влияет на общую геометрию пространства-времени и, следовательно, на движение объектов. Поэтому разумно предположить, что уравнения поля можно использовать для вывода уравнений геодезических.

Когда тензор энергии-импульса системы представляет собой тензор пыли , с помощью локального закона сохранения тензора энергии-импульса можно показать, что уравнения геодезических точно удовлетворяются.

Лагранжева

Основная статья: Вариационные методы в общей теории относительности

Вопрос вывода уравнений движения или уравнений поля в любой физической теории рассматривается многими исследователями как актуальный. Достаточно универсальным способом выполнения этих выводов является использование методов вариационного исчисления , основными объектами, используемыми при этом, являются лагранжианы .

Многие считают этот подход элегантным способом построения теории, другие — просто формальным способом выражения теории (обычно лагранжево построение выполняется после того , как теория разработана).

Математические методы анализа

Обрисовав основные математические структуры, использованные при формулировании теории, мы теперь обсудим некоторые важные математические методы, используемые при исследовании пространства-времени.

Поля кадра

Основная статья: Поля фрейма в общей теории относительности

Поле кадра — это ортонормированный набор из 4 векторных полей (1 времяподобное, 3 пространственноподобных), определенных в пространстве-времени . Каждое поле кадра можно рассматривать как представляющее наблюдателя в пространстве-времени, движущегося по интегральным кривым времениподобного векторного поля. Любая тензорная величина может быть выражена через поле репера, в частности, метрический тензор особенно удобную форму принимает . В сочетании с полями кофрейма поля фрейма предоставляют мощный инструмент для анализа пространства-времени и физической интерпретации математических результатов.

Поля векторов симметрии

Основная статья: Симметрии пространства-времени

Некоторые современные методы анализа пространства-времени в значительной степени полагаются на использование пространственно-временных симметрий, которые бесконечно генерируются векторными полями (обычно определяемыми локально) в пространстве-времени, которые сохраняют некоторые особенности пространства-времени. К наиболее распространенному типу таких векторных полей симметрии относятся векторные поля Киллинга (которые сохраняют метрическую структуру) и их обобщения, называемые обобщенными векторными полями Киллинга . Векторные поля симметрии находят широкое применение при изучении точных решений в общей теории относительности , и совокупность всех таких векторных полей обычно образует конечномерную алгебру Ли .

Задача Коши

Основная статья: Формулировка начального значения (общая теория относительности)

Задача Коши (иногда называемая проблемой начального значения) — это попытка найти решение дифференциального уравнения с учетом начальных условий. В контексте общей теории относительности это означает задачу поиска решений уравнений поля Эйнштейна — системы гиперболических уравнений в частных производных — при наличии некоторых начальных данных на гиперповерхности. Изучение задачи Коши позволяет сформулировать понятие причинности в общей теории относительности, а также «параметризировать» решения уравнений поля. В идеале хочется глобальных решений , но обычно локальные решения — лучшее, на что можно надеяться. Обычно решение этой задачи начального значения требует выбора определенных координатных условий .

Спинорный

Спиноры находят несколько важных приложений в теории относительности. их использование как метода анализа пространства-времени с помощью тетрад , в частности, в формализме Ньюмана–Пенроуза Важно .

Еще одна привлекательная особенность спиноров в общей теории относительности — это сокращенный способ записи некоторых тензорных уравнений с использованием спинорного формализма. Например, при классификации тензора Вейля определение различных типов Петрова становится намного проще по сравнению с тензорным аналогом.

Исчисление Редже

Основная статья: исчисление Редже

Исчисление Редже — это формализм, который разбивает лоренцево многообразие на дискретные «куски» (четырехмерные симплициальные блоки ), а длины ребер блока принимаются в качестве основных переменных. Дискретная версия действия Эйнштейна-Гильберта получается путем рассмотрения так называемых углов дефицита этих блоков, нулевого угла дефицита, соответствующего отсутствию кривизны. Эта новая идея находит применение в методах приближения в числовой теории относительности и квантовой гравитации , причем последняя использует обобщение исчисления Редже.

Теоремы

Основная статья: Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях

В общей теории относительности было отмечено, что при довольно общих условиях гравитационный коллапс неизбежно приведет к так называемой сингулярности . Сингулярность — это точка, в которой решения уравнений становятся бесконечными, что указывает на то, что теория исследовалась в неподходящих диапазонах.

Численная относительность

Основная статья: Численная теория относительности

Численная теория относительности — это раздел общей теории относительности, который пытается решить уравнения Эйнштейна с помощью численных методов. Методы конечных разностей , конечных элементов и псевдоспектральные используются для аппроксимации решения уравнений в частных производных возникающих . Новые методы, разработанные численной относительностью, включают метод вырезания и метод прокола для борьбы с сингулярностями, возникающими в пространстве-времени черной дыры. Общие темы исследований включают черные дыры и нейтронные звезды.

Методы возмущения

Основная статья: Методы возмущений в общей теории относительности

Нелинейность уравнений поля Эйнштейна часто заставляет при их решении рассматривать аппроксимационные методы. Например, важным подходом является линеаризация уравнений поля . методы теории возмущений В таких областях широко применяются .

См. также

• Исчисление Риччи - обозначение тензорного индекса для вычислений на основе тензоров

Примечания

^[1] Определяющей особенностью (центральной физической идеей) общей теории относительности является то, что материя и энергия вызывают искривление окружающей геометрии пространства-времени.

Ссылки

• Эйнштейн, А. (1961). Теория относительности: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8 .
• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN  0-7167-0344-0 .
• Ландау, Л.Д. и Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое исправленное английское изд.). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7 .
• Петров, АН; Копейкин С.М.; Текин Б. и Ломпай Р. (2017). Метрические теории гравитации: возмущения и законы сохранения . Берлин: Де Грюйтер. дои : 10.1515/9783110351781 . ISBN  978-3-11-035173-6 .