Случайная динамическая система

В математической области динамических систем случайная динамическая система — это динамическая система, в которой уравнения движения содержат элемент случайности. системы характеризуются пространством состояний S , набором отображений Случайные динамические $\Gamma$ из S в себя, которую можно рассматривать как набор всех возможных уравнений движения, и распределение вероятностей Q на множестве $\Gamma$ что представляет собой случайный выбор карты. Движение в случайной динамической системе неформально можно рассматривать как состояние. $X\in S$ развивается согласно последовательности карт, случайно выбранных в соответствии с Q. распределением ^[1]

Примером случайной динамической системы является стохастическое дифференциальное уравнение ; в этом случае распределение Q обычно определяется шумовыми членами . Он состоит из основного потока , «шума», и динамической системы коцикла на «физическом» фазовом пространстве . Другой пример — случайная динамическая система с дискретным состоянием; обсуждаются некоторые элементарные противоречия между описаниями цепей Маркова и случайными динамическими системами стохастической динамики. ^[2]

Мотивация 1: Решения стохастического дифференциального уравнения

Позволять $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}$ быть $d$ -мерное векторное поле и пусть $\varepsilon >0$ . Предположим, что решение $X(t,\omega ;x_{0})$ к стохастическому дифференциальному уравнению

\left\{{\begin{matrix}\mathrm {d} X=f(X)\,\mathrm {d} t+\varepsilon \,\mathrm {d} W(t);\\X(0)=x_{0};\end{matrix}}\right.

существует для всего положительного времени и некоторого (небольшого) интервала отрицательного времени, зависящего от $\omega \in \Omega$ , где $W:\mathbb {R} \times \Omega \to \mathbb {R} ^{d}$ обозначает $d$ -мерный винеровский процесс ( броуновское движение ). Неявно это утверждение использует Винера. классическое вероятностное пространство

(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ):=\left(C_{0}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{d}),{\mathcal {B}}(C_{0}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{d})),\gamma \right).

В этом контексте винеровский процесс является координатным процессом.

Теперь определите карту потока или ( оператор решения ) $\varphi :\mathbb {R} \times \Omega \times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}$ к

\varphi (t,\omega ,x_{0}):=X(t,\omega ;x_{0})

(всякий раз, когда правая часть четко определена ). Затем $\varphi$ (или, точнее, пара $(\mathbb {R} ^{d},\varphi )$ ) — (локальная, левосторонняя) случайная динамическая система. Процесс создания «потока» из решения стохастического дифференциального уравнения приводит нас к самостоятельному изучению подходящим образом определенных «потоков». Эти «потоки» представляют собой случайные динамические системы.

Мотивация 2: Подключение к цепи Маркова

Случайная динамическая система iid в дискретном пространстве описывается тройкой $(S,\Gamma ,Q)$ .

$S$ это пространство состояний, $\{s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n}\}$ .
$\Gamma$ это семейство карт $S\rightarrow S$ . Каждая такая карта имеет $n\times n$ матричное представление, называемое детерминированной матрицей перехода . Это двоичная матрица, но она имеет ровно одну запись: 1 в каждой строке и нули в противном случае.
$Q$ является вероятностной мерой $\sigma$ -поле $\Gamma$ .

Дискретная случайная динамическая система выглядит следующим образом:

Система находится в каком-то состоянии $x_{0}$ в $S$ , карта $\alpha _{1}$ в $\Gamma$ выбирается по мере вероятности $Q$ и система переходит в состояние $x_{1}=\alpha _{1}(x_{0})$ на шаге 1.
Независимо от предыдущих карт, еще одна карта $\alpha _{2}$ выбирается по мере вероятности $Q$ и система переходит в состояние $x_{2}=\alpha _{2}(x_{1})$ .
Процедура повторяется.

Случайная величина $X_{n}$ строится посредством композиции независимых случайных отображений, $X_{n}=\alpha _{n}\circ \alpha _{n-1}\circ \dots \circ \alpha _{1}(X_{0})$ . Четко, $X_{n}$ представляет собой цепь Маркова .

И наоборот, может ли и как данный MC быть представлен композициями случайных преобразований iid? Да, может, но не уникально. Доказательство существования аналогично теореме Биркгофа – фон Неймана для дважды стохастической матрицы .

Вот пример, иллюстрирующий существование и неединственность.

Пример: Если пространство состояний $S=\{1,2\}$ и набор преобразований $\Gamma$ выражается через детерминированные матрицы перехода. Тогда матрица марковского перехода $M=\left({\begin{array}{cc}0.4&0.6\\0.7&0.3\end{array}}\right)$ может быть представлено следующим разложением по алгоритму мин-макс: $M=0.6\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)+0.3\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)+0.1\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}}\right).$

Тем временем может произойти еще одно разложение. $M=0.18\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}}\right)+0.28\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}}\right)+0.42\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)+0.12\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right).$

Формальное определение

Формально, ^[3] случайная динамическая система состоит из основного потока, «шума», и динамической системы-коцикла в «физическом» фазовом пространстве. Подробно.

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ быть вероятностным пространством , шумовым пространством. Определите базовый поток $\vartheta :\mathbb {R} \times \Omega \to \Omega$ следующим образом: за каждое «время» $s\in \mathbb {R}$ , позволять $\vartheta _{s}:\Omega \to \Omega$ сохраняющей меру быть измеримой функцией, :

\mathbb {P} (E)=\mathbb {P} (\vartheta _{s}^{-1}(E))

для всех

E\in {\mathcal {F}}

и

s\in \mathbb {R}

;

Предположим также, что

$\vartheta _{0}=\mathrm {id} _{\Omega }:\Omega \to \Omega$ , тождественная функция на $\Omega$ ;
для всех $s,t\in \mathbb {R}$ , $\vartheta _{s}\circ \vartheta _{t}=\vartheta _{s+t}$ .

То есть, $\vartheta _{s}$ , $s\in \mathbb {R}$ , образует группу сохраняющих меру преобразований шума $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ . Для односторонних случайных динамических систем можно рассматривать только положительные индексы $s$ ; для случайных динамических систем с дискретным временем можно рассматривать только целочисленные $s$ ; в этих случаях карты $\vartheta _{s}$ образовал бы только коммутативный моноид вместо группы.

Хотя это верно для большинства приложений, обычно в формальное определение случайной динамической системы не входит требование, чтобы динамическая система, сохраняющая меру, $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ,\vartheta )$ является эргодичным .

Теперь позвольте $(X,d)$ быть полным сепарабельным метрическим пространством , фазовым пространством . Позволять $\varphi :\mathbb {R} \times \Omega \times X\to X$ быть $({\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}}(X),{\mathcal {B}}(X))$ -измеримая функция такая, что

для всех $\omega \in \Omega$ , $\varphi (0,\omega )=\mathrm {id} _{X}:X\to X$ , тождественная функция на $X$ ;
для (почти) всех $\omega \in \Omega$ , $(t,x)\mapsto \varphi (t,\omega ,x)$ является непрерывным ;
$\varphi$ удовлетворяет (грубому) свойству коцикла : почти для всех $\omega \in \Omega$ ,

\varphi (t,\vartheta _{s}(\omega ))\circ \varphi (s,\omega )=\varphi (t+s,\omega ).

В случае случайных динамических систем, управляемых винеровским процессом $W:\mathbb {R} \times \Omega \to X$ , основной поток $\vartheta _{s}:\Omega \to \Omega$ будет предоставлено

W(t,\vartheta _{s}(\omega ))=W(t+s,\omega )-W(s,\omega )

.

Это можно прочитать как утверждение, что $\vartheta _{s}$ "начинается шум вовремя $s$ вместо времени 0». Таким образом, свойство коцикла можно прочитать как утверждение, что развитие начального условия $x_{0}$ с некоторым шумом $\omega$ для $s$ секунды, а затем через $t$ секунд с тем же шумом (как началось с $s$ секундная отметка) дает тот же результат, что и эволюция $x_{0}$ через $(t+s)$ секунды с тем же шумом.

Аттракторы для случайных динамических систем

Понятие аттрактора для случайной динамической системы определить не так просто, как в детерминированном случае. По техническим причинам необходимо «перемотать время назад», как в определении обратного аттрактора . ^[4] Более того, аттрактор зависит от реализации $\omega$ шума.

См. также

Ссылки

^ Бхаттачарья, Раби; Маджумдар, Мукул (2003). «Случайные динамические системы: обзор». Экономическая теория . 23 (1): 13–38. дои : 10.1007/s00199-003-0357-4 . S2CID 15055697 .
^ Йе, Феликс X.-Ф.; Ван, Юэ; Цянь, Хун (август 2016 г.). «Стохастическая динамика: цепи Маркова и случайные преобразования» . Дискретные и непрерывные динамические системы - Серия Б. 21 (7): 2337–2361. дои : 10.3934/dcdsb.2016050 .
^ Арнольд, Людвиг (1998). Случайные динамические системы . ISBN 9783540637585 .
^ Крауэль, Ганс; Дебюше, Арно; Фландоли, Франко (1997). «Случайные аттракторы». Журнал динамики и дифференциальных уравнений . 9 (2): 307–341. Бибкод : 1997JDDE....9..307C . дои : 10.1007/BF02219225 . S2CID 192603977 .

[Bhattacharya2003-1] Бхаттачарья, Раби; Маджумдар, Мукул (2003). «Случайные динамические системы: обзор». Экономическая теория . 23 (1): 13–38. дои : 10.1007/s00199-003-0357-4 . S2CID 15055697 .

[2] Йе, Феликс X.-Ф.; Ван, Юэ; Цянь, Хун (август 2016 г.). «Стохастическая динамика: цепи Маркова и случайные преобразования» . Дискретные и непрерывные динамические системы - Серия Б. 21 (7): 2337–2361. дои : 10.3934/dcdsb.2016050 .

[3] Арнольд, Людвиг (1998). Случайные динамические системы . ISBN 9783540637585 .

[4] Крауэль, Ганс; Дебюше, Арно; Фландоли, Франко (1997). «Случайные аттракторы». Журнал динамики и дифференциальных уравнений . 9 (2): 307–341. Бибкод : 1997JDDE....9..307C . дои : 10.1007/BF02219225 . S2CID 192603977 .

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Случайные процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Процесс ветвления процесс в китайском ресторане Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайное блуждание Петля стерта Самоизбегание Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бессельский процесс Процесс рождения-смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробный Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Броуновское движение Дайсона Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга-Вио Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хоукса Процесс охоты Взаимодействующие системы частиц Диффузия Ито Ито-процесс Прыжковая диффузия Процесс перехода Процесс Леви Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингалы Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Дисперсионный гамма-процесс Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Процесс ветвления Гауссов процесс Скрытая модель Маркова (HMM) Марковский процесс Мартингейл Различия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины Белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссово случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле перколяция Процесс Питмана-Йора Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Авторегрессионная (AR) модель Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессии условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Черный–Дерман–Игрушка Блэк – Карасински Блэк – Скоулз Чан – Каройи – Лонгстафф – Сандерс (CKLS) Чен Постоянная эластичность отклонения (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман-Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Хестон Хо-Ли Корпус – Белый Корн-Креер-Ленссен рынок ЛИБОР Рендлман-Барттер Волатильность SABR Ваш Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Процесс риска Спарре-Андерсон
Модели массового обслуживания	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания М/Г/1 М/М/1 М/М/с
Характеристики	Тропы Кадлага Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Сменный Феллер-непрерывный Гаусс–Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы о мартингальной сходимости Дуба Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпетта – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый/сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля–единицы ( Блюменталь , Борель–Кантелли , Энгельберт–Шмидт , Хьюитт–Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Беркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкросс Дуба Кунита – Ватанабэ Марцинкевич–Зигмунд
Инструменты	Формула Кэмерона-Мартина Сходимость случайных величин Экспонента Долеана-Дада Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Необязательная теорема Дуба об остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Бесконечно-малый генератор Ито интеграл Лемма Ито Теорема Карунена – Лёва Теорема Колмогорова о непрерывности Теорема Колмогорова о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявена Теорема о мартингальном представлении Необязательная теорема об остановке Prokhorov's theorem Квадратичная вариация Принцип отражения Skorokhod integral Теорема о представлении Скорохода Скороход пространство Снелл конверт Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Остановка времени Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винерское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятностей Теория массового обслуживания Теория обновления Теория руин Обработка сигналов Статистика Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория