Магнитный векторный потенциал

В классическом электромагнетизме магнитный векторный потенциал (часто называемый А ) — это векторная величина, определенная так, что ее ротор равен магнитному полю : ${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$. Вместе с электрическим потенциалом φ магнитный векторный потенциал можно использовать для задания электрического поля E. также Поэтому многие уравнения электромагнетизма можно записать либо через поля E и B что то же самое, через потенциалы φ и A. , либо , В более продвинутых теориях, таких как квантовая механика , большинство уравнений используют потенциалы, а не поля.

Магнитный векторный потенциал был впервые введен Францем Эрнстом Нейманом и Вильгельмом Эдуардом Вебером в 1845 и 1846 годах соответственно. Уильям Томсон также представил векторный потенциал в 1847 году вместе с формулой, связывающей его с магнитным полем.

Соглашения о единицах измерения

В этой статье используется система СИ.

В системе СИ единицами измерения A являются В · с · м. ⁻¹ и такие же, как у импульса на единицу заряда или силы на единицу тока .

векторный

Магнитный векторный потенциал $\ \mathbf {A} \$ — векторное поле , определяемое вместе с электрическим потенциалом $\ \phi \$ ( скалярное поле ) уравнениями:

$$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ ,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\ ,$$

где $\ \mathbf {B} \$ магнитное поле и $\ \mathbf {E} \$ это электрическое поле . В магнитостатике , где нет изменяющегося во времени распределения заряда , необходимо только первое уравнение. (В контексте электродинамики термины векторный потенциал и скалярный потенциал используются для магнитного векторного потенциала и электрического потенциала соответственно. В математике векторный потенциал и скалярный потенциал могут быть обобщены на более высокие измерения.)

Если электрические и магнитные поля определяются, как указано выше, на основе потенциалов, они автоматически удовлетворяют двум уравнениям Максвелла : закону Гаусса для магнетизма и закону Фарадея . Например, если $\ \mathbf {A} \$ непрерывна и всюду четко определена, то гарантированно не будет возникать магнитных монополей . (В математической теории магнитных монополей $\ \mathbf {A} \$ в некоторых местах может быть либо неопределенным, либо многозначным; см . в разделе «Магнитный монополь» подробности ).

Начнем с приведенных выше определений и вспомним, что дивергенция ротора равна нулю, а ротор градиента — это нулевой вектор:

$${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\ ,\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}~.\end{aligned}}$$

Альтернативно, существование $\ \mathbf {A} \$ и $\ \phi \$ гарантируется этими двумя законами с использованием теоремы Гельмгольца . Например, поскольку магнитное поле бездивергентно (закон Гаусса для магнетизма, т. е. $\ \nabla \cdot \mathbf {B} =0$), $\ \mathbf {A} \$ всегда существует то, что удовлетворяет приведенному выше определению.

Векторный потенциал $\ \mathbf {A} \$ используется при изучении лагранжиана в классической механике и в квантовой механике (см. уравнение Шрёдингера для заряженных частиц , уравнение Дирака , эффект Ааронова–Бома ).

При минимальной связи $\ q\ \mathbf {A} \$ называется потенциальным импульсом и является частью канонического импульса .

Линейный интеграл от $\ \mathbf {A} \$ по замкнутому контуру, $\ \Gamma \ ,$ равен магнитному потоку , $\ \Phi _{\mathbf {B} }\ ,$ через поверхность, $\ S\ ,$ что оно включает в себя:

$$\oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,\cdot \ \operatorname {d} {\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A} \ \cdot \ \operatorname {d} \mathbf {S} =\Phi _{\mathbf {B} }~.$$

Таким образом, единицы $\ \mathbf {A} \$ также эквивалентны Веберу на метр . Вышеприведенное уравнение полезно при квантовании потока сверхпроводящих контуров .

Хотя магнитное поле $\ \mathbf {B} \$ является псевдовектором (также называемым аксиальным вектором ), векторный потенциал $\ \mathbf {A} \$ является полярным вектором . Это означает, что если правило правой руки для векторных произведений заменить правилом левой руки, но без изменения каких-либо других уравнений и определений, то $\ \mathbf {B} \$ поменял бы знаки, но А не поменялся бы. Это пример общей теоремы: ротор полярного вектора является псевдовектором, и наоборот.

Выбор калибра

Основная статья: Крепление манометра

Приведенное выше определение не определяет магнитный векторный потенциал однозначно, поскольку по определению мы можем произвольно добавлять к магнитному потенциалу компоненты без ротора , не изменяя наблюдаемое магнитное поле. Таким образом, существует определенная степень свободы при выборе. $\ \mathbf {A} ~.$ Это условие известно как калибровочная инвариантность .

Уравнения Максвелла в терминах векторного потенциала

Смотрите также: Возможная формулировка электромагнитного поля.

Использование приведенного выше определения потенциалов и применение его к двум другим уравнениям Максвелла (тех, которые не удовлетворяются автоматически) приводит к сложному дифференциальному уравнению, которое можно упростить с помощью калибровки Лоренца , где $\ \mathbf {A} \$ выбирается для удовлетворения:

$$\ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0$$

Используя калибровку Лоренца, уравнения Максвелла можно компактно записать в терминах магнитного векторного потенциала. $\ \mathbf {A} \$ и электрический скалярный потенциал $\ \phi \ :$

$${\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\ \partial t^{2}}}&=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\[2.734ex]\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\ \partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\ \mathbf {J} \end{aligned}}$$

В других калибровках уравнения другие. другие обозначения для записи тех же уравнений (с использованием четырехвекторов Ниже показаны ).

Заряженная частица в поле

В поле с электрическим потенциалом $\ \phi \$ и магнитный потенциал $\ \mathbf {A} \ ,$ лагранжиан ​ ( $\ {\mathcal {L}}\$) и гамильтониан ( $\ {\mathcal {H}}\$) частицы с массой $\ m\$ и зарядить $\ q\$ являются

$${\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {1}{2}}m\ \mathbf {v} ^{2}+q\ \mathbf {v} \cdot \mathbf {A} -q\ \phi \ ,\\{\mathcal {H}}&={\frac {1}{2m}}\left(q\ \mathbf {A} -\mathbf {p} \right)^{2}+q\ \phi ~.\end{aligned}}$$

Расчет потенциалов по исходным распределениям

Основная статья: Замедленный потенциал

Решения уравнений Максвелла в калибровке Лоренца (см. Фейнман и Джексон ) с граничным условием, что оба потенциала достаточно быстро обращаются к нулю при приближении к бесконечности, называются запаздывающими потенциалами , которые представляют собой магнитный векторный потенциал $\ \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\$ и электрический скалярный потенциал $\ \phi (\mathbf {r} ,t)\$ из-за текущего распределения плотности тока $\ \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\ ,$ плотность заряда $\ \rho (\mathbf {r} ,t)\ ,$ и объем $\ \Omega \ ,$ в рамках которого $\ \rho \$ и $\ \mathbf {J} \$ ненулевые, по крайней мере, иногда и в некоторых местах):

$${\begin{aligned}\mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\ \left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|\ }}\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} '\\\phi \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\ \left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|\ }}\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}$$

где поля в векторе положения $\ \mathbf {r} \$ и время $\ t\$ рассчитываются на основе источников в удаленном положении $\ \mathbf {r} '\$ в более раннее время $\ t'~.$ Расположение $\ \mathbf {r} '\$ является исходной точкой в ​​распределении заряда или тока (также переменная интегрирования, в пределах объема $\ \Omega \$). Более раннее время $\ t'\$ называется запаздывающим временем и рассчитывается как

$$t'=t-{\frac {\ 1\ }{c}}{\bigl \|}\mathbf {r} -\mathbf {r} '{\bigr \|}~.$$

Есть несколько примечательных вещей о $\ \mathbf {A} \$ и $\ \phi \$ рассчитывается таким образом:

• Калибровочное условие Лоренца выполнено:

$$\ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0~.$$

• Позиция $\ \mathbf {r} \ ,$ точка, в которой значения для $\ \phi \$ и $\ \mathbf {A} \$ найдены, входит в уравнение только как часть скалярного расстояния от $\ \mathbf {r} '\$ к $\ \mathbf {r} ~.$ Направление от $\ \mathbf {r} '\$ к $\ \mathbf {r} \$ не входит в уравнение. Единственное, что имеет значение в отношении точки источника, — это то, насколько далеко она находится.
• Подынтегральная функция использует запаздывающее время , $\ t'~.$ Это просто отражает тот факт, что изменения в источниках распространяются со скоростью света. Следовательно, плотности заряда и тока, влияющие на электрический и магнитный потенциал при $\ \mathbf {r} \$ и $\ t\ ,$ из удаленного места $\ \mathbf {r} '\$ также должно быть когда-то раньше $\ t'~.$
• Уравнение для $\ \mathbf {A} \$ является векторным уравнением. В декартовых координатах уравнение распадается на три скалярных уравнения:

$${\begin{aligned}A_{x}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} '\ ,\\[1ex]A_{y}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{y}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} '\ ,\\[1ex]A_{z}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{z}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\ \operatorname {d} ^{3}\mathbf {r} '~.\end{aligned}}$$

В этой форме легко видеть, что компонента $\ \mathbf {A} \$ в заданном направлении зависит только от составляющих $\ \mathbf {J} \$ которые находятся в одном направлении. Если ток течет по длинному прямому проводу, $\ \mathbf {A} \$ указывает в том же направлении, что и провод.

В других калибровках формула для $\ \mathbf {A} \$ и $\ \phi \$ отличается; например, см. в разделе «Кулоновская калибровка» другую возможность .

Изображение А-поля

Представление кулоновского калибровочного магнитного векторного потенциала $\ \mathbf {A} \ ,$ плотность магнитного потока $\ \mathbf {B} \ ,$ и плотность тока $\ \mathbf {J} \$ поля вокруг тороидального индуктора круглого сечения . Более толстые линии обозначают линии поля более высокой средней интенсивности. Кружочки в поперечном сечении ядра обозначают $\ \mathbf {B} \$ поле выходит за пределы изображения, знаки плюс обозначают $\ \mathbf {B} \$ поле, входящее в картину. $\ \nabla \cdot \mathbf {A} =0\$ было предположено.

См. Фейнмана для изображения того $\ \mathbf {A} \$ поле вокруг длинного тонкого соленоида .

С

$$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\ \mathbf {J}$$

предполагая квазистатические условия, т.е.

${\frac {\ \partial \mathbf {E} \ }{\partial t}}\to 0\$ и $\ \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} \ ,$

линии и контуры $\ \mathbf {A} \$ относиться к $\ \mathbf {B} \$ как линии и контуры $\ \mathbf {B} \$ относиться к $\ \mathbf {J} ~.$ Таким образом, изображение $\ \mathbf {A} \$ поле вокруг петли $\ \mathbf {B} \$ поток (который создается в тороидальном индукторе ) качественно такой же, как и поток $\ \mathbf {B} \$ поле вокруг контура тока.

На рисунке справа изображен художник. $\ \mathbf {A} \$ поле. Более толстые линии обозначают пути с более высокой средней интенсивностью (более короткие пути имеют более высокую интенсивность, поэтому интеграл по пути тот же). Линии нарисованы для (эстетического) придания общего вида. $\ \mathbf {A} \$поле.

Рисунок молчаливо предполагает $\ \nabla \cdot \mathbf {A} =0\ ,$ верно при любом из следующих предположений:

• кулоновская калибровка предполагается
• предполагается калибровка Лоренца и распределение заряда отсутствует, $\ \rho =0\$
• нулевая частота предполагается калибровка Лоренца и
• предполагается калибровка Лоренца и ненулевая частота, но все же считается достаточно низкой, чтобы пренебречь членом $\ {\frac {1}{\ c\ }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\$

Электромагнитный четырехпотенциал

Основная статья: Электромагнитный четырехпотенциал

В контексте специальной теории относительности естественно объединить магнитный векторный потенциал вместе со (скалярным) электрическим потенциалом в электромагнитный потенциал , также называемый четырехпотенциалом .

Одной из причин для этого является то, что четырехпотенциал — это математический четырехвектор . Таким образом, используя стандартные правила четырехвекторного преобразования, если известны электрический и магнитный потенциалы в одной инерциальной системе отсчета, их можно просто вычислить в любой другой инерциальной системе отсчета.

Другая связанная с этим мотивация заключается в том, что содержание классического электромагнетизма можно записать в краткой и удобной форме с использованием четырехэлектромагнитного потенциала, особенно когда калибровка Лоренца используется . В частности, в абстрактной индексной записи набор уравнений Максвелла (в калибровке Лоренца) может быть записан (в гауссовских единицах ) следующим образом:

$${\begin{aligned}\partial ^{\nu }A_{\nu }&=0\\\Box ^{2}A_{\nu }&={\frac {4\pi }{\ c\ }}\ J_{\nu }\end{aligned}}$$

где $\ \Box ^{2}\$ является даламберианцем и $\ J\$ является четырехтоковым . Первое уравнение представляет собой калибровочное условие Лоренца , а второе содержит уравнения Максвелла. Четырехпотенциал также играет очень важную роль в квантовой электродинамике .

См. также

• Магнитный скалярный потенциал
• Эффект Ааронова – Бома
• Глюонное поле

Ссылки

• Даффин, WJ (1990). Электричество и магнетизм, четвертое издание . МакГроу-Хилл.
• Фейнман, Ричард П; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью (1964). Фейнмановские лекции по физике, том 2 . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-02117-Х .
• Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-30932-Х .
• Краус, Джон Д. (1984). Электромагнетизм (3-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-035423-5 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с потенциалом магнитного вектора, на Викискладе?