Уравнение баланса

Эта статья об уравнениях баланса в теории вероятностей. Чтобы узнать о концепции сбалансированных уравнений в химии, см. химическое уравнение .

В теории вероятностей уравнение баланса — это уравнение , которое описывает поток вероятностей, связанный с цепью Маркова , входящей и выходящей из состояний или набора состояний.

Глобальный баланс

Уравнения глобального баланса (также известные как уравнения полного баланса) ) — это набор уравнений, характеризующих равновесное распределение (или любое стационарное распределение) цепи Маркова, если такое распределение существует.

Для цепи Маркова с непрерывным временем и пространством состояний ${\mathcal {S}}$, скорость перехода из состояния $i$ к $j$ данный $q_{ij}$ и равновесное распределение, определяемое формулой $\pi$, уравнения глобального баланса имеют вид

$\pi _{i}=\sum _{j\in S}\pi _{j}q_{ji},$

или эквивалентно

$\pi _{i}\sum _{j\in S\setminus \{i\}}q_{ij}=\sum _{j\in S\setminus \{i\}}\pi _{j}q_{ji}.$

для всех $i\in S$. Здесь $\pi _{i}q_{ij}$ представляет поток вероятности из состояния $i$ заявить $j$. Таким образом, левая часть представляет собой общий поток из состояния i в состояния, отличные от i , а правая часть представляет общий поток из всех состояний. $j\neq i$ в штат $i$. В общем, вычислительно сложно решить эту систему уравнений для большинства моделей массового обслуживания.

Подробный баланс

См. также: Подробный баланс.

Для цепи Маркова с непрерывным временем (CTMC) с матрицей скорости перехода $Q$, если $\pi _{i}$ можно найти так, что для каждой пары состояний $i$ и $j$

$\pi _{i}q_{ij}=\pi _{j}q_{ji}$

выполняется, то суммируя $j$, уравнения глобального баланса выполняются и $\pi$ – стационарное распространение процесса. Если такое решение может быть найдено, полученные уравнения обычно намного проще, чем непосредственное решение уравнений глобального баланса.

CTMC обратим тогда и только тогда, когда условия детального баланса удовлетворяются для каждой пары состояний. $i$ и $j$.

Цепь Маркова с дискретным временем (DTMC) с матрицей перехода $P$ и равновесное распределение $\pi$ говорят, что он находится в детальном балансе, если для всех пар $i$ и $j$,

$\pi _{i}p_{ij}=\pi _{j}p_{ji}.$

Когда решение может быть найдено, как в случае с CTMC, вычисления обычно выполняются намного быстрее, чем непосредственное решение уравнений глобального баланса.

Локальный баланс

В некоторых ситуациях члены по обе стороны уравнений глобального баланса отменяются. Уравнения глобального баланса затем можно разделить, чтобы получить набор уравнений локального баланса (также известных как уравнения частичного баланса , независимые уравнения баланса или отдельные уравнения баланса ). Эти уравнения баланса были впервые рассмотрены Питером Уиттлом . Полученные уравнения находятся где-то между уравнениями детального баланса и уравнениями глобального баланса. Любое решение $\pi$ к уравнениям локального баланса всегда является решением уравнений глобального баланса (мы можем восстановить уравнения глобального баланса путем суммирования соответствующих уравнений локального баланса), но обратное не всегда верно. Часто построение уравнений локального баланса эквивалентно удалению внешних сумм в уравнениях глобального баланса для определенных членов.

В 1980-е годы считалось, что местный баланс является требованием для равновесного распределения продуктов по форме . но Геленбе модель G-сети показала, что это не так.