Сохранение заряда

Эта статья о сохранении электрического заряда. Для получения общей теоретической концепции см. заряд (физика) .

В физике электрический сохранение заряда — это принцип, согласно которому полный заряд в изолированной системе никогда не меняется. Чистое количество электрического заряда, количество положительного заряда минус количество отрицательного заряда во Вселенной, всегда сохраняется . Сохранение заряда, рассматриваемое как физический закон сохранения , подразумевает, что изменение количества электрического заряда в любом объеме пространства точно равно количеству заряда, втекающего в объем, за вычетом количества заряда, вытекающего из объема. По сути, сохранение заряда — это учетная взаимосвязь между количеством заряда в области и потоком заряда в эту область и из нее, определяемая уравнением непрерывности между плотностью заряда. $\rho (\mathbf {x} )$ и плотность тока $\mathbf {J} (\mathbf {x} )$.

Это не означает, что отдельные положительные и отрицательные заряды не могут быть созданы или уничтожены. Электрический заряд переносится субатомными частицами , такими как электроны и протоны . Заряженные частицы могут создаваться и разрушаться в реакциях элементарных частиц. В физике элементарных частиц сохранение заряда означает, что в реакциях, которые создают заряженные частицы, всегда создается равное количество положительных и отрицательных частиц, сохраняя чистое количество заряда неизменным. Аналогично, когда частицы разрушаются, уничтожается равное количество положительных и отрицательных зарядов. Это свойство подтверждается всеми без исключения эмпирическими наблюдениями до сих пор.

Хотя сохранение заряда требует, чтобы общее количество заряда во Вселенной было постоянным, оно оставляет открытым вопрос о том, что это за количество. Большинство данных указывает на то, что суммарный заряд Вселенной равен нулю; то есть существует одинаковое количество положительного и отрицательного заряда.

История

Сохранение заряда было впервые предложено британским учёным Уильямом Уотсоном в 1746 году и американским государственным деятелем и учёным Бенджамином Франклином в 1747 году, хотя первое убедительное доказательство было дано Майклом Фарадеем в 1843 году.

теперь обнаружено и продемонстрировано, как здесь, так и в Европе, что Электрический Огонь является реальным Элементом или Видом Материи, не созданным Трением, а только собранным .

- Бенджамин Франклин, письмо Кадвалладеру Колдену, 5 июня 1747 г.

Официальное заявление закона

См. Также: Уравнение непрерывности.

Математически мы можем сформулировать закон сохранения заряда в виде уравнения непрерывности :

$${\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t).$$

где $\mathrm {d} Q/\mathrm {d} t$ — скорость накопления электрического заряда в определенном объеме в момент времени t , ${\dot {Q}}_{\rm {IN}}$ - количество заряда, перетекающего в объем и ${\dot {Q}}_{\rm {OUT}}$ – количество заряда, вытекающего из объема; обе суммы рассматриваются как общие функции времени.

Интегрированное уравнение непрерывности между двумя значениями времени гласит:

$$Q(t_{2})=Q(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.$$

Общее решение получается путем фиксации времени начального состояния $t_{0}$, что приводит к интегральному уравнению :

$$Q(t)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau .$$

Состояние $Q(t)=Q(t_{0})\;\forall t>t_{0},$ соответствует отсутствию изменения количества заряда в контрольном объеме: система достигла установившегося состояния . Из приведенного выше условия должно выполняться следующее:

$$\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\implies \;{\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\;\;\forall t>t_{0}$$

поэтому, ${\dot {Q}}_{\rm {IN}}$ и ${\dot {Q}}_{\rm {OUT}}$ равны (не обязательно постоянны) во времени, то общий заряд внутри контрольного объема не меняется. Этот вывод можно вывести непосредственно из уравнения непрерывности, поскольку в установившемся режиме $\partial Q/\partial t=0$ имеет место и подразумевает ${\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)$.

В электромагнитного поля теории векторное исчисление можно использовать для выражения закона через плотность заряда ρ (в кулонах на кубический метр) и плотность электрического тока J (в амперах на квадратный метр). Это называется уравнением непрерывности плотности заряда.

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.$$

Член слева — это скорость изменения плотности заряда ρ в точке. Слагаемое справа — это дивергенция плотности тока J в одной и той же точке. Уравнение уравнивает эти два фактора и говорит, что единственный способ изменения плотности заряда в точке — это протекание тока заряда в точку или из нее. Это утверждение эквивалентно сохранению четырехтоков .

вывод

Чистый ток в объеме равен

$$I=-\iint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S}$$

где S = ∂ V — граница V направленными наружу , ориентированная нормалями , а d S — сокращение от N dS , направленная наружу нормаль границы ∂ V. , Здесь J — плотность тока (заряд на единицу площади в единицу времени) на поверхности объема. Вектор указывает направление тока.

Из теоремы о дивергенции это можно записать

$$I=-\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV$$

Сохранение заряда требует, чтобы чистый ток в объеме обязательно равнялся чистому изменению заряда внутри объема.

$${\frac {dq}{dt}}=-\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV$$

( 1 )

Полный заряд q в объеме V представляет собой интеграл (сумму) плотности заряда в V

$$q=\iiint \limits _{V}\rho dV$$

Итак, по правилу интеграла Лейбница

$${\frac {dq}{dt}}=\iiint _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV$$

( 2 )

Приравнивание ( 1 ) и ( 2 ) дает

$$0=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.$$

Поскольку это справедливо для любого тома, в общем случае мы имеем

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.$$

Максвелла

Инвариантность заряда можно вывести как следствие уравнений Максвелла. Левая часть модифицированного закона Ампера имеет нулевую дивергенцию по тождеству div-curl . Разложение расхождения правой части, замена производных и применение закона Гаусса дает:

$$0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)$$

то есть,

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.$$

По теореме о дивергенции Гаусса это означает, что скорость изменения заряда в фиксированном объеме равна чистому току, протекающему через границу:

${\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-$ ${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.$

В частности, в изолированной системе сохраняется полный заряд.

Связь с калибровочной инвариантностью

Сохранение заряда также можно понимать как следствие симметрии с помощью теоремы Нётер — центрального результата теоретической физики, который утверждает, что каждый закон сохранения связан с симметрией базовой физики. Симметрия, связанная с сохранением заряда, представляет собой глобальную калибровочную инвариантность электромагнитного поля . Это связано с тем, что электрическое и магнитное поля не изменяются при различном выборе значения, представляющего нулевую точку электростатического потенциала. $\phi$. Однако полная симметрия сложнее и включает в себя векторный потенциал. $\mathbf {A}$. Полное утверждение калибровочной инвариантности состоит в том, что физика электромагнитного поля не меняется, когда скалярный и векторный потенциал смещаются градиентом произвольного скалярного поля. $\chi$:

$\phi '=\phi -{\frac {\partial \chi }{\partial t}}\qquad \qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \chi .$

В квантовой механике скалярное поле эквивалентно сдвигу фазы заряженной волновой функции частицы:

$\psi '=e^{iq\chi }\psi$

таким образом, калибровочная инвариантность эквивалентна хорошо известному факту, что изменения общей фазы волновой функции ненаблюдаемы, и только изменения величины волновой функции приводят к изменениям функции вероятности. $|\psi |^{2}$.

Калибровочная инвариантность — очень важное, хорошо известное свойство электромагнитного поля, имеющее множество проверяемых последствий. Теоретическое обоснование сохранения заряда значительно усиливается благодаря связи с этой симметрией. Например, калибровочная инвариантность также требует, чтобы фотон был безмассовым, поэтому надежные экспериментальные доказательства того, что фотон имеет нулевую массу, также являются убедительным доказательством сохранения заряда. Калибровочная инвариантность также подразумевает квантование гипотетических магнитных зарядов.

Однако даже если калибровочная симметрия точна, может иметь место явное несохранение электрического заряда, если заряд может утечь из нашего обычного трехмерного пространства в скрытые дополнительные измерения .

Экспериментальные доказательства

Простые аргументы исключают некоторые виды несохранения заряда. Например, величина элементарного заряда на положительных и отрицательных частицах должна быть предельно близка к равной, отличаясь не более чем в 10 раз. ⁻²¹ для случая протонов и электронов. Обычная материя содержит равное количество положительных и отрицательных частиц, протонов и электронов , в огромных количествах. Если бы элементарный заряд электрона и протона хотя бы немного отличался, вся материя имела бы большой электрический заряд и была бы взаимно отталкивающей.

Лучшими экспериментальными проверками сохранения электрического заряда являются поиски распадов частиц , которые были бы возможны, если бы электрический заряд не всегда сохранялся. Таких распадов никогда не наблюдалось. Лучшим экспериментальным тестом является поиск энергичного фотона из электрона , распадающегося на нейтрино , и одиночный фотон :

е → п + с

средний срок службы больше 6,6 × 10 28 лет (90% уровень достоверности ),

но существуют теоретические аргументы в пользу того, что такие однофотонные распады никогда не произойдут, даже если заряд не сохраняется. Тесты на исчезновение заряда чувствительны к распаду без энергичных фотонов, другим необычным процессам, нарушающим заряд, таким как спонтанное превращение электрона в позитрон , и к электрическому заряду, перемещающемуся в другие измерения.Наилучшие экспериментальные оценки исчезновения заряда:

	е → что угодно	средний срок службы больше 6,4 × 10 24 лет (68% CL )
	п → п + п + п	распады без сохранения заряда меньше 8 × 10 −27 (68% CL ) всех нейтронных распадов

См. также

• Емкость
• Инвариантность заряда
• Законы сохранения и симметрия
• Введение в калибровочную теорию - включает дальнейшее обсуждение калибровочной инвариантности и сохранения заряда.
• Законы цепи Кирхгофа - применение закона сохранения заряда к электрическим цепям
• Уравнения Максвелла
• Относительная плотность заряда
• Электростатическая машина Франклина

Дальнейшее чтение

• Лемей, Дж. А. Лео (2008). «Глава 2: Электричество» . Жизнь Бенджамина Франклина, Том 3: Солдат, учёный и политик . Издательство Пенсильванского университета . ISBN  978-0-8122-4121-1 .