Четырехточечный

В специальной и общей теории относительности ( четырехток технически четырехтоковая плотность ) ^[1] представляет собой четырехмерный аналог плотности тока с единицами заряда в единицу времени на единицу площади. Также известный как векторный ток , он используется в геометрическом контексте четырехмерного пространства-времени , а не отделяет время от трехмерного пространства. Математически это четырехвекторный вектор , лоренц-ковариантный .

В этой статье используется соглашение о суммировании индексов. См. ковариацию и контравариантность векторов для получения информации о повышенных и пониженных индексах, а также о повышении и понижении индексов о том, как переключаться между ними.

Определение

Использование метрики Минковского $\eta _{\mu \nu }$ ( метрической сигнатуры + - - -) четырехтоковые компоненты определяются формулой:

J^{\alpha }=\left(c\rho ,j^{1},j^{2},j^{3}\right)=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)

где:

$с$ — скорость света ;
$ρ$ — объемная плотность заряда ;
$j$ – условная плотность тока ;
Фиктивный индекс $α$ обозначает пространства-времени измерения .

Движение зарядов в пространстве-времени

Это также можно выразить через четырехскоростное уравнение : ^[2]^[3]

J^{\alpha }=\rho _{0}U^{\alpha }=\rho _{u}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}U^{\alpha }

где:

$\rho _{u}$ — плотность заряда, измеренная инерционным наблюдателем О, который видит электрический ток , движущийся со скоростью $u$ (величина 3-скорости );
$\rho _{0}$ — «остальная плотность заряда», т. е. плотность заряда для сопутствующего наблюдателя (наблюдателя, движущегося со скоростью $u$ — относительно инерционного наблюдателя O — вместе с зарядами).

Качественно изменение плотности заряда (заряда на единицу объема) происходит за счет сжатия объема заряда вследствие лоренцева сжатия .

Физическая интерпретация

Заряды (свободные или распределенные) в состоянии покоя будут оставаться в одном и том же пространственном положении в течение некоторого интервала времени (пока они стационарны). Когда они движутся, это соответствует изменению положения, поэтому заряды имеют скорость, и движение заряда представляет собой электрический ток. Это означает, что плотность заряда связана со временем, а плотность тока связана с пространством.

Четырехток объединяет плотность заряда (связанную с электричеством) и плотность тока (связанную с магнетизмом) в одной электромагнитной сущности.

Уравнение непрерывности

В специальной теории относительности утверждение о сохранении заряда состоит в том, что лоренц-инвариантная дивергенция J равна нулю: ^[4]

{\dfrac {\partial J^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\,,

где $\partial /\partial x^{\alpha }$ является четырехградиентным . Это уравнение непрерывности .

В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается как:

J^{\alpha }{}_{;\alpha }=0\,,

где точка с запятой представляет ковариантную производную .

Уравнения Максвелла

Четырехток появляется в двух эквивалентных формулировках уравнений Максвелла в терминах четырехпотенциала . ^[5] когда калибровочное условие Лоренца выполняется :

\Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }

где $\Box$ — оператор Даламбера , или тензор электромагнитного поля :

\nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }

где µ0 _, — проницаемость свободного пространства а ∇α _— ковариантная производная .

Общая теория относительности

В общей теории относительности четырехток определяется как дивергенция электромагнитного смещения, определяемая как:

{\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\,

затем:

J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }

Квантовая теория поля

Четырехтоковая плотность заряда является важным компонентом лагранжевой плотности, используемой в квантовой электродинамике. ^[6] В 1956 году Герштейн и Зельдович рассмотрели гипотезу сохраняющегося векторного тока (ВАХ) для электрослабых взаимодействий. ^[7]^[8]^[9]

См. также

Ссылки

^ Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. стр. 103–107. ISBN 978-0-19-853952-0 .
^ Роальд К. Вангснесс, Электромагнитные поля, 2-е издание (1986), стр. 518, 519
^ Мелвин Шварц, Принципы электродинамики, Дуврское издание (1987), стр. 122, 123
^ Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика, 3-е издание (1999), стр. 554
^ как [ссылка. 1, стр. 519]
^ Коттингем, В. Ноэль; Гринвуд, Дерек А. (2003). Введение в стандартную модель физики элементарных частиц . Издательство Кембриджского университета. п. 67. ИСБН 9780521588324 .
^ Маршак, Роберт Э. (1993). Концептуальные основы современной физики элементарных частиц . Мировое научное издательство. п. 20 . ISBN 9789813103368 .
^ Герштейн, СС; Зельдович Ю.Б. (1956), Советский физ. ЖЭТФ , 2 576.
^ Томас, Энтони В. (1996). «ВАХ в физике элементарных частиц». arXiv : nucl-th/9609052 .

[1] Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. стр. 103–107. ISBN 978-0-19-853952-0 .

[2] Роальд К. Вангснесс, Электромагнитные поля, 2-е издание (1986), стр. 518, 519

[3] Мелвин Шварц, Принципы электродинамики, Дуврское издание (1987), стр. 122, 123

[4] Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика, 3-е издание (1999), стр. 554

[5] как [ссылка. 1, стр. 519]

[6] Коттингем, В. Ноэль; Гринвуд, Дерек А. (2003). Введение в стандартную модель физики элементарных частиц . Издательство Кембриджского университета. п. 67. ИСБН 9780521588324 .

[7] Маршак, Роберт Э. (1993). Концептуальные основы современной физики элементарных частиц . Мировое научное издательство. п. 20 . ISBN 9789813103368 .

[8] Герштейн, СС; Зельдович Ю.Б. (1956), Советский физ. ЖЭТФ , 2 576.

[9] Томас, Энтони В. (1996). «ВАХ в физике элементарных частиц». arXiv : nucl-th/9609052 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]