Классический электромагнетизм и специальная теория относительности

Эта статья о вкладе специальной теории относительности в современную теорию классического электромагнетизма. О вкладе классического электромагнетизма в развитие специальной теории относительности см. « Историю специальной теории относительности» . Для полностью ковариантного обсуждения см. Ковариантную формулировку классического электромагнетизма .

Специальная теория относительности играет важную роль в современной теории классического электромагнетизма . Он дает формулы того, как электромагнитные объекты, в частности электрические и магнитные поля , изменяются при преобразовании Лоренца из одной инерциальной системы отсчета в другую. Это проливает свет на взаимосвязь между электричеством и магнетизмом, показывая, что система отсчета определяет, следует ли наблюдение электрическим или магнитным законам. Это мотивирует компактное и удобное обозначение законов электромагнетизма, а именно «явно ковариантную» тензорную форму.

Уравнения Максвелла, когда они были впервые сформулированы в своей полной форме в 1865 году, оказались совместимыми со специальной теорией относительности. Более того, специальная теория относительности показала бы, что кажущиеся совпадения, при которых один и тот же эффект наблюдался из-за разных физических явлений двумя разными наблюдателями, ни в малейшей степени не являются случайными. Фактически, половина первой статьи Эйнштейна по специальной теории относительности 1905 года « К электродинамике движущихся тел » объясняет, как преобразовать уравнения Максвелла.

Преобразование полей между инерциальными системами отсчета

Поля E и B

Лоренцево усиление электрического заряда.

Вверху: заряд покоится в кадре F, поэтому наблюдатель видит статическое электрическое поле. Наблюдатель в другой системе отсчета F 'движется со скоростью v относительно F и видит, как заряд движется со скоростью - v с измененным электрическим полем E из-за сокращения длины и магнитным полем B из-за движения заряда.

Внизу: аналогичная установка, заряд покоится в кадре F'.

Это уравнение рассматривает две инерциальные системы отсчета . Кадр со штрихом движется относительно кадра без штриха со скоростью v . Поля, определенные в штрихованном кадре, обозначаются штрихами, а поля, определенные в незаштрихованном кадре, не имеют штрихов. Компоненты поля, параллельные скорости v, обозначим через $\mathbf {E} _{\parallel }$ и $\mathbf {B} _{\parallel }$ а компоненты поля, перпендикулярные v, обозначаются как $\mathbf {E} _{\perp }$и $\mathbf {B} _{\perp }$. В этих двух системах отсчета, движущихся с относительной скоростью v , E -поля и B -поля связаны соотношением:

${\begin{aligned}\mathbf {E_{\parallel }} '&=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '&=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}$

где

$\gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

называется фактором Лоренца , а c — скорость света в свободном пространстве . Уравнения выше приведены в системе СИ . В CGS эти уравнения можно получить, заменив ${\frac {1}{c^{2}}}$ с ${\frac {1}{c}}$, и $v\times B$ с ${\frac {1}{c}}v\times B$ , кроме $\gamma$. Лоренц-фактор ( $\gamma$) одинаково в обеих системах . Обратные преобразования те же, за исключением v → − v .

Эквивалентное альтернативное выражение:

${\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}$

где $\mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \Vert }}$ скорости — единичный вектор . С учетом предыдущих обозначений на самом деле имеется $(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {E} _{\parallel }$ и $(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {B} _{\parallel }$.

Покомпонентно, для относительного движения вдоль оси X $\mathbf {v} =(v,0,0)$, это получается следующее:

${\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}$

Если одно из полей равно нулю в одной системе отсчета, это не обязательно означает, что оно равно нулю во всех других системах отсчета. В этом можно убедиться, например, обнулив нештрихованное электрическое поле при преобразовании в штрихованное электрическое поле. В этом случае, в зависимости от ориентации магнитного поля, заштрихованная система могла видеть электрическое поле, хотя в незаштрихованной системе его нет.

Это не означает, что в двух кадрах видны два совершенно разных набора событий, но одна и та же последовательность событий описывается двумя разными способами (см. Задачу о движущемся магните и проводнике ниже).

Если частица заряда q движется со скоростью u относительно системы S, то сила Лоренца в системе S равна:

$\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B}$

В системе S' сила Лоренца равна:

$\mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'}$

вывод преобразования силы Лоренца для частного случая u = 0 . Здесь дан Более общий вариант можно увидеть здесь.

Преобразования в этой форме можно сделать более компактными, если ввести электромагнитный тензор (определенный ниже), который является ковариантным тензором .

Поля D и H

Для электрического смещения D и магнитной напряженности H , используя определяющие соотношения и результат для c ² :

$\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,$

дает

${\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}$

Аналогично для E и B , D и H образуют тензор электромагнитного смещения .

Поля φ и A

Альтернативное более простое преобразование ЭМ поля использует электромагнитные потенциалы — электрический потенциал φ и магнитный потенциал A :

${\begin{aligned}\varphi '&=\gamma \left(\varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel }-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right)\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{aligned}}$

где $\scriptstyle A_{\parallel }$ - компонент A , параллельный направлению относительной скорости между кадрами v , и $\scriptstyle A_{\bot }$ является перпендикулярной составляющей. Они явно напоминают характерную форму других преобразований Лоренца (таких как время-положение и энергия-импульс), тогда как преобразования E и B, приведенные выше, немного сложнее. Компоненты могут быть собраны вместе как:

${\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}$

Поля ρ и J

Аналогично для плотности заряда ρ и плотности тока J :

${\begin{aligned}J_{\parallel }'&=\gamma \left(J_{\parallel }-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\parallel }\right)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aligned}}$

Собираем компоненты вместе:

${\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$

Нерелятивистские приближения

Для скоростей v ≪ c релятивистский фактор γ ≈ 1, что дает:

${\begin{aligned}\mathbf {E} '&\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '&\approx \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\approx \rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \end{aligned}}$

так что нет необходимости различать пространственные и временные координаты в уравнениях Максвелла .

Связь между электричеством и магнетизмом

Одну часть силы между движущимися зарядами мы называем магнитной силой. На самом деле это один из аспектов электрического эффекта.

— Ричард Фейнман

Вывод магнетизма из электрических законов

Основная статья: Релятивистский электромагнетизм

Выбранная система отсчета определяет, рассматривается ли электромагнитное явление как электрический или магнитный эффект или как их комбинация. Авторы обычно выводят магнетизм из электростатики, специальную теорию относительности и зарядовую инвариантность принимая во внимание . В «Фейнмановских лекциях по физике» (т. 2, гл. 13–6) этот метод используется для определения магнитной силы, действующей на заряд, движущийся параллельно рядом с проводом с током. См. также Хаскель и Ландау.

Если вместо этого заряд движется перпендикулярно проводу с током, электростатика не может быть использована для определения магнитной силы. В этом случае вместо этого его можно получить, рассматривая релятивистское сжатие электрического поля из-за движения зарядов в проводе.

Поля перемешиваются в разных кадрах

Приведенные выше правила преобразования показывают, что электрическое поле в одной системе отсчета вносит вклад в магнитное поле в другой системе отсчета, и наоборот. Это часто описывают, говоря, что электрическое поле и магнитное поле — это два взаимосвязанных аспекта одного объекта, называемого электромагнитным полем . Действительно, все электромагнитное поле можно представить в одном тензоре ранга 2, называемом электромагнитным тензором ; см. ниже.

Проблема с движущимся магнитом и проводником

Основная статья: Проблема движущегося магнита и проводника

Знаменитый пример смешения электрических и магнитных явлений в разных системах отсчета называется «проблемой движущегося магнита и проводника», которую цитирует Эйнштейн в своей статье 1905 года по специальной теории относительности.

Если проводник движется с постоянной скоростью через поле неподвижного магнита, вихревые токи будут возникать из-за магнитной силы, действующей на электроны в проводнике. С другой стороны, в покоящейся системе проводника магнит будет двигаться, а проводник неподвижен. Классическая электромагнитная теория предсказывает, что будут возникать точно такие же микроскопические вихревые токи, но они будут вызваны электрической силой.

Ковариантная формулировка в вакууме

форме Законы и математические объекты классического электромагнетизма могут быть записаны в явно ковариантной . Здесь это делается только для вакуума (или для микроскопических уравнений Максвелла, без использования макроскопических описаний материалов, таких как электрическая проницаемость ), и используются единицы СИ .

В этом разделе используются обозначения Эйнштейна , включая соглашение Эйнштейна о суммировании . См. также исчисление Риччи для получения краткой информации об обозначениях тензорных индексов, а также о повышении и понижении индексов для определения надстрочных и подстрочных индексов, а также о том, как переключаться между ними. η Метрический тензор Минковского здесь имеет метрическую сигнатуру (+ − − −).

Тензор поля и 4-ток

Основная статья: Тензор электромагнитного поля

Вышеупомянутые релятивистские преобразования предполагают, что электрическое и магнитное поля связаны вместе в математическом объекте с 6 компонентами: антисимметричным второго ранга тензором или бивектором . Это называется тензором электромагнитного поля , обычно записываемым как F ^{примечание} . В матричной форме:

$F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$

где c скорость света – в натуральных единицах c = 1.

Существует другой способ объединения электрического и магнитного полей в антисимметричный тензор, заменив E / c → B и B → − E / c , чтобы получить двойственный тензор G. ^{примечание} .

$G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{pmatrix}}$

В контексте специальной теории относительности оба они преобразуются в соответствии с преобразованием Лоренца согласно

$F'^{\alpha \beta }=\Lambda _{\mu }^{\alpha }\Lambda _{\nu }^{\beta }F^{\mu \nu }$,

где Λ ^а _ν — тензор преобразования Лоренца при переходе из одной системы отсчета в другую. Один и тот же тензор используется дважды при суммировании.

Плотность заряда и тока, источники полей, также объединяются в четырехвекторный

$J^{\alpha }=\left(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z}\right)$

называется четырехтоком .

Уравнения Максвелла в тензорной форме

Основная статья: Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

Используя эти тензоры, уравнения Максвелла сводятся к:

Уравнения Максвелла (ковариантная формулировка)

${\begin{aligned}{\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=\mu _{0}J^{\beta }\\[3pt]{\frac {\partial G^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=0\end{aligned}}$

где частные производные могут быть записаны по-разному, см. 4-градиент . Первое уравнение, перечисленное выше, соответствует как закону Гаусса (для β = 0), так и закону Ампера-Максвелла (для β = 1, 2, 3). Второе уравнение соответствует двум оставшимся уравнениям: закону Гаусса для магнетизма (для β = 0) и закону Фарадея (для β = 1, 2, 3).

Эти тензорные уравнения явно ковариантны , то есть их можно считать ковариантными по позициям индексов. Эта краткая форма уравнений Максвелла иллюстрирует идею, разделяемую некоторыми физиками, а именно, что законы физики принимают более простую форму, когда они записаны с использованием тензоров .

Понизив индексы по F ^аб чтобы получить F _αβ :

$F_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \lambda }\eta _{\beta \mu }F^{\lambda \mu }$

второе уравнение можно записать через F _αβ как:

$\epsilon ^{\delta \alpha \beta \gamma }{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}={\dfrac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}+{\dfrac {\partial F_{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}=0$

где $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }$ — контравариантный символ Леви-Чивита . Обратите внимание на циклическую перестановку индексов в этом уравнении: ${\begin{array}{rc}&\scriptstyle {\alpha \,\,\longrightarrow \,\,\beta }\\&\nwarrow _{\gamma }\swarrow \end{array}}$.

Другой ковариантный электромагнитный объект — это электромагнитный тензор энергии-напряжения , ковариантный тензор ранга 2, который включает в себя вектор Пойнтинга , тензор напряжений Максвелла и плотность электромагнитной энергии.

4-потенциал

Основная статья: 4-потенциал

Тензор ЭМ поля также можно записать

$F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}\,,$

где

$A^{\alpha }=\left({\frac {\varphi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,,$

четырехпотенциальный ​ и

$x_{\alpha }=(ct,-x,-y,-z)$

это четырехпозиционный .

Основная статья: Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

Используя 4-потенциал в калибровке Лоренца, альтернативную явно ковариантную формулировку можно найти в одном уравнении (обобщении уравнения Бернхарда Римана Арнольдом Зоммерфельдом , известного как уравнение Римана – Зоммерфельда, или ковариантная форма уравнений Максвелла ):

Уравнения Максвелла (ковариантная калибровочная формулировка Лоренца )

$\Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }$

где $\Box$ — оператор Даламбера , или четырехлапласиан.

См. также

• Математические описания электромагнитного поля
• Релятивистский электромагнетизм