Релятивистская механика

В физике совместимой релятивистская механика относится к механике, со специальной теорией относительности (СТО) и общей теорией относительности (ОТО). Он обеспечивает неквантово -механическое описание системы частиц или жидкости в тех случаях, когда скорости движущихся объектов сравнимы со скоростью света c . В результате классическая механика правильно распространяется на частицы, движущиеся с высокими скоростями и энергиями, и обеспечивает последовательное включение электромагнетизма в механику частиц. Это было невозможно в теории относительности Галилея, где частицам и свету разрешалось перемещаться с любой скоростью, в том числе со скоростью, превышающей скорость света. Основой релятивистской механики являются постулаты специальной теории относительности и общей теории относительности. Объединение СТО с квантовой механикой — это релятивистская квантовая механика , а попытки объединения ОТО — это квантовая гравитация , нерешенная проблема физики .

Как и в случае с классической механикой, этот предмет можно разделить на « кинематику »; описание движения с указанием положений , скоростей и ускорений , а также « динамики »; полное описание с учетом энергий , импульсов и угловых моментов , а также законов их сохранения и сил , действующих на частицы или оказываемых частицами. Однако есть тонкость; то, что кажется «движущимся», а что «покоящимся» — что в классической механике называется « статикой », — зависит от относительного движения наблюдателей , которые проводят измерения в системах отсчета .

Хотя некоторые определения и концепции классической механики переносятся в СТО, например, сила как производная импульса по времени ( второй закон Ньютона ), работа, совершаемая частицей, как линейный интеграл силы, действующей на частицу вдоль пути, и мощность как производная проделанной работы по времени, в остальные определения и формулы внесен ряд существенных изменений. СТО утверждает, что движение относительно и законы физики одинаковы для всех экспериментаторов, независимо от их инерциальной системы отсчета . Помимо модификации представлений о пространстве и времени , СТО заставляет пересмотреть понятия массы , импульса и энергии , которые являются важными конструкциями в ньютоновской механике . СТО показывает, что все эти концепции представляют собой различные аспекты одной и той же физической величины, почти так же, как она показывает взаимосвязь пространства и времени. Следовательно, еще одной модификацией является концепция центра масс системы, которую легко определить в классической механике, но гораздо менее очевидно в теории относительности - подробности см. В релятивистском центре масс.

Уравнения усложняются в более знакомом формализме трехмерного векторного исчисления из-за нелинейности фактора Лоренца , который точно учитывает релятивистскую зависимость скорости и предел скорости всех частиц и полей. Однако они имеют более простую и элегантную форму в четырехмерном , пространстве-времени которое включает плоское пространство Минковского (SR) и искривленное пространство-время (GR), поскольку трехмерные векторы, производные от пространства, и скаляры, производные от времени, можно собрать в четыре вектора . или четырехмерные тензоры . Однако шестикомпонентный тензор углового момента иногда называют бивектором, потому что с трехмерной точки зрения он представляет собой два вектора (один из них, обычный угловой момент, является аксиальным вектором ).

Релятивистская кинематика

Основная статья: Четырехскоростной

Релятивистская четырехскорость, то есть четырехвектор, представляющий скорость в теории относительности, определяется следующим образом:

${\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d\tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)$

В приведенном выше ${\tau }$ — это собственное время пути в пространстве-времени , называемое мировой линией, за которым следует скорость объекта, которую представляет выше, и

${\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x} )$

четырехпозиционный ​ ; координаты события . Из-за замедления времени собственное время — это время между двумя событиями в системе отсчета, где они происходят в одном и том же месте. Собственное время связано с координатным временем t соотношением:

${\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}$

где ${\gamma }(\mathbf {v} )$ – фактор Лоренца :

$\gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.$

(любая версия может быть процитирована), поэтому следует:

${\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )$

Первые три слагаемых, за исключением множителя ${\gamma (\mathbf {v} )}$, — это скорость, которую видит наблюдатель в своей собственной системе отсчета. ${\gamma (\mathbf {v} )}$ определяется скоростью $\mathbf {v}$ между системой отсчета наблюдателя и системой координат объекта, которая является системой измерения его собственного времени. Эта величина инвариантна относительно преобразования Лоренца, поэтому, чтобы проверить, что видит наблюдатель в другой системе отсчета, нужно просто умножить четырехвектор скорости на матрицу преобразования Лоренца между двумя системами отсчета.

динамика

покоя и

Дополнительная информация: Масса в специальной теории относительности.

Масса объекта, измеренная в его собственной системе отсчета, называется массой покоя или инвариантной массой и иногда пишется $m_{0}$. Если объект движется со скоростью $\mathbf {v}$ в какой-то другой системе отсчета величина $m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}$ в этой системе координат часто называют «релятивистской массой» объекта. Некоторые авторы используют $m$ для обозначения массы покоя, но для ясности в этой статье будет следовать соглашению об использовании $m$ для релятивистской массы и $m_{0}$ для массы покоя.

Лев Окунь предположил, что концепция релятивистской массы «сегодня не имеет рационального обоснования» и ее больше не следует преподавать. Другие физики, в том числе Вольфганг Риндлер и Т.Р. Сандин, утверждают, что эта концепция полезна. См. мессу в специальной теории относительности для получения дополнительной информации об этой дискуссии.

Частица, масса покоя которой равна нулю, называется безмассовой . фотоны и гравитоны Считается, что не имеют массы, а нейтрино — почти таковой.

энергия

Дополнительная информация: Сохранение энергии.

Есть несколько (эквивалентных) способов определения импульса и энергии в СТО. Один метод использует законы сохранения . Чтобы эти законы оставались действительными в СТО, они должны быть верными во всех возможных системах отсчета. Однако если провести несколько простых мысленных экспериментов, используя ньютоновские определения импульса и энергии, можно увидеть, что эти величины не сохраняются в СТО. Можно спасти идею сохранения, внеся некоторые небольшие изменения в определения, чтобы учесть релятивистские скорости . Именно эти новые определения считаются правильными для импульса и энергии в СТО.

Четырехимпульс : объекта прост, по форме идентичен классическому импульсу, но заменяет 3-вектора 4-векторами

${\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )$

Энергия и импульс объекта с неизменной массой $m_{0}$, движущийся со скоростью $\mathbf {v}$ относительно данной системы отсчета соответственно задаются выражением

${\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}$

Фактор $\gamma$ происходит из определения четырехскорости, описанного выше. Внешний вид $\gamma$ можно сформулировать альтернативным способом, который будет объяснен в следующем разделе.

Кинетическая энергия, $K$, определяется как

$K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,$

а скорость как функция кинетической энергии определяется выражением

$v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.$

Пространственный импульс можно записать как $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$, сохраняя форму из ньютоновской механики с заменой ньютоновской массы релятивистской массой. Однако эта замена не работает для некоторых величин, включая силу и кинетическую энергию. Более того, релятивистская масса не инвариантна относительно преобразований Лоренца, в отличие от массы покоя. По этой причине многие люди предпочитают использовать массу покоя и учитывать $\gamma$ явно через 4-скоростное или координатное время.

Простое соотношение между энергией, импульсом и скоростью можно получить из определений энергии и импульса, умножив энергию на $\mathbf {v}$, умножив импульс на $c^{2}$и отметив, что эти два выражения равны. Это дает

$\mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v}$

$\mathbf {v}$ затем можно исключить, разделив это уравнение на $c$ и возведение в квадрат,

$(pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}$

разделив определение энергии на $\gamma$ и возведение в квадрат,

$E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}$

и заменив:

$E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}$

Это релятивистское соотношение энергии и импульса .

В то время как энергия $E$ и импульс $\mathbf {p}$ зависят от системы отсчета, в которой они измеряются, величина $E^{2}-(pc)^{2}$ является инвариантным. Его значение $-c^{2}$ раз больше квадрата величины вектора 4-импульса .

Инвариантную массу системы можно записать как

${m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}$

Благодаря кинетической энергии и энергии связи эта величина отличается от суммы масс покоя частиц, из которых состоит система. Масса покоя не является сохраняющейся величиной в специальной теории относительности, в отличие от ситуации в ньютоновской физике. Однако даже если объект изменяется внутренне, пока он не обменивается энергией или импульсом с окружающей средой, его масса покоя не изменится и может быть рассчитана с тем же результатом в любой системе отсчета.

массы

Основная статья: Эквивалентность массы и энергии

Релятивистское уравнение энергии-импульса справедливо для всех частиц, даже для безмассовых частиц , для которых m ₀ = 0. В этом случае:

$E=pc$

При замене на Ev = c ² p , это дает v = c : безмассовые частицы (например, фотоны ) всегда движутся со скоростью света.

Обратите внимание, что масса покоя сложной системы обычно немного отличается от суммы масс покоя ее частей, поскольку в системе покоя их кинетическая энергия увеличивает ее массу, а их (отрицательная) энергия связи уменьшает ее массу. В частности, гипотетическая «коробка света» будет иметь массу покоя, хотя и состоит из частиц, которые ее не имеют, поскольку их импульсы будут сокращаться.

Глядя на приведенную выше формулу для инвариантной массы системы, можно увидеть, что, когда один массивный объект находится в состоянии покоя ( v = 0 , p = 0 ), остается ненулевая масса: m ₀ = E / c ² .Соответствующая энергия, которая также является полной энергией, когда отдельная частица находится в состоянии покоя, называется «энергией покоя». В системах частиц, наблюдаемых из движущейся инерциальной системы, полная энергия увеличивается, а вместе с ней и импульс. Однако для одиночных частиц масса покоя остается постоянной, а для систем частиц инвариантная масса остается постоянной, поскольку в обоих случаях увеличение энергии и импульса вычитают друг друга и компенсируются. Таким образом, инвариантная масса систем частиц является расчетной константой для всех наблюдателей, как и масса покоя одиночных частиц.

Масса систем и сохранение инвариантной массы

Для систем частиц уравнение энергии-импульса требует суммирования векторов импульса частиц:

$E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}$

Инерциальная система отсчета, в которой сумма импульсов всех частиц равна нулю, называется центром системы импульсов . В этой специальной системе координат релятивистское уравнение энергии-импульса имеет p = 0 и, таким образом, дает инвариантную массу системы просто как полную энергию всех частей системы, разделенную на c. ²

$m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}$

Это инвариантная масса любой системы, которая измеряется в системе отсчета, где ее полный импульс равен нулю, например, в баллоне с горячим газом на весах. В такой системе масса, которую взвешивают весы, является инвариантной массой и зависит от полной энергии системы. Таким образом, это больше, чем сумма масс покоя молекул, но также включает в себя все суммарные энергии в системе. Подобно энергии и импульсу, инвариантная масса изолированных систем не может быть изменена, пока система остается полностью закрытой (ни масса, ни энергия не допускаются внутрь или наружу), поскольку полная релятивистская энергия системы остается постоянной до тех пор, пока ничто не может войти или выйти. оставь это.

Увеличение энергии такой системы, вызванное переводом системы в инерциальную систему отсчета, которая не является центром системы импульса , вызывает увеличение энергии и импульса без увеличения инвариантной массы. Е = м ₀ с ² , однако, применимо только к изолированным системам в их системе с центром импульса, где сумма импульсов равна нулю.

Принимая эту формулу за чистую монету, мы видим, что в теории относительности масса — это просто энергия под другим названием (и измеряемая в других единицах). В 1927 году Эйнштейн заметил по поводу специальной теории относительности: «Согласно этой теории масса является не неизменной величиной, а величиной, зависящей (и, по сути, идентичной) количеству энергии».

Закрытые (изолированные) системы

В «полностью замкнутой» системе (т. е. изолированной системе ) полная энергия, полный импульс и, следовательно, полная инвариантная масса сохраняются. Формула Эйнштейна для изменения массы переводится как простейшая Δ E = Δ mc. ² Однако форма возникает только в незамкнутых системах, в которых энергия может выходить (например, в виде тепла и света) и, таким образом, инвариантная масса уменьшается. Уравнение Эйнштейна показывает, что такие системы должны терять массу в соответствии с приведенной выше формулой пропорционально энергии, которую они теряют в окружающей среде. И наоборот, если можно измерить разницу в массе системы до того, как она подвергается реакции с выделением тепла и света, и системы после реакции, когда тепло и свет ушли, можно оценить количество энергии, ускользнувшей из системы.

Химические и ядерные реакции

Как в ядерных, так и в химических реакциях такая энергия представляет собой разницу энергий связи электронов в атомах (в химии) или между нуклонами в ядрах (в атомных реакциях). В обоих случаях разница масс между реагентами и (охлажденными) продуктами измеряет массу тепла и света, которые ускользнут от реакции, и, таким образом (используя уравнение), дает эквивалентную энергию тепла и света, которая может быть выделена, если реакция протекает. .

В химии разница масс, связанная с излучаемой энергией, составляет около 10 ⁻⁹ молекулярной массы. Однако в ядерных реакциях энергии настолько велики, что они связаны с разностью масс, которую можно оценить заранее, если взвесить продукты и реагенты (атомы можно взвесить косвенно, используя атомные массы, которые всегда одинаковы для каждый нуклид ). Таким образом, формула Эйнштейна становится важной, когда измеряются массы различных атомных ядер. Глядя на разницу масс, можно предсказать, какие ядра обладают запасенной энергией, которая может быть высвобождена в результате определенных ядерных реакций , предоставив важную информацию, которая была полезна при развитии ядерной энергетики и, следовательно, ядерной бомбы . Исторически, например, Лизе Мейтнер удалось использовать разницу масс ядер, чтобы оценить, имеется ли достаточно энергии, чтобы сделать деление ядра благоприятным процессом. Таким образом, последствия этой особой формы формулы Эйнштейна сделали ее одним из самых известных уравнений во всей науке.

Центр импульса кадра

Уравнение E = m ₀ c ² применимо только к изолированным системам в их центре импульса . Обычно это неправильно понимали как означающее, что масса может быть преобразована в энергию, после чего масса исчезает. Однако популярные объяснения уравнения применительно к системам включают открытые (неизолированные) системы, из которых теплу и свету разрешено выходить, хотя в противном случае они внесли бы свой вклад в массу ( инвариантную массу ) системы.

Исторически сложилось так, что путанице в отношении «преобразования» массы в энергию способствовала путаница между массой и « материей », где материя определяется как фермионные частицы. В таком определении электромагнитное излучение и кинетическая энергия (или тепло) не считаются «материей». В некоторых ситуациях материя действительно может быть преобразована в нематериальные формы энергии (см. выше), но во всех этих ситуациях материя и нематериальные формы энергии по-прежнему сохраняют свою первоначальную массу.

Для изолированных систем (закрытых для обмена массой и энергией) масса никогда не исчезает в центре системы импульса, потому что энергия не может исчезнуть. Вместо этого это уравнение в контексте означает только то, что когда какая-либо энергия добавляется к системе или выходит из нее в системе с центром импульса, система будет измеряться как набравшая или потерявшая массу пропорционально добавленной энергии. или удалено. Таким образом, теоретически, если атомную бомбу поместить в ящик, достаточно прочный, чтобы выдержать взрыв, и взорвать ее на весах, масса этой закрытой системы не изменится, и весы не сдвинутся. Только когда в наполненном сверхсильной плазмой ящике открылось прозрачное «окно» и свет и тепло начали выходить в виде луча, а компоненты бомбы остыли, система потеряла массу, связанную с энергией взрыв. Например, в бомбе мощностью 21 килотонна создается около грамма света и тепла. Если бы этому теплу и свету позволили уйти, остатки бомбы потеряли бы грамм массы по мере охлаждения. В этом мысленном эксперименте свет и тепло уносят грамм массы и, следовательно, откладывают этот грамм массы в поглощающих их объектах.

Угловой момент

Основная статья: Релятивистский угловой момент

В релятивистской механике изменяющийся во времени момент массы

$\mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)$

и орбитальный 3-угловой момент

$\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p}$

точечной частицы объединяются в четырехмерный бивектор через 4-положение X и 4-импульс P частицы:

$\mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P}$

где ∧ обозначает внешний продукт . Этот тензор аддитивен: полный угловой момент системы представляет собой сумму тензоров угловых моментов для каждого компонента системы. Итак, для совокупности дискретных частиц суммируют тензоры углового момента по частицам или интегрируют плотность углового момента по протяженности непрерывного распределения массы.

Каждый из шести компонентов образует сохраняющуюся величину при агрегировании с соответствующими компонентами других объектов и полей.

Сила

В специальной теории относительности второй закон Ньютона не выполняется в форме F = m a , но он выполняется, если он выражается как

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

где p = γ( v ) m ₀ v — импульс, определенный выше, а m ₀ — инвариантная масса . Таким образом, сила определяется выражением

$\mathbf {F} =\gamma ^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\ \mathrm {where} \ \gamma =\gamma (\mathbf {v} )$

showВывод

Starting from $\mathbf {F} =m_{0}{\frac {d(\gamma (\mathbf {v} )\,\mathbf {v} )}{dt}}=m_{0}\left({\frac {d\gamma (\mathbf {v} )}{dt}}\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} ){\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right).$ Carrying out the derivatives gives $\mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} .$ If the acceleration is separated into the part parallel to the velocity (a∥) and the part perpendicular to it (a⊥), so that: $\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\perp }=0\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\,,$ one gets $\mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\perp }+\mathbf {a} _{\parallel })\,.$ By construction a∥ and v are parallel, so (v·a∥)v is a vector with magnitude v2a∥ in the direction of v (and hence a∥) which allows the replacement: $(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel })\mathbf {v} =v^{2}\mathbf {a} _{\parallel }$ then ${\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}v^{2}}{c^{2}}}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp })\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\end{aligned}}\,$

Следовательно, в некоторых старых текстах γ( v ) ³ m ₀ называется продольной массой , а γ( v ) m ₀ называется поперечной массой , которая численно совпадает с релятивистской массой . См. массу в специальной теории относительности .

Если инвертировать это, чтобы вычислить ускорение по силе, получим

$\mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.$

Сила, описанная в этом разделе, представляет собой классическую трехмерную силу, которая не является четырехвекторной . Эта трехмерная сила является подходящим понятием силы, поскольку именно она подчиняется третьему закону движения Ньютона . Ее не следует путать с так называемой четырехсилой , которая представляет собой просто трехмерную силу в сопутствующей системе координат объекта, преобразованную, как если бы он был четырехвектором. Однако плотность трехмерной силы (линейный импульс, передаваемый на единицу четырехобъема ) является четырехвекторной ( плотность веса +1) в сочетании с отрицательной плотностью передаваемой мощности.

Крутящий момент

Крутящий момент, действующий на точечную частицу, определяется как производная приведенного выше тензора углового момента по собственному времени:

${\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F}$

или в компонентах тензора:

$\Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }$

где F действующая на частицу в момент события X. — 4d-сила , Как и в случае с угловым моментом, крутящий момент является аддитивным, поэтому для протяженного объекта он суммируется или интегрируется по распределению массы.

Кинетическая энергия

Теорема о работе-энергии гласит: изменение кинетической энергии равно работе, совершенной телом. В специальной теории относительности:

${\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}$

showВывод

${\begin{aligned}\Delta K=W&=\int _{\mathbf {x} _{0}}^{\mathbf {x} _{1}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} \\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}(\gamma m_{0}\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} dt\\&=\left.\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right|_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\gamma m_{0}\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt\\&=\left.\gamma m_{0}v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-m_{0}\int _{v_{0}}^{v_{1}}\gamma v\,dv\\&=m_{0}\left(\left.\gamma v^{2}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}-c^{2}\int _{v_{0}}^{v_{1}}{\frac {2v/c^{2}}{2{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\,dv\right)\\&=\left.m_{0}\left({\frac {v^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+c^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\right)\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\left.{\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\left.{\gamma m_{0}c^{2}}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}\\&=\gamma _{1}m_{0}c^{2}-\gamma _{0}m_{0}c^{2}.\end{aligned}}$

Если в начальном состоянии тело покоилось, то v ₀ = 0 и γ ₀ ( v ₀ ) = 1, а в конечном состоянии оно имеет скорость v ₁ = v , полагая γ ₁ ( v ₁ ) = γ( v ), кинетическая энергия тогда;

$K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,$

результат, который можно получить непосредственно путем вычитания энергии покоя m ₀ c ² от полной релятивистской энергии γ( v ) m ₀ c ² .

Ньютоновский предел

Фактор Лоренца γ( v ) можно разложить в ряд Тейлора или биномиальный ряд для ( v / c ) ² < 1, получая:

$\gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots$

и, следовательно,

$E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;$

$\mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .$

Для скоростей, много меньших скорости света, можно пренебречь членами с c ² и выше в знаменателе. Эти формулы затем сводятся к стандартным определениям ньютоновской кинетической энергии и импульса. Так и должно быть, поскольку специальная теория относительности должна согласовываться с механикой Ньютона при низких скоростях.

См. также

• Парадокс близнецов
• Релятивистские уравнения
• Релятивистская теплопроводность
• Классический электромагнетизм и специальная теория относительности
• Релятивистская система (математика)
• Релятивистская лагранжева механика

Ссылки

Примечания

• К. Хрисомалакос; Х. Эрнандес-Коронадо; Э. Окон (2009). «Центр масс в специальной и общей теории относительности и его роль в эффективном описании пространства-времени». Дж. Физ. Конф. Сер . 174 (1). Мексика: 012026. arXiv : 0901.3349 . Бибкод : 2009JPhCS.174a2026C . дои : 10.1088/1742-6596/174/1/012026 . S2CID   17734387 .

Дальнейшее чтение

Общая сфера применения и специальная/общая теория относительности

• премьер-министр Уилан; М. Дж. Ходжсон (1978). Основные принципы физики (2-е изд.). Джон Мюррей. ISBN  0-7195-3382-1 .
• Г. Воан (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57507-2 .
• П. А. Типлер; Г. Моска (2008). Физика для ученых и инженеров: с современной физикой (6-е изд.). WH Freeman and Co. ISBN  978-1-4292-0265-7 .
• Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (2005). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC, Ганс Варлимонт, Springer. ISBN  978-0-07-025734-4 .
• Концепции современной физики (4-е издание), А. Бейзер, Физика, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN   0-07-100144-1
• CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN  0-07-051400-3 .
• Т. Франкель (2012). Геометрия физики (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-60260-1 .
• Л. Х. Гринберг (1978). Физика с современными приложениями . Holt-Saunders International WB Saunders and Co. ISBN  0-7216-4247-0 .
• А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике, серия Шаума . Мак Грау Хилл. ISBN  978-0-07-025734-4 .

Электромагнетизм и специальная теория относительности

• ГЭГ Беннет (1974). Электричество и современная физика (2-е изд.). Эдвард Арнольд (Великобритания). ISBN  0-7131-2459-8 .
• ИС Грант; В. Р. Филлипс; Манчестерская физика (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-92712-9 .
• Диджей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN  978-81-7758-293-2 .

Классическая механика и специальная теория относительности

• Дж. Р. Форшоу; А.Г. Смит (2009). Динамика и относительность . Уайли. ISBN  978-0-470-01460-8 .
• Д. Клеппнер; Р. Дж. Коленков (2010). Введение в механику . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19821-9 .
• Л.Н. Рука; Джей Ди Финч (2008). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-57572-0 .
• Пи Джей О'Доннелл (2015). Существенная динамика и относительность . ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4665-8839-4 .

Общая теория относительности

• Д. МакМахон (2006). Демистифицированная теория относительности . Мак Грау Хилл. ISBN  0-07-145545-0 .
• Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. ISBN  0-7167-0344-0 .
• Дж. А. Уиллер; И. Чуфолини (1995). Гравитация и инерция . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-03323-5 .
• РДЖА Ламбурн (2010). Относительность, гравитация и космология . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-13138-4 .