Очередь М/М/∞

В теории массового обслуживания , дисциплине математической теории вероятностей , очередь M/M/∞ с несколькими серверами представляет собой модель массового обслуживания , в которой каждое поступление обслуживается немедленно и не ждет. ^{[ 1 ]} В нотации Кендалла оно описывает систему, в которой поступления управляются процессом Пуассона , серверов бесконечно много, поэтому заданиям не нужно ждать сервера. Каждое задание имеет экспоненциально распределенное время обслуживания. Это предел модели очереди M/M/c , при котором количество серверов c становится очень большим.

Модель можно использовать для моделирования производительности связанного отложенного удаления . ^{[ 2 ]}

Определение модели

Очередь M/M/∞ — это случайный процесс, пространство состояний которого представляет собой набор {0,1,2,3,...}, где значение соответствует количеству клиентов, обслуживаемых в данный момент. Поскольку количество параллельно работающих серверов бесконечно, очереди нет и количество клиентов в системах совпадает с количеством клиентов, обслуживаемых в любой момент времени.

Поступления происходят со скоростью λ в соответствии с процессом Пуассона и переводят процесс из состояния i в состояние i + 1.
Время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с параметром μ , и всегда существует достаточное количество серверов, так что каждое поступающее задание обслуживается немедленно. Переходы из состояния i в i − 1 происходят со скоростью iμ

Модель имеет матрицу скорости перехода

Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&2\mu &-(2\mu +\lambda )&\lambda \\&&3\mu &-(3\mu +\lambda )&\lambda \\&&&&\ddots \end{pmatrix}}.

Диаграмма пространства состояний для этой цепочки показана ниже.

Переходное решение

Предполагая, что система запускается в состоянии 0 в момент времени 0, тогда вероятность того, что система находится в состоянии j в момент времени t, можно записать как ^{[ 3 ]}^: 356

p_{0j}(t)=\exp \left(-{\frac {\lambda }{\mu }}(1-e^{-\mu t})\right){\frac {\left({\frac {\lambda }{\mu }}(1-e^{-\mu t})\right)^{j}}{j!}}{\text{ for }}j\geq 0

среднюю длину очереди в момент времени t из которого можно вычислить (записав N ( t ) для количества клиентов в системе в момент времени t, учитывая, что система пуста в нулевой момент времени)

\mathbb {E} (N(t)|N(0)=0)={\frac {\lambda }{\mu }}(1-e^{-\mu t}){\text{ for }}t\geq 0.

Время ответа

Время отклика для каждого поступающего задания представляет собой одно экспоненциальное распределение с параметром μ . Таким образом, среднее время отклика составляет 1/ μ . ^{[ 4 ]}

Максимальное количество клиентов в системе

Учитывая, что система находится в равновесии в момент времени 0, мы можем вычислить кумулятивную функцию распределения максимума процесса на конечном временном горизонте T в терминах полиномов Шарлье . ^{[ 2 ]}

Период перегрузки

Период перегрузки — это период времени, в течение которого процесс находится выше фиксированного уровня c , начиная с момента перехода процесса в состояние c + 1. Этот период имеет среднее значение. ^{[ 5 ]}

{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i>c}{\frac {c!}{i!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{i-c}

а преобразование Лапласа можно выразить через функцию Куммера . ^{[ 6 ]}

Стационарный анализ

Стационарная функция массы вероятности представляет собой распределение Пуассона. ^{[ 7 ]}

\pi _{k}={\frac {(\lambda /\mu )^{k}e^{-\lambda /\mu }}{k!}}\quad k\geq 0

поэтому среднее количество рабочих мест в системе равно λ / µ .

Стационарное распределение очереди M/G/∞ такое же, как и у очереди M/M/∞. ^{[ 8 ]}

Интенсивное движение

Записав N _t для количества клиентов в системе в момент времени t при ρ → ∞, масштабируемый процесс

X_{t}={\frac {N_{t}-\lambda /\mu }{\sqrt {\lambda /\mu }}}

сходится к процессу Орнштейна – Уленбека с нормальным распределением и параметром корреляции 1, определяемым исчислением Ито как ^{[ 5 ]}^{[ 9 ]}

dX_{t}=-Xdt+{\sqrt {2}}dW_{t}

где W — стандартное броуновское движение .

Ссылки

^ Харрисон, Питер ; Патель, Нареш М. (1992). Моделирование производительности сетей связи и компьютерных архитектур . Аддисон-Уэсли. п. 173.
^ Перейти обратно: ^а ^б Моррисон, Дж.А.; Шепп, Луизиана; Ван Вик, CJ (1987). «Анализ очередей хеширования с ленивым удалением» (PDF) . SIAM Journal по вычислительной технике . 16 (6): 1155. дои : 10.1137/0216073 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г.
^ Кулкарни, Видьядхар Г. (1995). Моделирование и анализ стохастических систем (Первое изд.). Чепмен и Холл. ISBN 0412049910 .
^ Кляйнрок, Леонард (1975). Системы массового обслуживания Том 1: Теория . стр. 101–103, 404. ISBN. 0471491101 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гиймен, Фабрис М.; Мазумдар, Рави Р.; Симонян, Ален Д. (1996). «Об аппроксимациях интенсивного трафика для переходных характеристик очередей M/M/∞». Журнал прикладной вероятности . 33 (2). Прикладное вероятностное доверие : 490–506. дои : 10.2307/3215073 . ISSN 0021-9002 . JSTOR 3215073 – через JSTOR .
^ Гиймен, Фабрис; Симонян, Ален (1995). «Переходные характеристики системы M/M/∞». Достижения в области прикладной теории вероятности . 27 (3). Прикладное вероятностное доверие : 862–88. дои : 10.2307/1428137 . ISSN 0001-8678 . JSTOR 1428137 – через JSTOR .
^ Болх, Гюнтер; Грейнер, Стефан; де Меер, Герман; Триведи, Кишор Шридхарбхай (2006). Сети массового обслуживания и цепи Маркова: моделирование и оценка производительности с помощью компьютерных приложений . Джон Уайли и сыновья. п. 249. ИСБН 0471791563 .
^ Ньюэлл, Г. Ф. (1966). «Очередь M/G/∞». SIAM Journal по прикладной математике . 14 (1). Общество промышленной и прикладной математики : 86–8. дои : 10.1137/0114007 . ISSN 0036-1399 . JSTOR 2946178 – через JSTOR .
^ Кнесль, К.; Ян, Ю.П. (2001). «Асимптотические разложения периода перегрузки для очереди M/M/∞». Системы массового обслуживания . 39 (2/3): 213. дои : 10.1023/A:1012752719211 .

[harrison-1] Харрисон, Питер ; Патель, Нареш М. (1992). Моделирование производительности сетей связи и компьютерных архитектур . Аддисон-Уэсли. п. 173.

[lock-2] Перейти обратно: ^а ^б Моррисон, Дж.А.; Шепп, Луизиана; Ван Вик, CJ (1987). «Анализ очередей хеширования с ленивым удалением» (PDF) . SIAM Journal по вычислительной технике . 16 (6): 1155. дои : 10.1137/0216073 . Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г.

[3] Кулкарни, Видьядхар Г. (1995). Моделирование и анализ стохастических систем (Первое изд.). Чепмен и Холл. ISBN 0412049910 .

[kleinrock-4] Кляйнрок, Леонард (1975). Системы массового обслуживания Том 1: Теория . стр. 101–103, 404. ISBN. 0471491101 .

[GuilleminFabrice-5] Перейти обратно: ^а ^б Гиймен, Фабрис М.; Мазумдар, Рави Р.; Симонян, Ален Д. (1996). «Об аппроксимациях интенсивного трафика для переходных характеристик очередей M/M/∞». Журнал прикладной вероятности . 33 (2). Прикладное вероятностное доверие : 490–506. дои : 10.2307/3215073 . ISSN 0021-9002 . JSTOR 3215073 – через JSTOR .

[6] Гиймен, Фабрис; Симонян, Ален (1995). «Переходные характеристики системы M/M/∞». Достижения в области прикладной теории вероятности . 27 (3). Прикладное вероятностное доверие : 862–88. дои : 10.2307/1428137 . ISSN 0001-8678 . JSTOR 1428137 – через JSTOR .

[7] Болх, Гюнтер; Грейнер, Стефан; де Меер, Герман; Триведи, Кишор Шридхарбхай (2006). Сети массового обслуживания и цепи Маркова: моделирование и оценка производительности с помощью компьютерных приложений . Джон Уайли и сыновья. п. 249. ИСБН 0471791563 .

[8] Ньюэлл, Г. Ф. (1966). «Очередь M/G/∞». SIAM Journal по прикладной математике . 14 (1). Общество промышленной и прикладной математики : 86–8. дои : 10.1137/0114007 . ISSN 0036-1399 . JSTOR 2946178 – через JSTOR .

[9] Кнесль, К.; Ян, Ю.П. (2001). «Асимптотические разложения периода перегрузки для очереди M/M/∞». Системы массового обслуживания . 39 (2/3): 213. дои : 10.1023/A:1012752719211 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

v т и Теория массового обслуживания
Одиночные узлы массового обслуживания	Очередь Д/М/1 Очередь М/Д/1 Очередь М/Д/Ц Очередь М/М/1 Теорема Берка Очередь М/М/Ц Очередь М/М/∞ Очередь M/G/1 Формула Поллачека – Хинчина Матричный аналитический метод Очередь M/G/k Очередь G/M/1 Очередь G/G/1 Формула Кингмана Уравнение Линдли Разветвить очередь – присоединиться к ней Массовая очередь
Процессы прибытия	Точный процесс Пуассона Марковский процесс прибытия Рациональный процесс прибытия
Сети массового обслуживания	Сеть Джексона Уравнения дорожного движения Теорема Гордона – Ньюэлла Анализ среднего значения Алгоритм Бузена сеть Келли G-сеть Сеть BCMP
Политика обслуживания	ФИФО ЛИФО Совместное использование процессора Круговой Самая короткая работа следующая Кратчайшее оставшееся время
Ключевые понятия	Цепь Маркова с непрерывным временем Обозначения Кендалла Закон Литтла Решение в форме продукта Уравнение баланса Квазиобратимость Потоко-эквивалентный серверный метод Теорема о прибытии Метод разложения метод Бенеша
Предельные теоремы	Предел жидкости Теория среднего поля Приближение интенсивного движения Отраженное броуновское движение
Расширения	Жидкая очередь Многоуровневая сеть массового обслуживания Система опроса Состязательная сеть массового обслуживания Сеть потерь Очередь повторных попыток
Информационные системы	Буфер данных Эрланг (единица измерения) Распределение Эрланга Управление потоком (данные) Очередь сообщений Перегрузка сети Сетевой планировщик Конвейер (программное обеспечение) Качество обслуживания Планирование (вычисления) Телетрафик инжиниринг
Категория

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category