Закон сохранения

Эта статья о сохранении в физике. Правовые аспекты охраны окружающей среды см. в разделах «Экологическое право» и «Движение за сохранение» . Чтобы узнать о других значениях, см. Сохранение (значения) .

В физике закон сохранения гласит, что определенное измеримое свойство изолированной физической системы не меняется по мере того, как система развивается с течением времени. Точные законы сохранения включают сохранение массы-энергии , сохранение линейного момента , сохранение углового момента и сохранение электрического заряда . Существует также множество приближенных законов сохранения, применимых к таким величинам, как масса , четность , лептонное число , барионное число , странность , гиперзаряд и т. д. Эти величины сохраняются в определенных классах физических процессов, но не во всех.

Локальный закон сохранения обычно выражается математически как уравнение непрерывности , уравнение в частных производных , которое устанавливает связь между количеством количества и «переносом» этого количества. Он гласит, что количество сохраняющегося количества в точке или внутри объема может измениться только на количество количества, которое втекает в объем или вытекает из него.

Согласно теореме Нётер , каждая дифференцируемая симметрия приводит к закону сохранения. Могут существовать и другие сохраняющиеся величины.

природы

Законы сохранения имеют фундаментальное значение для нашего понимания физического мира, поскольку они описывают, какие процессы могут или не могут происходить в природе. Например, закон сохранения энергии гласит, что общее количество энергии в изолированной системе не меняется, хотя и может менять форму. В общем, общее количество свойств, регулируемых этим законом, остается неизменным в ходе физических процессов. Что касается классической физики, законы сохранения включают сохранение энергии, массы (или материи), линейного момента, углового момента и электрического заряда. Что касается физики элементарных частиц, частицы не могут быть созданы или уничтожены, кроме как парами, где одна является обычной, а другая — античастицей. Что касается принципов симметрии и инвариантности, были описаны три специальных закона сохранения, связанные с инверсией или обращением пространства, времени и заряда.

Законы сохранения считаются фундаментальными законами природы, имеющими широкое применение в физике, а также в других областях, таких как химия, биология, геология и техника.

Большинство законов сохранения точны или абсолютны в том смысле, что они применимы ко всем возможным процессам. Некоторые законы сохранения являются частичными, поскольку они справедливы для одних процессов, но не справедливы для других.

Одним из особенно важных результатов, касающихся законов сохранения, является теорема Нётер , которая утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между каждым из них и дифференцируемой симметрией природы. Например, сохранение энергии следует из неизменности физических систем во времени, а сохранение углового момента возникает из-за того, что физические системы ведут себя одинаково независимо от того, как они ориентированы в пространстве.

Точные законы

Частичный список физических уравнений сохранения, обусловленных симметрией , которые считаются точными законами или, точнее, нарушение которых никогда не было доказано:

Закон сохранения	симметрии Нётер Соответствующая инвариантность		Количество независимых параметров (т.е. размерность фазового пространства)
Сохранение массы-энергии E	Инвариантность перевода времени	Инвариантность Пуанкаре	1	перевод времени по t оси
Сохранение линейного импульса p	Инвариантность пространственного перевода		3	перемещение пространства по x , y , z осям
Сохранение углового момента L = r × p	Инвариантность вращения		3	вращение пространства вокруг x , y , z осей
Сохранение 3-вектора буста N = t p - E r	Лоренц-буст-инвариантность		3	Лоренц-стимулирование пространства-времени по x , y , z осям
Сохранение электрического заряда	U(1) Инвариантность Q- калибровки		1	трансляция электродинамического скалярного потенциального поля вдоль оси V (в фазовом пространстве)
Сохранение цветового заряда	SU(3) C Калибровочная инвариантность		3	трансляция хромодинамического потенциального поля вдоль осей r , g , b (в фазовом пространстве)
Сохранение слабого изоспина	SU(2) L Калибровочная инвариантность		1	трансляция слабого потенциального поля вдоль оси в фазовом пространстве
Сохранение разницы между барионным и лептонным числами B - L	U(1) BL Калибровочная инвариантность		1

Другая точная симметрия — это симметрия CPT , одновременная инверсия пространственных и временных координат вместе с заменой всех частиц их античастицами; однако, поскольку симметрия дискретна, теорема Нётер к ней не применима. Соответственно, сохраняющаяся величина, CPT-паритет, обычно не может быть осмысленно рассчитана или определена.

Примерные законы

Существуют также приближенные законы сохранения. Это примерно верно в определенных ситуациях, таких как низкие скорости, короткие временные рамки или определенные взаимодействия.

• Сохранение механической энергии
• Сохранение массы (приблизительно верно для нерелятивистских скоростей )
• Сохранение барионного числа (см. киральную аномалию и сфалерон )
• Сохранение лептонного числа (в Стандартной модели )
• Сохранение вкуса (нарушается слабым взаимодействием )
• Сохранение странности (нарушается слабым взаимодействием )
• Сохранение пространственной четности (нарушается слабым взаимодействием )
• Сохранение зарядовой четности (нарушается слабым взаимодействием )
• Сохранение временной четности (нарушается слабым взаимодействием )
• Сохранение CP-четности (нарушается слабым взаимодействием ); в Стандартной модели это эквивалентно сохранению временной четности .

и локальные

Общее количество некоторой сохраняющейся величины во Вселенной могло бы остаться неизменным, если бы равное количество появилось в одной точке А и одновременно исчезло из другой отдельной Б. точки Например, определенное количество энергии могло бы появиться на Земле без изменения общего количества во Вселенной, если бы такое же количество энергии исчезло из какой-то другой области Вселенной. Эта слабая форма «глобального» сохранения на самом деле не является законом сохранения, поскольку она не является лоренц-инвариантом , поэтому явления, подобные описанным выше, не встречаются в природе. Согласно специальной теории относительности , если появление энергии в точке А и исчезновение энергии в точке В происходят одновременно в одной инерциальной системе отсчета , они не будут одновременными и в других инерциальных системах отсчета, движущихся относительно первой. В движущемся кадре одно произойдет раньше другого; либо энергия в точке А появится до , либо после энергии в точке В. исчезновения В обоих случаях в течение интервала энергия не будет сохраняться.

Более сильная форма закона сохранения требует, чтобы для изменения количества сохраняющейся величины в точке необходим поток или поток этой величины в точку или из нее. Например, количество электрического заряда в точке никогда не меняется без электрического тока , проникающего в точку или выходящего из нее, несущего разницу в заряде. Поскольку он предполагает только непрерывные локальные изменения, этот более сильный тип закона сохранения является лоренц-инвариантным ; величина, сохраняющаяся в одной системе отсчета, сохраняется и во всех движущихся системах отсчета. Это называется локальным законом сохранения . Сохранение на местном уровне также подразумевает сохранение на глобальном уровне; что общее количество сохраняющейся величины во Вселенной остается постоянным. Все перечисленные выше законы сохранения являются локальными законами сохранения. Локальный закон сохранения выражается математически уравнением непрерывности , которое утверждает, что изменение количества в объеме равно полному чистому «потоку» количества через поверхность объема. В следующих разделах уравнения непрерывности обсуждаются в целом.

Дифференциальные формы

См. Также: форма сохранения и уравнение неразрывности .

В механике сплошной среды наиболее общий вид точного закона сохранения дается уравнением неразрывности . Например, сохранение электрического заряда q равно

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,$$

где ∇⋅ — оператор дивергенции , ρ — плотность q (количество на единицу объема), j — поток q (количество, пересекающее единицу площади в единицу времени), а t — время.

Если предположить, что движение то заряда и является непрерывной функцией положения и времени,

$${\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{aligned}}$$

В одном измерении пространства это можно представить в виде однородного квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка :

$$y_{t}+A(y)y_{x}=0$$

где зависимая переменная y называется плотностью сохраняющейся величины , а A ( y ) называется текущим якобианом , а для частных производных использовалось индексное обозначение. Более общий неоднородный случай:

$$y_{t}+A(y)y_{x}=s$$

Это не уравнение сохранения, а общий вид уравнения баланса, описывающего диссипативную систему . Зависимая переменная y называется несохраняющейся величиной , а неоднородный член s ( y , x , t ) — источником , или диссипацией . Например, уравнениями баланса такого рода являются уравнения Навье-Стокса по импульсу и энергии , или баланс энтропии для общей изолированной системы .

В одномерном пространстве уравнение сохранения представляет собой квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка , которое можно представить в форме адвекции :

$$y_{t}+a(y)y_{x}=0$$

где зависимая переменная y ( x , t ) называется плотностью сохраняющейся ( скалярной) величины, а a ( y ) называется коэффициентом тока , обычно соответствующим частной производной в сохраняющейся величине плотности тока сохраняемой величины. количество j ( y ) :

$$a(y)=j_{y}(y)$$

В этом случае применяется правило цепочки :

$$j_{x}=j_{y}(y)y_{x}=a(y)y_{x}$$

уравнение сохранения можно представить в виде плотности тока:

$$y_{t}+j_{x}(y)=0$$

В пространстве с более чем одним измерением первое определение можно расширить до уравнения, которое можно привести к следующему виду:

$$y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0$$

где сохраняющаяся величина — y ( r , t ) , ⋅ обозначает скалярное произведение , ∇ — оператор набла , здесь обозначающий градиент , а a ( y ) — вектор текущих коэффициентов, аналогично соответствующий дивергенции векторного тока плотность, связанная с сохраняющейся величиной j ( y ) :

$$y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0$$

Так обстоит дело с уравнением неразрывности :

$$\rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$$

Здесь сохраняющейся величиной является масса с плотностью ρ ( r , t ) и плотностью тока ρu , идентичными плотности импульса , а u ( r , t ) — скорость потока .

В общем случае уравнением сохранения может быть также система таких уравнений ( векторное уравнение ) в виде:

$$\mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0}$$

где y называется сохраняющейся ( векторной ) величиной, ∇ y — ее градиентом , 0 — нулевым вектором , а A ( y ) называется якобианом плотности тока. Фактически, как и в первом скалярном случае, также и в векторном случае A ( y ), обычно соответствующем якобиану матрицы плотности тока J ( y ) :

$$\mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )$$

и уравнение сохранения можно привести к виду:

$$\mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0}$$

Например, так обстоит дело с уравнениями Эйлера (гидродинамика). В простом несжимаемом случае они таковы:

$$\nabla \cdot \mathbf {u} =0\,,\qquad {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s=\mathbf {0} ,$$

где:

• u — скорости потока вектор с компонентами в N-мерном пространстве u ₁ , u ₂ , ..., u _N ,
• s — удельное давление (давление на единицу плотности ), дающее исходный член ,

Смотрите также: уравнения Эйлера (гидродинамика)

Можно показать, что сохраняющаяся (векторная) величина и матрица плотности тока для этих уравнений равны соответственно:

$${\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {J} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\qquad$$

где $\otimes$ обозначает внешний продукт .

Целые и слабые формы

Уравнения сохранения обычно можно выразить и в интегральной форме: преимущество последней существенно в том, что она требует меньшей гладкости решения, что открывает путь к слабой форме , расширяя класс допустимых решений за счет включения разрывных решений. Путем интегрирования в любой пространственно-временной области форма плотности тока в одномерном пространстве:

$$y_{t}+j_{x}(y)=0$$

и, используя теорему Грина , интегральная форма:

$$\int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0$$

Аналогично, для скалярного многомерного пространства интегральная форма имеет вид:

$$\oint \left[y\,d^{N}r+j(y)\,dt\right]=0$$

где интегрирование линий осуществляется вдоль границы области против часовой стрелки.

Более того, определив пробную функцию φ ( r , t ), непрерывно дифференцируемую как во времени, так и в пространстве с компактным носителем, слабую форму, можно получить опираясь на начальное условие . В одномерном пространстве это:

$$\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\,dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx$$

В слабой форме все частные производные плотности и плотности тока передаются пробной функции, которая при первой гипотезе является достаточно гладкой, чтобы допускать эти производные.

См. также

• Инвариант (физика)
• Импульс
  • Уравнение импульса Коши
• Энергия
  • Сохранение энергии и Первый закон термодинамики
• Консервативная система
• Сохраняемое количество
  • Некоторые виды спиральности сохраняются в бездиссипативном пределе: гидродинамическая спиральность , магнитная спиральность , перекрестная спиральность .
• Принцип изменчивости
• Закон сохранения тензора энергии-напряжения
• Инвариант Римана
• Философия физики
• Тоталитарный принцип
• Уравнение конвекции-диффузии
• Единообразие природы

Примеры и приложения

• Адвекция
• Сохранение массы , или Уравнение неразрывности
• Сохранение заряда
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• невязкое уравнение Бюргерса
• Кинематическая волна
• Сохранение энергии
• Транспортный поток

Ссылки

• Филипсон, Шустер, Моделирование с помощью нелинейных дифференциальных уравнений: диссипативные и консервативные процессы , World Scientific Publishing Company, 2009.
• Виктор Дж. Стенгер , 2000. Вневременная реальность: симметрия, простота и множественные вселенные . Буффало, штат Нью-Йорк: Книги Прометея. Глава. 12 представляет собой краткое введение в законы симметрии, инвариантности и сохранения.
• Э. Годлевский и П. А. Равиарт, Гиперболические системы законов сохранения, Эллипсы, 1991.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с законами об охране природы, на Викискладе?
• Законы сохранения — гл. 11-15 в онлайн учебнике