Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

Для более широкого освещения этой темы см. Математические описания электромагнитного поля и Классический электромагнетизм и специальная теория относительности .

Ковариантная преобразований формулировка классического электромагнетизма относится к способам записи законов классического электромагнетизма (в частности, уравнений Максвелла и силы Лоренца ) в форме, явно инвариантной относительно Лоренца , в формализме специальной теории относительности с использованием прямолинейных инерциальных систем координат . Эти выражения упрощают доказательство того, что законы классического электромагнетизма принимают одну и ту же форму в любой инерциальной системе координат, а также позволяют переводить поля и силы из одной системы координат в другую. Однако это не так общее, как уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени или непрямолинейных системах координат.

Ковариантные объекты

Предварительные четырехвекторы

Основная статья: ковариация Лоренца

В этой статье для описания тел или частиц могут использоваться тензоры Лоренца следующих видов:

• четырехсменный : $$x^{\alpha }=(ct,\mathbf {x} )=(ct,x,y,z)\,.$$
• Четырехскоростной : $$u^{\alpha }=\gamma (c,\mathbf {u} ),$$ где γ ( u ) — фактор Лоренца на 3-скорости u .
• Четырехимпульсный : $$p^{\alpha }=(E/c,\mathbf {p} )=m_{0}u^{\alpha }$$ где $\mathbf {p}$ является 3-импульсом, $E$ — полная энергия , а $m_{0}$ это масса покоя .
• Четырехградиентный : $$\partial ^{\nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\mathbf {\nabla } \right)\,,$$
• Оператор Даламбера обозначается ${\partial }^{2}$, $$\partial ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}.$$

Знаки в следующем тензорном анализе зависят от соглашения, используемого для метрического тензора . Здесь используется соглашение (+ − − −) , соответствующее метрическому тензору Минковского : $$\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$$

Электромагнитный тензор

Основная статья: Электромагнитный тензор

Электромагнитный тензор представляет собой комбинацию электрического и магнитного полей в ковариантный антисимметричный тензор, элементами которого являются величины B -поля. $$F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$$а результатом повышения его индексов является $$F^{\mu \nu }\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \eta ^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,\eta ^{\beta \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\,,$$где E — электрическое поле , B — магнитное поле , а c — скорость света .

Четырехточечный

Основная статья: Четырехтоковая

Четырехток - это контравариантный четырехвектор, который сочетает в себе плотность электрического заряда ρ и плотность электрического тока j : $$J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {j} )\,.$$

Четырехпотенциальный

Основная статья: Четырехпотенциал

Электромагнитный четырехпотенциал — это ковариантный четырехвектор, содержащий электрический потенциал (также называемый скалярным потенциалом ) φ и магнитный векторный потенциал (или векторный потенциал ) A следующим образом: $$A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,.$$

Дифференциал электромагнитного потенциала равен $$F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.$$

На языке дифференциальных форм , обеспечивающем обобщение на искривленные пространства-времени, это компоненты 1-формы. $A=A_{\alpha }dx^{\alpha }$ и 2-форма ${\textstyle F=dA={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }dx^{\alpha }\wedge dx^{\beta }}$ соответственно. Здесь, $d$ является внешней производной и $\wedge$ клиновой продукт .

Тензор электромагнитного напряжения-энергии

Основная статья: Тензор электромагнитного напряжения-энергии

Тензор электромагнитного напряжения-энергии можно интерпретировать как плотность потока четырехвектора импульса, и он представляет собой контравариантный симметричный тензор, который представляет собой вклад электромагнитных полей в общий тензор энергии-напряжения : $$T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\varepsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,$$где $\varepsilon _{0}$ – электрическая проницаемость вакуума , µ ₀ – магнитная проницаемость вакуума , вектор Пойнтинга – $$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B}$$а тензор напряжений Максвелла имеет вид $$\sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-\left({\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}\,.$$

Тензор электромагнитного поля F строит тензор электромагнитного напряжения-энергии T по уравнению: $$T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta ^{\alpha \nu }F_{\nu \gamma }F^{\gamma \beta }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)$$где η — метрический тензор Минковского (с сигнатурой (+ − − −) ). Обратите внимание, что мы используем тот факт, что $$\varepsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,,$$что предсказывается уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла в вакууме

Основная статья: уравнения Максвелла

В вакууме (или для микроскопических уравнений, не включая описания макроскопических материалов) уравнения Максвелла можно записать в виде двух тензорных уравнений.

Два неоднородных уравнения Максвелла, закон Гаусса и закон Ампера (с поправкой Максвелла) объединяются в (с метрикой (+ - - -) ):

Гаусса – Ампера Закон

$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }$

Однородные уравнения – закон индукции Фарадея и закон магнетизма Гаусса – объединяются, образуя $\partial ^{\sigma }F^{\mu \nu }+\partial ^{\mu }F^{\nu \sigma }+\partial ^{\nu }F^{\sigma \mu }=0$, что можно записать с использованием двойственности Леви-Чивита как:

Гаусс – Фарадея закон

$\partial _{\alpha }\left(\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }\right)=0$

где F ^аб – электромагнитный тензор , Дж ^а – четырехток , ε ^{среднее} — символ Леви-Чивита , а индексы ведут себя в соответствии с соглашением Эйнштейна о суммировании .

Каждое из этих тензорных уравнений соответствует четырем скалярным уравнениям, по одному для каждого значения β .

Используя обозначение антисимметричного тензора и обозначение запятой для частной производной (см. исчисление Риччи ), второе уравнение также можно записать более компактно как: $$F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=0.$$

В отсутствие источников уравнения Максвелла сводятся к: $$\partial ^{\nu }\partial _{\nu }F^{\alpha \beta }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \partial ^{2}F^{\alpha \beta }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}F^{\alpha \beta } \over {\partial t}^{2}}-\nabla ^{2}F^{\alpha \beta }=0\,,$$которое представляет собой уравнение электромагнитной волны в тензоре напряженности поля.

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

Основная статья: Состояние калибровки Лоренца

Калибровочное условие Лоренца является лоренц-инвариантным калибровочным условием. (Это можно противопоставить другим калибровочным условиям , таким как кулоновская калибровка , которая, если она выполняется в одной инерциальной системе отсчета, обычно не будет выполняться ни в одной другой.) Это выражается в терминах четырехпотенциала следующим образом: $$\partial _{\alpha }A^{\alpha }=\partial ^{\alpha }A_{\alpha }=0\,.$$

В калибровке Лоренца микроскопические уравнения Максвелла можно записать как: $${\partial }^{2}A^{\sigma }=\mu _{0}\,J^{\sigma }\,.$$

сила Лоренца

Основная статья: сила Лоренца

Заряженная частица

Сила Лоренца f, действующая на заряженную частицу (с зарядом q ), движущуюся (мгновенная скорость v ). Поле E изменяются и поле B в пространстве и времени .

Электромагнитные (ЭМ) поля влияют на движение электрически заряженной материи: за счет силы Лоренца . Таким способом можно обнаружить электромагнитные поля (с применением в физике элементарных частиц и природных явлениях, таких как полярные сияния ). В релятивистской форме сила Лоренца использует тензор напряженности поля следующим образом.

Выраженный через координатное время t , он равен: $${dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }}{dt}},$$где p _α — четырехимпульс, q — заряд и x ^б это позиция.

Выраженный в независимой от системы координат форме, мы имеем четыре силы $${\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta },$$где ты ^б — четырехскоростная скорость, а τ частицы — собственное время , которое связано с координатным временем соотношением dt = γdτ .

Континуум заряда

Сила Лоренца на пространственный объем f при непрерывном распределении заряда ( плотность заряда ρ) в движении.

Смотрите также: механика сплошных сред

Плотность силы электромагнетизма, пространственная часть которой представляет собой силу Лоренца, определяется выражением $$f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.$$и связана с тензором электромагнитного напряжения-энергии соотношением $$f^{\alpha }=-{T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}.$$

Законы сохранения

Электрический заряд

Уравнение непрерывности : $${J^{\beta }}_{,\beta }\mathrel {\overset {\text{def}}{\mathop {=} }} \partial _{\beta }J^{\beta }=\partial _{\beta }\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }/\mu _{0}=0.$$выражает сохранение заряда .

Электромагнитная энергия-импульс

Используя уравнения Максвелла, можно видеть, что электромагнитный тензор энергии-напряжения (определенный выше) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, связывающему его с электромагнитным тензором и четырехвекторным током $${T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0$$или $$\eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0,$$которое выражает сохранение погонного импульса и энергии за счет электромагнитных взаимодействий.

Ковариантные объекты в материи

Свободные и связанные четыре тока

Для решения приведенных здесь уравнений электромагнетизма необходимо добавить информацию о том, как рассчитать электрический ток Дж ^н . Часто удобно разделить ток на две части: свободный ток и связанный ток, которые моделируются разными уравнениями; $$J^{\nu }={J^{\nu }}_{\text{free}}+{J^{\nu }}_{\text{bound}}\,,$$где $${\begin{aligned}{J^{\nu }}_{\text{free}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{free}},&\mathbf {J} _{\text{free}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}c\nabla \cdot \mathbf {D} ,&-{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {H} \end{pmatrix}}\,,\\{J^{\nu }}_{\text{bound}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{bound}},&\mathbf {J} _{\text{bound}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-c\nabla \cdot \mathbf {P} ,&{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {M} \end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}$$

макроскопические уравнения Максвелла использовались Помимо определений электрического смещения D и напряженности магнитного поля H : $${\begin{aligned}\mathbf {D} &=\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,\\\mathbf {H} &={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \,.\end{aligned}}$$где M — намагниченность , а P — электрическая поляризация .

Тензор намагниченности-поляризации

Связанный ток получается из полей P и M , которые образуют антисимметричный контравариантный тензор намагниченности-поляризации. $${\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},$$который определяет связанный ток $${J^{\nu }}_{\text{bound}}=\partial _{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.$$

Тензор электрического смещения

Если это сочетается с F ^{примечание} мы получаем антисимметричный контравариантный тензор электромагнитного смещения, который объединяет поля D и H следующим образом: $${\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.$$

Три тензора поля связаны соотношением: $${\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }$$что эквивалентно определениям полей D и H, данным выше.

Уравнения Максвелла в веществе

В результате действует закон Ампера . $$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\mathbf {J} _{\text{free}},$$и закон Гаусса , $$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}},$$объединить в одно уравнение:

Гаусс – Ампера Закон (материя)

${J^{\nu }}_{\text{free}}=\partial _{\mu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }$

Связанный ток и свободный ток, определенные выше, сохраняются автоматически и отдельно. $${\begin{aligned}\partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{bound}}&=0\,\\\partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{free}}&=0\,.\end{aligned}}$$

Определяющие уравнения

Основная статья: Определяющее уравнение

Вакуум

В вакууме определяющими соотношениями между тензором поля и тензором смещения являются: $$\mu _{0}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }\,.$$

Антисимметрия сводит эти 16 уравнений всего к шести независимым уравнениям. Поскольку обычно определяют F ^{примечание} к $$F^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu },$$материальные уравнения можно в вакууме объединить с законом Гаусса – Ампера, чтобы получить: $$\partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\alpha }.$$

Тензор электромагнитного напряжения-энергии в терминах смещения имеет вид: $$T_{\alpha }{}^{\pi }=F_{\alpha \beta }{\mathcal {D}}^{\pi \beta }-{\frac {1}{4}}\delta _{\alpha }^{\pi }F_{\mu \nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },$$где д _а ^п это дельта Кронекера . Когда верхний индекс понижается с η , он становится симметричным и является частью источника гравитационного поля.

Линейная, недисперсионная материя

Таким образом, мы свели задачу моделирования тока J ^н к двум (надеюсь) более простым задачам — моделированию свободного тока, J ^н _{свободное} и моделирование намагниченности и поляризации, ${\mathcal {M}}^{\mu \nu }$. Например, в простейших материалах на низких частотах наблюдается $${\begin{aligned}\mathbf {J} _{\text{free}}&=\sigma \mathbf {E} \,\\\mathbf {P} &=\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} \,\\\mathbf {M} &=\chi _{m}\mathbf {H} \,\end{aligned}}$$где человек находится в мгновенно движущейся инерциальной системе отсчета материала, σ — его электропроводность , χ _e — его электрическая восприимчивость , а χ _m — его магнитная восприимчивость .

Учредительные отношения между ${\mathcal {D}}$ и F тензоры предложенные Минковским т.е. E пропорциональны для линейных материалов ( D B , а H пропорциональны , ): $${\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }u_{\nu }&=c^{2}\varepsilon F^{\mu \nu }u_{\nu }\\{\star {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}u_{\nu }&={\frac {1}{\mu }}{\star F^{\mu \nu }}u_{\nu }\end{aligned}}$$где u — четырехскоростная скорость материала, ε и μ — соответственно собственная диэлектрическая проницаемость и проницаемость материала (т. е. в системе покоя материала), $\star$ и обозначает звездный оператор Ходжа .

Лагранжиан классической электродинамики

Вакуум

Плотность Лагранжа для классической электродинамики состоит из двух компонентов: полевой компоненты и исходной компоненты: $${\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\text{field}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J^{\alpha }\,.$$

В термине взаимодействия четырехток следует понимать как сокращение многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей через их переменные; четырехток сам по себе не является фундаментальным полем.

Уравнения Лагранжа для плотности электромагнитного лагранжа ${\mathcal {L}}{\mathord {\left(A_{\alpha },\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}$ можно сформулировать следующим образом: $$\partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.$$

Отмечая $${\begin{aligned}F^{\lambda \sigma }&=F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma },\\F_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\\{\partial \left(\partial _{\mu }A_{\nu }\right) \over \partial \left(\partial _{\rho }A_{\sigma }\right)}&=\delta _{\mu }^{\rho }\delta _{\nu }^{\sigma }\end{aligned}}$$выражение внутри квадратных скобок равно $${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ {\frac {\partial \left(F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }F_{\lambda \sigma }\right)}{\partial \left(\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}\\&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ \eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }\left(F_{\lambda \sigma }\left(\delta _{\mu }^{\beta }\delta _{\nu }^{\alpha }-\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha }\right)+F_{\mu \nu }\left(\delta _{\lambda }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\beta }\delta _{\lambda }^{\alpha }\right)\right)\\&=-\ {\frac {F^{\beta \alpha }}{\mu _{0}}}\,.\end{aligned}}$$

Второй термин $${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=-J^{\alpha }\,.$$

Следовательно, уравнения движения электромагнитного поля имеют вид $${\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }\,.$$что представляет собой уравнение Гаусса – Ампера, приведенное выше.

Иметь значение

Отделяя свободные токи от связанных, можно записать лагранжеву плотность следующим образом: $${\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.$$

Используя уравнение Лагранжа, уравнения движения для ${\mathcal {D}}^{\mu \nu }$ можно вывести.

Эквивалентное выражение в векторной записи: $${\mathcal {L}}\,=\,{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\phi \,\rho _{\text{free}}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {M} \,.$$

См. также

• Ковариантная классическая теория поля
• Электромагнитный тензор
• Уравнение электромагнитной волны
• Потенциал Льенара – Вихерта для заряда, находящегося в произвольном движении.
• Проблема с движущимся магнитом и проводником
• Неоднородное уравнение электромагнитной волны
• Прока действие
• Квантовая электродинамика
• Релятивистский электромагнетизм
• Действие Штюкельберга
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Дальнейшее чтение

• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 25: Электродинамика в релятивистских обозначениях
• Эйнштейн, А. (1961). Теория относительности: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8 .
• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN  0-7167-0344-0 .
• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое исправленное английское изд.). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7 .
• Р.П. Фейнман; ФБ Моринго; РГ Вагнер (1995). Фейнмановские лекции по гравитации . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-62734-5 .