сила Лоренца

Сила Лоренца, действующая на быстродвижущиеся заряженные частицы в пузырьковой камере . Траектории положительных и отрицательных зарядов изгибаются в противоположных направлениях.

В физике , особенно в электромагнетизме , сила Лоренца (или электромагнитная сила ) представляет собой комбинацию электрической и магнитной силы , воздействующей на точечный заряд вследствие электромагнитных полей . На частицу заряда q , движущуюся со скоростью v в электрическом поле E и магнитном поле B, действует сила (в единицах СИ ) из

$$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).$$

В нем говорится, что электромагнитная сила, действующая на заряд q, представляет собой комбинацию (1) силы, направленной в направлении электрического поля E (пропорциональной величине поля и количеству заряда), и (2) силы, направленной вправо. углы как к магнитному полю B , так и к скорости v заряда (пропорциональные величине поля, заряда и скорости).

Вариации этой базовой формулы описывают магнитную силу, действующую на провод с током (иногда называемую силой Лапласа ), электродвижущую силу в проволочной петле, движущейся через магнитное поле (аспект закона индукции Фарадея ), и силу, действующую на движущееся тело. заряженная частица.

Историки предполагают, что этот закон подразумевается в статье Джеймса Клерка Максвелла , опубликованной в 1865 году. Хендрик Лоренц пришел к полному выводу в 1895 году. определение вклада электрической силы через несколько лет после того, как Оливер Хевисайд правильно определил вклад магнитной силы.

определение E

Траектория частицы с положительным или отрицательным зарядом q под действием магнитного поля B , направленного перпендикулярно за пределы экрана.

Пучок электронов движется по кругу благодаря наличию магнитного поля. Пурпурный свет, показывающий путь электронов в этой трубке Тельтрона, создается электронами, сталкивающимися с молекулами газа.

Заряженные частицы испытывают действие силы Лоренца.

Во многих учебниках по классическому электромагнетизму закон силы Лоренца используется в качестве определения электрических и магнитных E и B. полей Говоря конкретнее, под силой Лоренца понимается следующее эмпирическое утверждение:

Электромагнитная сила F, действующая на пробный заряд в данную точку и время, представляет собой определенную функцию его заряда q и скорости v , которую можно параметризовать ровно двумя векторами E и B в функциональной форме :

$$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$$

Это справедливо даже для частиц, приближающихся к скорости света (то есть величиной с v , | v | ≈ c ). Таким образом, два векторных поля E и B определены в пространстве и времени и называются «электрическим полем» и «магнитным полем». Поля определяются повсюду в пространстве и времени относительно того, какую силу получит пробный заряд, независимо от того, присутствует ли заряд, испытывающий эту силу.

В качестве определения E и B сила Лоренца является лишь принципиальным определением, потому что реальная частица (в отличие от гипотетического «пробного заряда» бесконечно малых массы и заряда) будет генерировать свои собственные конечные поля E и B , которые изменит электромагнитную силу, которую он испытывает. Кроме того, если заряд испытывает ускорение, как если бы его заставили двигаться по искривленной траектории, он испускает излучение, заставляющее его терять кинетическую энергию. См., например, тормозное излучение и синхротронный свет . Эти эффекты происходят как за счет прямого воздействия (называемого силой реакции излучения ), так и косвенно (путем воздействия на движение близлежащих зарядов и токов).

Уравнение

Заряженная частица

Сила Лоренца F , действующая на заряженную частицу (с зарядом q ) в движении (мгновенная скорость v ). Поле E поле и B . изменяются в пространстве и времени

Сила F, действующая на частицу с электрическим зарядом q с мгновенной скоростью v , вызванная внешним электрическим полем E и магнитным полем B , определяется выражением (в единицах СИ ):

$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

где × — векторное векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами). С точки зрения декартовых компонентов мы имеем:

$${\begin{aligned}F_{x}&=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),\\[0.5ex]F_{y}&=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),\\[0.5ex]F_{z}&=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).\end{aligned}}$$

В общем, электрические и магнитные поля являются функциями положения и времени. Поэтому в явном виде силу Лоренца можно записать как:

$$\mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\dot {\mathbf {r} }}(t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]$$

где r — вектор положения заряженной частицы, t — время, а точка — производная по времени.

Положительно заряженная частица будет ускоряться в той же линейной ориентации, что и поле E , но будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v , так и полю B по правилу правой руки (подробнее, если пальцы правой руки вытянуты так, чтобы указывать в направлении v , а затем скручиваются так, чтобы указывать в направлении B , тогда вытянутый большой палец будет указывать в направлении F ).

Член qE ) называется электрической силой член q ( v × B , а называется магнитной силой . Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле магнитной силы: при этом суммарная электромагнитная сила (включая электрическую силу) получила другое (нестандартное) название. В этой статье не будет следовать этой номенклатуре: далее термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.

Магнитно-силовая составляющая силы Лоренца проявляется как сила, действующая на провод с током в магнитном поле. В этом контексте ее также называют силой Лапласа .

Сила Лоренца — это сила, действующая электромагнитным полем на заряженную частицу, то есть это скорость, с которой линейный импульс передается от электромагнитного поля к частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передается от электромагнитного поля к частице. Эта сила

$$\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} .$$

Обратите внимание, что магнитное поле не влияет на мощность, поскольку магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы.

заряда

Сила Лоренца (на единицу 3-объема) f на непрерывном распределении заряда ( плотность заряда ρ ) в движении. Плотность 3- тока J соответствует движению элемента заряда dq в элементе объема dV и меняется во всем континууме.

Для непрерывного распределения заряда в движении уравнение силы Лоренца принимает вид:

$$\mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$$

где $\mathrm {d} \mathbf {F}$ это сила, действующая на небольшой участок распределения заряда с зарядом $\mathrm {d} q$. Если обе части этого уравнения разделить на объем этого маленького кусочка распределения заряда $\mathrm {d} V$, результат:

$$\mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$$

где $\mathbf {f}$ - плотность силы (сила на единицу объема) и $\rho$– плотность заряда (заряд на единицу объема). Далее, плотность тока , соответствующая движению зарядового континуума, равна

$$\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$$

поэтому непрерывный аналог уравнения равен

$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B}$

Полная сила представляет собой объемный интеграл по распределению заряда:

$$\mathbf {F} =\int \left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)\mathrm {d} V.$$

Устранив $\rho$ и $\mathbf {J}$, используя уравнения Максвелла и манипулируя теоремами векторного исчисления , эту форму уравнения можно использовать для вывода тензора напряжений Максвелла. ${\boldsymbol {\sigma }}$, в свою очередь это можно объединить с вектором Пойнтинга $\mathbf {S}$ чтобы получить электромагнитный тензор энергии-напряжения T , используемый в общей теории относительности .

С точки зрения ${\boldsymbol {\sigma }}$ и $\mathbf {S}$, другой способ записать силу Лоренца (на единицу объема):

$$\mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}$$

где $c$— скорость света , а ∇ · обозначает дивергенцию тензорного поля . Вместо количества заряда и его скорости в электрическом и магнитном полях это уравнение связывает поток энергии (поток энергии в единицу времени на единицу расстояния) в полях с силой, действующей на распределение заряда. Для получения более подробной информации см. Ковариантную формулировку классического электромагнетизма .

Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна

$$\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} .$$

Если мы разделим полный заряд и полный ток на свободную и связанную части, то получим, что плотность силы Лоренца равна

$$\mathbf {f} =\left(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\mathbf {E} +\left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\times \mathbf {B} .$$

где: $\rho _{f}$ – плотность свободного заряда; $\mathbf {P}$ – плотность поляризации ; $\mathbf {J} _{f}$– плотность свободного тока; и $\mathbf {M}$– плотность намагничивания . Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту магнитным полем. Плотность связанной мощности равна

$$\left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} .$$

Уравнения с условными единицами измерения CGS

В вышеупомянутых формулах используются соглашения для определения электрического и магнитного поля, используемые в единицах СИ . Это самые распространенные. Однако возможны и используются другие соглашения с той же физикой (т.е. силы, действующие, например, на электрон). В соглашениях, используемых со старыми единицами CGS-Гаусса , которые несколько более распространены среди некоторых физиков-теоретиков, а также экспериментаторов конденсированного состояния, вместо этого используется

$$\mathbf {F} =q_{\mathrm {G} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {G} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {G} }\right).$$

где с — скорость света . Хотя это уравнение выглядит несколько иначе, оно эквивалентно, поскольку оно имеет следующие соотношения:

$$q_{\mathrm {G} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.$$

где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума , а µ _{0 —} проницаемость вакуума . На практике индексы «G» и «SI» опускаются, а используемое соглашение (и единица измерения) должно определяться из контекста.

История

Теория электронов Лоренца. Формулы для силы Лоренца (I, пондеромоторная сила) и уравнения Максвелла для дивергенции электрического поля Е (II) и магнитного поля В (III), Электромагнитная теория Максвелла и ее применение к движущимся телам , 1892, с . 451. V — скорость света.

Первые попытки количественного описания электромагнитной силы были предприняты в середине 18 века. предположили, что сила, действующая на магнитные полюса, В 1760 году Иоганн Тобиас Майер и другие и электрически заряженные объекты, Генри Кавендиш в 1762 году. подчинялся закону обратных квадратов . Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни убедительным. Лишь в 1784 году Шарль-Огюстен де Кулон , используя торсионные весы , смог окончательно доказать посредством эксперимента, что это правда. Вскоре после открытия в 1820 году Гансом Христианом Эрстедом того, что на магнитную стрелку действует гальванический ток, Андре-Мари Ампер в том же году смог экспериментально разработать формулу угловой зависимости силы между двумя элементами с током. Во всех этих описаниях сила всегда описывалась в терминах свойств материи и расстояний между двумя массами или зарядами, а не в терминах электрического и магнитного полей.

Современная концепция электрических и магнитных полей впервые возникла в теориях Майкла Фарадея , в частности в его идее силовых линий , позднее получившая полное математическое описание лордом Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом . С современной точки зрения в формулировке Максвеллом 1865 года его уравнений поля можно идентифицировать форму уравнения силы Лоренца по отношению к электрическим токам: хотя во времена Максвелла не было очевидно, как его уравнения связаны с силами, действующими на движущиеся заряженные объекты. Дж. Дж. Томсон был первым, кто попытался вывести из уравнений поля Максвелла электромагнитные силы, действующие на движущийся заряженный объект, через свойства объекта и внешние поля. Заинтересовавшись определением электромагнитного поведения заряженных частиц в катодных лучах , Томсон опубликовал в 1881 году статью, в которой он определил силу, действующую на частицы под действием внешнего магнитного поля, как

$$\mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .$$

Томсон вывел правильную базовую форму формулы, но из-за некоторых просчетов и неполного описания тока смещения включил перед формулой неправильный масштабный коэффициент, равный половине. Оливер Хевисайд изобрел современную векторную систему обозначений и применил ее к уравнениям поля Максвелла; он также (в 1885 и 1889 гг.) исправил ошибки вывода Томсона и пришел к правильной форме магнитной силы, действующей на движущееся заряженное тело. Наконец, в 1895 г. Хендрик Лоренц вывел современную форму формулы электромагнитной силы, которая включает в себя вклады в общую силу как от электрического, так и от магнитного полей. Лоренц начал с отказа от максвелловских описаний эфира и проводимости. Вместо этого Лоренц провел различие между материей и светоносным эфиром и стремился применить уравнения Максвелла в микроскопическом масштабе. Используя версию уравнений Максвелла для стационарного эфира, предложенную Хевисайдом, и применив лагранжеву механику (см. ниже), Лоренц пришел к правильной и полной форме закона сил, который теперь носит его имя.

Траектории частиц, обусловленные силой Лоренца

Основная статья: Руководящий центр

Заряженная частица дрейфует в однородном магнитном поле. (A) Возмущающая сила отсутствует (B) С электрическим полем, E (C) С независимой силой, F (например, гравитацией) (D) В неоднородном магнитном поле, град H

Во многих случаях, представляющих практический интерес, движение в магнитном поле электрически заряженной частицы (например, электрона или иона в плазме ) можно рассматривать как суперпозицию относительно быстрого кругового движения вокруг точки, называемой направляющим центром , и относительно медленный дрейф этой точки. Скорости дрейфа могут различаться для разных видов в зависимости от их зарядового состояния, массы или температуры, что может привести к возникновению электрических токов или химическому разделению.

Значение силы Лоренца

В то время как современные уравнения Максвелла описывают, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы создают электрические и магнитные поля, закон силы Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей. Закон силы Лоренца описывает влияние E и B на точечный заряд, но такие электромагнитные силы не дают полной картины. Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не стоят отдельно от других физических законов, а связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца является одним из аспектов; другое — генерация E и B токами и зарядами.

В реальных материалах сила Лоренца недостаточна для описания коллективного поведения заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений. Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на поля E и B , но и порождают эти поля. Для определения временного и пространственного отклика зарядов необходимо решить сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана , уравнение Фоккера-Планка или уравнения Навье-Стокса . Например, см. Магнитогидродинамика , Гидродинамика , Электрогидродинамика , Сверхпроводимость , Эволюция звезд . Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., например, отношения Грина-Кубо и функцию Грина (теория многих тел) .

Сила на проводе с током

Правило правой руки для провода с током в магнитном поле B

Когда провод, по которому течет электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, составляющих ток, испытывает действие силы Лоренца, и вместе они могут создавать на проводе макроскопическую силу (иногда называемую силой Лапласа ). Объединив приведенный выше закон силы Лоренца с определением электрического тока, получаем следующее уравнение в случае прямого неподвижного провода в однородном поле:

$$\mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ,$$

где ℓ величина которого равна длине провода и направление которого — вдоль провода, совмещенное с направлением условного тока I. — вектор ,

Если проволока непрямая, силу, действующую на нее, можно вычислить, применив эту формулу к каждому бесконечно малому сегменту проволоки. $\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$, затем суммируем все эти силы путем интегрирования . Это приводит к тому же формальному выражению, но теперь ℓ следует понимать как вектор, соединяющий концы изогнутого провода с направлением от начальной до конечной точки обычного тока. Обычно также присутствует чистый крутящий момент .

Если, кроме того, магнитное поле неоднородно, результирующая сила, действующая на неподвижный жесткий провод, по которому течет постоянный ток I, определяется интегрированием по проводу:

$$\mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} .$$

Одним из применений этого является закон силы Ампера , который описывает, как два провода с током могут притягивать или отталкивать друг друга, поскольку на каждый из них действует сила Лоренца со стороны магнитного поля другого.

ЭДС

Компонент магнитной силы ( q v × B ) силы Лоренца отвечает за движущую электродвижущую силу (или движущуюся ЭДС ), явление, лежащее в основе многих электрических генераторов. Когда проводник перемещается через магнитное поле, магнитное поле оказывает противоположные силы на электроны и ядра в проводе, и это создает ЭДС. К этому явлению применяется термин «ЭДС движения», поскольку ЭДС возникает вследствие движения проволоки.

В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники — нет. В этом случае ЭДС возникает из-за члена электрической силы ( q E ) в уравнении силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, в результате чего возникает индуцированная ЭДС, описываемая уравнением Максвелла-Фарадея (одним из четырех современных уравнений Максвелла ).

Обе эти ЭДС, несмотря на кажущееся разное происхождение, описываются одним и тем же уравнением, а именно: ЭДС — это скорость изменения магнитного потока через провод. (Это закон индукции Фарадея, см. ниже Эйнштейна .) Специальная теория относительности была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами. Фактически, электрическое и магнитное поля являются разными гранями одного и того же электромагнитного поля, и при переходе от одной инерциальной системы к другой соленоидальная векторная часть E -поля может полностью или частично измениться на B -поле или наоборот .

индукции

Сила Лоренца — изображение на стене в Лейдене.

Основная статья: Закон индукции Фарадея

Если петля провода находится в магнитном поле , закон индукции Фарадея гласит, что индуцированная электродвижущая сила (ЭДС) в проводе равна:

$${\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}$$

где

$$\Phi _{B}=\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)$$

— магнитный поток через контур, B — магнитное поле, Σ( t ) — поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ( t ) , в момент времени t , d A — бесконечно малый векторный элемент площади Σ( t ) ( величина — это площадь бесконечно малого участка поверхности, направление ортогонально этому участку поверхности).

Знак ЭДС определяется законом Ленца . Обратите внимание, что это справедливо не только для неподвижного провода, но и для движущегося провода.

Из закона индукции Фарадея (который справедлив для движущегося провода, например, в двигателе) и уравнений Максвелла можно вывести силу Лоренца. Верно и обратное: сила Лоренца и уравнения Максвелла могут быть использованы для вывода закона Фарадея .

Пусть Σ( t ) — движущаяся проволока, движущаяся вместе без вращения и с постоянной скоростью v , а Σ( t ) — внутренняя поверхность проволоки. ЭДС на замкнутом пути ∂Σ( t ) определяется выражением:

$${\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q$$

где

$$\mathbf {E} =\mathbf {F} /q$$

— электрическое поле, а d ℓ — бесконечно малый векторный элемент контура ∂Σ( t ) .

NB: И d ℓ , и d A имеют неоднозначность знака; чтобы получить правильный знак, правило правой руки используется , как объяснено в статье Теорема Кельвина – Стокса .

Приведенный выше результат можно сравнить с версией закона индукции Фарадея, которая появляется в современных уравнениях Максвелла, называемой здесь уравнением Максвелла – Фарадея :

$$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,.$$

Уравнение Максвелла–Фарадея также можно записать в интегральной форме , используя теорему Кельвина–Стокса .

Итак, мы имеем уравнение Максвелла Фарадея:

$$\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\mathrm {d} t}}$$

и закон Фарадея,

$$\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).$$

Оба варианта эквивалентны, если провод не движется. Использование правила интеграла Лейбница и того, что div B = 0 , приводит к:

$$\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$$

и используя уравнение Максвелла Фарадея,

$$\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}$$

поскольку это справедливо для любого положения провода, это означает, что

$$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t).$$

Закон индукции Фарадея действует независимо от того, является ли проволочная петля жесткой и неподвижной, находится в движении или находится в процессе деформации, а также независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся. Однако бывают случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо сложен в использовании, и необходимо применение основного закона силы Лоренца. См. неприменимость закона Фарадея .

Если магнитное поле фиксировано во времени и проводящая петля движется по полю, то магнитный поток Φ _B, связывающий петлю, может меняться несколькими способами. Например, если B -поле меняется в зависимости от положения и контур перемещается в место с другим B -полем, Φ _B изменится. Альтернативно, если петля меняет ориентацию относительно B -поля, дифференциальный элемент B ⋅ d A изменится из-за разного угла между B и d A , что также изменит Φ _B . В качестве третьего примера, если часть контура проходит через однородное, независимое от времени B -поле, а другая часть контура удерживается неподвижно, поток, связывающий всю замкнутую цепь, может измениться из-за смещения относительного положения. частей схемы со временем (поверхность ∂Σ( t ) зависит от времени). Во всех трех случаях закон индукции Фарадея предсказывает ЭДС, создаваемую изменением Φ _B .

Обратите внимание, что уравнение Максвелла Фарадея подразумевает, что электрическое поле E неконсервативно, когда магнитное поле B меняется во времени, и не выражается как градиент скалярного поля и не подчиняется теореме о градиенте , поскольку его ротор не равен нулю.

Сила Лоренца через потенциалы

Смотрите также: Математические описания электромагнитного поля , уравнения Максвелла и разложение Гельмгольца.

Поля E и B можно заменить магнитным векторным потенциалом A и ( скалярным ) электростатическим потенциалом φ на

$${\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\[1ex]\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}$$

где ∇ — градиент, ∇⋅ — дивергенция, а ∇× — ротор .

Сила становится

$$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].$$

Используя тождество тройного произведения, это можно переписать как:

$$\mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],$$

(Обратите внимание, что координаты и компоненты скорости следует рассматривать как независимые переменные, поэтому оператор del действует только на $\mathbf {A}$, не на $\mathbf {v}$; таким образом, нет необходимости использовать индекс Фейнмана в приведенном выше уравнении). Используя правило цепочки, полная производная от $\mathbf {A}$ является:

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A}$$

так что приведенное выше выражение принимает вид:

$$\mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].$$

При v = ẋ мы можем привести уравнение к удобной форме Эйлера – Лагранжа

$\mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]$

где

$$\nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}$$

и

$$\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.$$

Лоренца и

См. также: Импульс

Лагранжиан . для заряженной частицы массы m и заряда q в электромагнитном поле эквивалентно описывает динамику частицы с точки зрения ее энергии , а не силы, действующей на нее Классическое выражение имеет вид:

$$L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi$$

где A и φ — потенциальные поля, как указано выше. Количество $V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )$ можно рассматривать как потенциальную функцию, зависящую от скорости. Используя уравнения Лагранжа , можно снова получить приведенное выше уравнение для силы Лоренца.

Вывод силы Лоренца из классического лагранжиана (единицы СИ)

Для поля A частица, движущаяся со скоростью v = ṙ, имеет потенциальный импульс $q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$, поэтому его потенциальная энергия равна $q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}}$. Для поля φ потенциальная энергия частицы равна $q\phi (\mathbf {r} ,t)$.

Тогда полная потенциальная энергия равна:

$$V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}}$$

а кинетическая энергия равна:

$$T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}}$$

отсюда лагранжиан:

$$L=T-V={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi$$

$$L={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)+q\left({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z}\right)-q\phi$$

Уравнения Лагранжа:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}$$

(то же самое для y и z ). Итак, вычислим частные производные:

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\ddot {x}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{x}}{\mathrm {d} t}}&=m{\ddot {x}}+{\frac {q}{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}dy+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}dz\right]\\[1ex]&=m{\ddot {x}}+q\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right]\\\end{aligned}}$$

$${\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)$$

приравнивая и упрощая:

$$m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)$$

$${\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\[1ex]&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\[1ex]&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\[1ex]&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}$$

и аналогично для направлений y и z . Следовательно, уравнение силы имеет вид:

$$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )$$

Потенциальная энергия зависит от скорости частицы, поэтому сила зависит от скорости и не является консервативной.

Релятивистский лагранжиан – это

$$L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )$$

Действие представляет собой релятивистскую длину дуги пути частицы в пространстве-времени минус вклад потенциальной энергии плюс дополнительный вклад, который с квантовой механики является дополнительной фазой , которую получает заряженная частица, когда она движется вдоль векторного потенциала.

Вывод силы Лоренца из релятивистского лагранжиана (единицы СИ)

Уравнения движения, полученные путем экстремизации действия (обозначения см. в матричном исчислении ):

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=q{\partial \mathbf {A} \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q{\partial \phi \over \partial \mathbf {r} }$$

$$\mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}$$

такие же, как уравнения движения Гамильтона :

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)$$

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)$$

оба эквивалентны неканонической форме:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{m{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}=q\left(\mathbf {E} +{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \right).$$

Эта формула представляет собой силу Лоренца, представляющую скорость, с которой ЭМ поле придает частице релятивистский импульс.

Лоренца

Лоренца

Тензор поля

Основные статьи: Ковариантная формулировка классического электромагнетизма и математическое описание электромагнитного поля.

Используя метрическую сигнатуру (1, −1, −1, −1) , силу Лоренца для заряда q можно записать в виде Ковариантная форма :

${\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }$

где р ^а — четырехимпульс , определяемый как

$$p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right),$$

τ собственное время частицы, F ^аб контравариантный электромагнитный тензор

$$F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$$

— U ковариантная 4-скорость частицы, определяемая как:

$$U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right),$$

в котором

$$\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}$$

является фактором Лоренца .

Поля преобразуются в систему координат, движущуюся с постоянной относительной скоростью:

$$F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,$$

где Λ ^м _α — тензор преобразования Лоренца .

Перевод в векторную нотацию

Компонент α = 1 ( x -компонент) силы равен

$${\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).$$

Подстановка компонент ковариантного электромагнитного тензора F дает

$${\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].$$

Используя компоненты ковариантных четырехскоростных выходов

$${\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.$$

Расчет для α = 2, 3 (компоненты силы в направлениях y и z ) дает аналогичные результаты, поэтому 3 уравнения собираются в одно:

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),$$

и поскольку дифференциалы координатного времени dt и собственного времени dτ связаны фактором Лоренца,

$$dt=\gamma (v)\,d\tau ,$$

Итак, мы приходим к

$${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).$$

Это и есть закон силы Лоренца, однако важно отметить, что p — релятивистское выражение,

$$\mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.$$

Лоренца в алгебре пространства-времени (

Электрические и магнитные поля зависят от скорости наблюдателя , поэтому релятивистскую форму закона силы Лоренца лучше всего можно продемонстрировать, исходя из независимого от координат выражения для электромагнитного и магнитного полей. ${\mathcal {F}}$и произвольное направление времени, $\gamma _{0}$. Это можно решить с помощью алгебры пространства-времени (или геометрической алгебры пространства-времени), типа алгебры Клиффорда, определенной в псевдоевклидовом пространстве . как

$$\mathbf {E} =\left({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0}\right)\gamma _{0}$$

и

$$i\mathbf {B} =\left({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0}\right)\gamma _{0}$$

${\mathcal {F}}$ пространства-времени - это бивектор (ориентированный плоский сегмент, точно так же, как вектор представляет собой ориентированный отрезок прямой), который имеет шесть степеней свободы, соответствующих ускорениям (вращениям в плоскостях пространства-времени) и вращениям (вращениям в плоскостях пространства-времени) . Скалярное произведение с вектором $\gamma _{0}$вытягивает вектор (в пространственной алгебре) из поступательной части, в то время как клиновое произведение создает тривектор (в пространственной алгебре), двойственный вектору, который является обычным вектором магнитного поля. Релятивистская скорость определяется (временеподобными) изменениями вектора времени и положения. $v={\dot {x}}$, где

$$v^{2}=1,$$

(что показывает наш выбор метрики), а скорость равна

$$\mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).$$

Правильная (инвариант — неподходящий термин, поскольку преобразование не было определено) форма закона силы Лоренца просто

$F=q{\mathcal {F}}\cdot v$

Обратите внимание, что порядок важен, потому что скалярное произведение бивектора и вектора антисимметрично. При подобном расщеплении пространства-времени можно получить скорость и поля, как указано выше, что дает обычное выражение.

Сила Лоренца в общей теории относительности

В общей теории относительности уравнение движения частицы с массой $m$ и зарядить $e$, движущийся в пространстве с метрическим тензором $g_{ab}$ и электромагнитное поле $F_{ab}$, дается как

$$m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},$$

где $u^{a}=dx^{a}/ds$ ( $dx^{a}$ берется вдоль траектории), $g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}$, и $ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}$.

Уравнение также можно записать как

$$m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},$$

где $\Gamma _{abc}$ – символ Кристоффеля (метрической связности без кручения в общей теории относительности), или как

$$m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b},$$

где $D$ — ковариантный дифференциал в общей теории относительности (метрический, без кручения).

Приложения

Сила Лоренца возникает во многих устройствах, в том числе:

• Циклотроны и другие ускорители частиц с круговым движением
• Масс-спектрометры
• Фильтры скорости
• Микроволны
• Силовая велосиметрия Лоренца

В своем проявлении как сила Лапласа, действующая на электрический ток в проводнике, эта сила встречается во многих устройствах, в том числе:

• Электродвигатели
• Рейлганы
• Линейные двигатели
• Колонки
• Магнитоплазмодинамические двигатели
• Электрические генераторы
• Униполярные генераторы
• Линейные генераторы переменного тока

См. также

• эффект Холла
• Электромагнетизм
• Гравитомагнетизм
• Закон силы Ампера
• Хендрик Лоренц
• Уравнения Максвелла
• Формулировка уравнений Максвелла в специальной теории относительности
• Проблема с движущимся магнитом и проводником
• Сила Авраама – Лоренца
• Формула Лармора
• Циклотронное излучение
• Магнитосопротивление
• Скалярный потенциал
• Разложение Гельмгольца
• Руководящий центр
• Линия поля
• Закон Кулона
• Электромагнитная плавучесть

Ссылки

Пронумерованные ссылки частично относятся к приведенному ниже списку.

• Фейнман, Ричард Филлипс ; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью Л. (2006). Фейнмановские лекции по физике (3 т.) . Пирсон / Аддисон-Уэсли. ISBN  0-8053-9047-2 . : том 2.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Река Аппер-Сэддл, [Нью-Джерси]: Прентис-Холл. ISBN  0-13-805326-Х .
• Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк, [Нью-Йорк]: Уайли. ISBN  0-471-30932-Х .
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. младший (2004). Физика для ученых и инженеров, с современной физикой . Бельмонт, [Калифорния]: Томсон Брукс/Коул. ISBN  0-534-40846-Х .
• Средницкий, Марк А. (2007). Квантовая теория поля . Кембридж, [Англия]; Нью-Йорк [Нью-Йорк]: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86449-7 .

Внешние ссылки

• Сила Лоренца (демонстрация)
• Интерактивный Java-апплет о магнитном отклонении пучка частиц в однородном магнитном поле. Архивировано 13 августа 2011 г. в Wayback Machine Вольфгангом Бауэром.