Вектор Пойнтинга

Дипольное излучение диполя вертикально на странице, показывающее напряженность электрического поля (цвет) и вектор Пойнтинга (стрелки) в плоскости страницы.

В физике вектор Пойнтинга (или вектор Умова–Пойнтинга ) представляет собой направленный поток энергии (перенос энергии на единицу площади в единицу времени) или поток мощности электромагнитного поля . Единицей системе СИ вектора Пойнтинга в является ватт на квадратный метр (Вт/м). ² ); кг/с ³ в базовых единицах СИ. Он назван в честь своего первооткрывателя Джона Генри Пойнтинга, который впервые получил его в 1884 году. Николаю Умову . Разработка концепции принадлежит Оливер Хевисайд также открыл его независимо в более общей форме, которая допускает свободу добавления к определению ротора произвольного векторного поля. Вектор Пойнтинга используется в электромагнетизме в сочетании с теоремой Пойнтинга , уравнением непрерывности, выражающим сохранение электромагнитной энергии , для расчета потока мощности в электромагнитных полях.

Определение

В оригинальной статье Пойнтинга и в большинстве учебников вектор Пойнтинга $\mathbf {S}$ определяется как векторное произведение $$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,$$где жирные буквы обозначают векторы и

• E – вектор электрического поля ;
• H – магнитного поля вектор вспомогательного поля или поле намагничивания .

Это выражение часто называют формой Абрахама и оно является наиболее широко используемым. обозначается S или N. Вектор Пойнтинга обычно

Проще говоря, вектор Пойнтинга S отображает направление и скорость передачи энергии, то есть мощности , из-за электромагнитных полей в области пространства, которая может быть или не быть пустой. Более строго, это величина, которую необходимо использовать, чтобы сделать теорему Пойнтинга справедливой. Теорема Пойнтинга, по сути, гласит, что разница между электромагнитной энергией, поступающей в область, и электромагнитной энергией, покидающей область, должна равняться энергии, преобразованной или рассеянной в этой области, то есть превращенной в другую форму энергии (часто в тепло). Итак, если принять справедливость векторного описания передачи электромагнитной энергии Пойнтинга, то теорема Пойнтинга — это просто утверждение о сохранении энергии .

Если электромагнитная энергия не приобретается и не теряется из-за других форм энергии в некоторой области (например, механической энергии или тепла), то электромагнитная энергия локально сохраняется внутри этой области, что дает уравнение непрерывности как частный случай теоремы Пойнтинга: $$\nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}$$где $u$ – плотность энергии электромагнитного поля. Это частое условие выполняется в следующем простом примере, в котором вычисляется вектор Пойнтинга, который соответствует обычному вычислению мощности в электрической цепи.

Пример. Поток мощности в коаксиальном кабеле.

Хотя проблемы электромагнетизма с произвольной геометрией, как известно, трудно решить, мы можем найти относительно простое решение в случае передачи энергии через участок коаксиального кабеля, анализируемый в цилиндрических координатах, как показано на прилагаемой диаграмме. Мы можем воспользоваться симметрией модели: нет зависимости ни от θ (круговая симметрия), ни от Z (положение вдоль кабеля). Модель (и решение) можно рассматривать просто как цепь постоянного тока, не зависящую от времени, но следующее решение одинаково хорошо применимо и к передаче радиочастотной мощности, если мы рассматриваем момент времени (в течение которого напряжение и ток не меняется), причем на достаточно коротком отрезке кабеля (значительно меньшем длины волны, так что эти величины не зависят от Z ). Коаксиальный кабель имеет внутренний проводник радиуса R ₁ и внешний проводник с внутренним радиусом R ₂ (его толщина, превышающая R _2, не влияет на последующий анализ). Между R ₁ и R ₂ кабель содержит идеальный диэлектрический материал с относительной диэлектрической проницаемостью ε _r , и мы предполагаем, что проводники являются немагнитными (поэтому μ = μ ₀ ) и без потерь (идеальные проводники), все из которых являются хорошим приближением к реальным. коаксиальный кабель в типичных ситуациях.

Иллюстрация потока электромагнитной энергии внутри коаксиального кабеля в соответствии с вектором Пойнтинга S , рассчитанным с использованием электрического поля E (из-за напряжения V ) и магнитного поля H (из-за тока I).

Передача энергии постоянного тока через коаксиальный кабель, показывающая относительную силу электрического тока ( $E_{r}$) и магнитный ( $H_{\theta }$) поля и результирующий вектор Пойнтинга ( $S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }$) на радиусе r от центра коаксиального кабеля. Прерывистая пурпурная линия показывает совокупную передачу мощности в пределах радиуса r , половина которой протекает внутри среднего геометрического значений R ₁ и R ₂ .

Центральный проводник находится под напряжением V и пропускает ток I вправо, поэтому мы ожидаем, что общий поток мощности составит P = V · I в соответствии с основными законами электричества . Однако, оценив вектор Пойнтинга, мы можем определить профиль потока мощности с точки зрения электрических и магнитных полей внутри коаксиального кабеля. Электрические поля, конечно, равны нулю внутри каждого проводника, но между проводниками ( $R_{1}<r<R_{2}$) симметрия требует, чтобы они располагались строго в радиальном направлении, и можно показать (с помощью закона Гаусса ), что они должны подчиняться следующей форме: $$E_{r}(r)={\frac {W}{r}}$$W можно оценить путем интегрирования электрического поля по формуле $r=R_{2}$ к $R_{1}$ которое должно быть отрицательным по отношению к напряжению V : $$-V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)$$так что: $$W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}$$

Магнитное поле, опять-таки по симметрии, может быть отличным от нуля только в направлении θ , то есть векторное поле, огибающее центральный проводник на каждом радиусе между R ₁ и R ₂ . Внутри самих проводников магнитное поле может быть равно нулю, а может и не быть, но это не имеет значения, поскольку вектор Пойнтинга в этих областях равен нулю из-за того, что электрическое поле равно нулю. Вне всего коаксиального кабеля магнитное поле тождественно равно нулю, поскольку пути в этой области охватывают нулевой чистый ток (+ I в центральном проводнике и - I во внешнем проводнике), и опять-таки электрическое поле там все равно равно нулю. Используя закон Ампера в области от R ₁ до R ₂ , которая охватывает ток + I в центральном проводнике, но без вклада тока во внешнем проводнике, находим на радиусе r : $${\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}$$Теперь, исходя из электрического поля в радиальном направлении и тангенциального магнитного поля, вектор Пойнтинга, определяемый их векторным произведением, отличен от нуля только в направлении Z , вдоль направления самого коаксиального кабеля, как мы ожидаем. Опять же, только функцию r мы можем оценить S (r): $$S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)={\frac {W}{r}}{\frac {I}{2\pi r}}={\frac {W\,I}{2\pi r^{2}}}$$где W указано выше через напряжение центрального проводника V . Полную мощность , протекающую по коаксиальному кабелю, можно вычислить путем интегрирования по всему поперечному сечению А кабеля между проводниками: $${\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{2}}^{R_{1}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}$$

Подставив константу W в предыдущее решение, мы находим: $$P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I$$то есть мощность, полученная путем интегрирования вектора Пойнтинга по поперечному сечению коаксиального кабеля, в точности равна произведению напряжения и тока, как можно было бы вычислить передаваемую мощность с использованием основных законов электричества.

Другими подобными примерами, в которых результат P = V · I можно вычислить аналитически, являются: линия передачи с параллельными пластинами, используя декартовы координаты и двухпроводную линию передачи, используя биполярные цилиндрические координаты .

Другие формы

В «микроскопической» версии уравнений Максвелла это определение должно быть заменено определением в терминах электрического поля E и плотности магнитного потока B (описанного далее в статье).

Также возможно объединить поле электрического смещения D с магнитным потоком B, чтобы получить форму Минковского вектора Пойнтинга, или использовать D и H для построения еще одной версии. Выбор был спорным: Pfeifer et al. подытожить и в определенной степени разрешить столетний спор между сторонниками форм Абрахама и Минковского (см. полемика Авраама-Минковского ).

Вектор Пойнтинга представляет собой частный случай вектора потока энергии электромагнитной энергии. Однако любой вид энергии имеет свое направление движения в пространстве, а также свою плотность, поэтому векторы потоков энергии можно определить и для других видов энергии, например, для механической энергии . Вектор Умова–Пойнтинга. открытая Николаем Умовым в 1874 году, описывает потоки энергии в жидких и упругих средах в совершенно обобщенном виде.

Интерпретация

Вектор Пойнтинга появляется в теореме Пойнтинга (вывод см. В этой статье), законе сохранения энергии: $${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,$$где J _f — плотность тока свободных зарядов , а u — плотность электромагнитной энергии для линейных недисперсионных материалов, определяемая выражением $$u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,$$где

• Е – электрическое поле;
• D – поле электрического смещения;
• B – плотность магнитного потока;
• H – намагничивающее поле.

Первое слагаемое в правой части представляет поток электромагнитной энергии в малый объем, а второе слагаемое вычитает работу поля над свободными электрическими токами, которая тем самым выходит из электромагнитной энергии в виде диссипации , тепла и т. д. При этом По определению, связанные электрические токи не включены в этот термин и вместо этого вносят вклад в S и u .

Для линейных, недисперсионных и изотропных (для простоты) материалов определяющие соотношения можно записать в виде $$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,$$где

• ε — диэлектрическая проницаемость материала;
• μ — проницаемость материала.

Здесь ε и μ — скалярные константы с действительным знаком, не зависящие от положения, направления и частоты.

В принципе, это ограничивает теорему Пойнтинга в такой форме полями в вакууме и недисперсионных полях. линейные материалы. Обобщение на дисперсные материалы возможно при определенных обстоятельствах за счет дополнительных условий.

Одним из следствий формулы Пойнтинга является то, что для того, чтобы электромагнитное поле совершило работу, должны присутствовать как магнитное, так и электрическое поля. Само по себе магнитное поле или одно только электрическое поле не могут совершить никакой работы.

Плоские волны

В распространяющейся плоской электромагнитной волне в изотропной среде без потерь мгновенный вектор Пойнтинга всегда указывает в направлении распространения, при этом быстро колеблясь по величине. Это можно просто увидеть, учитывая, что в плоской волне величина магнитного поля H ( r , t ) определяется величиной вектора электрического поля E ( r , t ), деленного на η , собственное сопротивление передачи середина: $$|\mathbf {H} |={\frac {|\mathbf {E} |}{\eta }},$$где | А | представляет норму A . векторную Поскольку E и H расположены под прямым углом друг к другу, величина их векторного произведения является произведением их величин. Без ограничения общности примем X за направление электрического поля, а Y за направление магнитного поля. Мгновенный вектор Пойнтинга, определяемый векторным произведением E и H, будет тогда направлен в положительном направлении Z :

$$\left|{\mathsf {S_{z}}}\right|=\left|{\mathsf {E_{x}}}{\mathsf {H_{y}}}\right|={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}.$$

Затем для нахождения усредненной по времени мощности плоской волны требуется усреднение по периоду волны (обратной частоте волны): $$\left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\left\langle \left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}\right\rangle }{\eta }}={\frac {\mathsf {E_{\text{rms}}^{2}}}{\eta }},$$где E _rms — среднеквадратическая (RMS) амплитуда электрического поля. важном случае, когда ( t ) изменяется синусоидально на некоторой частоте с пиковой амплитудой Epeak _В , Erms _равно E ${\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}$, где средний вектор Пойнтинга определяется следующим образом: $$\left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\mathsf {E_{peak}^{2}}}{2\eta }}.$$Это наиболее распространенная форма потока энергии плоской волны, поскольку амплитуды синусоидального поля чаще всего выражаются через их пиковые значения, а сложные задачи обычно решаются с учетом только одной частоты за раз. Однако выражение с использованием E _rms является совершенно общим и применяется, например, в случае шума, среднеквадратичная амплитуда которого может быть измерена, но «пиковая» амплитуда не имеет смысла. В свободном пространстве собственный импеданс η просто определяется импедансом свободного пространства η ₀ ≈   377   Ом. В немагнитных диэлектриках (например, во всех прозрачных материалах на оптических частотах) с заданной диэлектрической постоянной ε _r или в оптике с материалом, показатель преломления которого ${\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}$, собственное сопротивление находится как: $$\eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}.$$

В оптике величина излучаемого потока, пересекающего поверхность, то есть средняя компонента вектора Пойнтинга в направлении, нормальном к этой поверхности, технически известна как освещенность , чаще называемая просто интенсивностью ( несколько двусмысленный термин).

Формулировка в терминах микроскопических полей

«Микроскопическая» (дифференциальная) версия уравнений Максвелла допускает только фундаментальные поля E и B без встроенной модели материальной среды. отсутствуют Используются только вакуумная диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость, D и H . При использовании этой модели вектор Пойнтинга определяется как $$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,$$где

• µ ₀ – вакуумная проницаемость ;
• E – вектор электрического поля;
• B – магнитный поток.

На самом деле это общее выражение вектора Пойнтинга. . Соответствующая форма теоремы Пойнтинга : $${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,$$где J - полная плотность тока , а плотность энергии u определяется выражением $$u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}\right)\!,$$где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума . Его можно вывести непосредственно из уравнений Максвелла, выраженных в терминах полного заряда и тока , и только из закона силы Лоренца .

Два альтернативных определения вектора Пойнтинга равны в вакууме или в немагнитных материалах, где B = µ ₀ H . Во всех остальных случаях они отличаются тем, что S = (1/ µ ₀ ) E × B и соответствующий u являются чисто радиационными, поскольку член диссипации − J ⋅ E покрывает полный ток, а в определение E × H вносят вклады связанные токи, которые затем исключаются из диссипационного члена.

и плотности энергии учитываются только микроскопические поля E и B Поскольку при выводе S = (1/ μ ₀ ) E × B , предположения о наличии какого-либо материала избегаются. Вектор Пойнтинга, теорема и выражение для плотности энергии универсально действительны в вакууме и всех материалах.

Усредненный по времени вектор Пойнтинга

Вышеупомянутая форма вектора Пойнтинга представляет мгновенный поток энергии, обусловленный мгновенными электрическими и магнитными полями. Чаще всего задачи электромагнетизма решаются в терминах синусоидально изменяющихся полей на заданной частоте. Затем результаты можно применять в более общем плане, например, представляя некогерентное излучение как суперпозицию таких волн на разных частотах и ​​с флуктуирующими амплитудами.

Таким образом, мы будем рассматривать не мгновенные значения E ( t ) и H ( t ), использованные выше, а скорее комплексную (векторную) амплитуду для каждого, которая описывает фазу (а также амплитуду) когерентной волны с использованием векторной записи. Эти комплексные векторы амплитуд не являются функциями времени, поскольку считается, что они относятся к колебаниям во времени. вектор, такой как Em _, Подразумевается, что обозначает синусоидально изменяющееся поле, мгновенная амплитуда которого E ( t ) соответствует действительной части Em _.   e ^jωt где ω — частота (радиан) рассматриваемой синусоидальной волны.

Во временной области будет видно, что мгновенный поток мощности будет колебаться с частотой 2 ω . Но что обычно представляет интерес, так это средний поток мощности, в котором эти колебания не учитываются. В приведенной ниже математике это достигается путем интегрирования по полному циклу T = 2 π / ω . Следующая величина, до сих пор называемая «вектором Пойнтинга», выражается непосредственно через векторы как:

$$\mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},$$

где ^∗ обозначает комплексно-сопряженное. Усредненный по времени поток мощности (например, в соответствии с мгновенным вектором Пойнтинга, усредненным за полный цикл) затем определяется как часть S действительная _m . Мнимая часть обычно игнорируется, однако она означает «реактивную мощность», например, помехи из-за стоячей волны или ближнего поля антенны. В одной плоской электромагнитной волне (а не в стоячей волне, которую можно описать как две такие волны, движущиеся в противоположных направлениях) E и H находятся точно в фазе, поэтому S _m — это просто действительное число согласно приведенному выше определению.

Эквивалентность Re( S _m ) среднему по времени мгновенного вектора Пойнтинга S можно показать следующим образом.

$${\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}$$

Среднее значение мгновенного вектора Пойнтинга S во времени определяется выражением: $$\langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.$$

Второе слагаемое представляет собой двухчастотную составляющую, имеющую среднее значение, равное нулю, поэтому находим: $$\langle \mathbf {S} \rangle =\operatorname {Re} \!\left({\tfrac {1}{2}}{\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)$$

Согласно некоторым соглашениям, коэффициент 1/2 в приведенном выше определении может быть опущен. поскольку величины Em _{Умножение на 1/2 необходимо для правильного описания потока мощности ,} и H _m относятся к пиковым полям осциллирующих величин. Если скорее поля описываются в терминах их среднеквадратичных значений (RMS) (каждое из которых меньше в коэффициент ${\sqrt {2}}/2$), то правильный средний поток мощности получается без умножения на 1/2.

Резистивное рассеивание

Если проводник имеет значительное сопротивление, то вблизи поверхности этого проводника вектор Пойнтинга будет наклонен в сторону проводника и сталкиваться с ним. Как только вектор Пойнтинга попадает в проводник, он изгибается в направлении, почти перпендикулярном поверхности. Это следствие закона Снеллиуса и очень низкой скорости света внутри проводника. Можно дать определение и вычисление скорости света в проводнике. Внутри проводника вектор Пойнтинга представляет собой поток энергии из электромагнитного поля в провод, вызывающий резистивный джоулевый нагрев в проводе. Вывод, начинающийся с закона Снелла, см. на стр. 454 Рейца.

Радиационное давление

Основная статья: Радиационное давление

Плотность импульса электромагнитного поля равна S / c ² где S — величина вектора Пойнтинга, а c — скорость света в свободном пространстве. Давление излучения, оказываемое электромагнитной волной на поверхность мишени, определяется выражением $$P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.$$

Уникальность вектора Пойнтинга

Вектор Пойнтинга встречается в теореме Пойнтинга только благодаря его дивергенции ∇ ⋅ S , то есть требуется только, чтобы поверхностный интеграл вектора Пойнтинга вокруг замкнутой поверхности описывал чистый поток электромагнитной энергии в замкнутый объем или из него. Это означает, что добавление соленоидального векторного поля (с нулевой дивергенцией) к S приведет к созданию другого поля, которое удовлетворяет этому необходимому свойству векторного поля Пойнтинга согласно теореме Пойнтинга. Поскольку дивергенция любого ротора равна нулю , можно добавить ротор любого векторного поля к вектору Пойнтинга, и результирующее векторное поле S ′ по-прежнему будет удовлетворять теореме Пойнтинга.

Однако, хотя вектор Пойнтинга изначально был сформулирован лишь ради теоремы Пойнтинга, в которой фигурирует только его расходимость, оказывается, что указанный выше выбор его формы является единственным. В следующем разделе приводится пример, иллюстрирующий, почему неприемлемо произвольное соленоидальное поле к E × H. добавлять

Статические поля

Вектор Пойнтинга в статическом поле, где E — электрическое поле, H — магнитное поле, а S — вектор Пойнтинга.

Рассмотрение вектора Пойнтинга в статических полях показывает релятивистскую природу уравнений Максвелла и позволяет лучше понять магнитную составляющую Лоренца силы q ( v × B ) . Для иллюстрации рассматривается прилагаемая картинка, описывающая вектор Пойнтинга в цилиндрическом конденсаторе, находящемся в поле H (направленном в сторону страницы), создаваемом постоянным магнитом. Хотя существуют только статические электрические и магнитные поля, расчет вектора Пойнтинга создает круговой поток электромагнитной энергии по часовой стрелке, без начала и конца.

Хотя циркулирующий поток энергии может показаться нефизическим, его существование необходимо для поддержания сохранения углового момента . Импульс электромагнитной волны в свободном пространстве равен ее мощности c , разделенной на скорость света . Следовательно, круговой поток электромагнитной энергии подразумевает наличие углового момента. Если бы соединить провод между двумя пластинами заряженного конденсатора, то на этот провод действовала бы сила Лоренца, пока конденсатор разряжается из-за тока разряда и скрещенного магнитного поля; эта сила будет касательной к центральной оси и, таким образом, добавит угловой момент системе. Этот угловой момент будет соответствовать «скрытому» угловому моменту, обнаруженному вектором Пойнтинга, циркулирующим до того, как конденсатор был разряжен.

См. также

• Волновой вектор

Дальнейшее чтение

• Беккер, Ричард (1982). Электромагнитные поля и взаимодействия (1-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-64290-1 .
• Администратор, Джозеф; Нахви, Махмуд (2013). Электромагнетизм (4-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-183149-9 .