Модель Блэка – Карасина

В финансовой математике модель Блэка-Карасинского представляет собой математическую модель временной структуры процентных ставок ; см. краткосрочная модель . Это однофакторная модель, поскольку она описывает изменения процентных ставок, обусловленные единственным источником случайности. Она принадлежит к классу безарбитражных моделей, т.е. она может соответствовать сегодняшним ценам на облигации с нулевым купоном и, в наиболее общей форме, сегодняшним ценам на набор кэпов, минимальных цен или европейских свопов . Модель была представлена ​​Фишером Блэком и Петром Карасински в 1991 году.

Модель

Основной переменной состояния модели является краткосрочная ставка, которая, как предполагается, подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению (при мере, нейтральной к риску ):

$d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}$

где dW _t — стандартное броуновское движение . Модель предполагает логарифмически нормальное распределение для краткосрочной ставки, и поэтому ожидаемая стоимость счета денежного рынка бесконечна при любом сроке погашения.

В оригинальной статье Фишера Блэка и Петра Карасинского модель была реализована с использованием биномиального дерева с переменным интервалом, но на практике более распространена реализация триномиального дерева , обычно это логнормальное применение решетки Халла – Уайта .

Приложения

Модель используется в основном для ценообразования экзотических процентных деривативов, таких как американские и бермудские облигации опционы и свопы на , после того, как ее параметры были откалиброваны с учетом текущей временной структуры процентных ставок, а также с ценами или подразумеваемой волатильностью предельных значений , минимальных или европейских процентных ставок. свопы. Численные методы (обычно деревья) используются на этапе калибровки, а также для ценообразования. Его также можно использовать при моделировании риска кредитного дефолта , где короткая ставка Блэка-Карасински выражает (стохастическая) интенсивность событий дефолта, вызванных процессом Кокса ; гарантированные положительные ставки являются важной особенностью модели. Недавняя работа по методам возмущений в кредитных деривативах показала, как удобно выводить аналитические цены во многих таких обстоятельствах, а также для опционов на процентную ставку.

Ссылки

• Блэк, Ф.; Карасински, П. (июль – август 1991 г.). «Цены на облигации и опционы, когда короткие ставки логарифмически нормальны». Журнал финансовых аналитиков . 47 (4): 52–59. дои : 10.2469/faj.v47.n4.52 .
• Дамиано Бриго, Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок – теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд., 2006 г.). Спрингер Верлаг. ISBN  978-3-540-22149-4 .

Внешние ссылки

• Саймон Беннинга и Цви Винер (1998). Модели биномиальной временной структуры , Mathematica в образовании и исследованиях , Vol. 7 № 3 1998 г.
• Бланка Хорват, Антуан Жакье и Колин Турфус (2017). Цены аналитических опционов для модели Блэка – Карасински с краткосрочной ставкой
• Колин Терфус (2018). Аналитическое свопционное ценообразование в модели Блэка – Карасинского
• Колин Терфус (2018). Точные цены Эрроу-Дебре для модели Блэка-Карасински с короткими процентными ставками
• Колин Терфус (2019). Расширение возмущений для ценообразования Эрроу-Дебре с процентными ставками Халла-Уайта и кредитной интенсивностью Блэка-Карасински
• Колин Терфус и Петр Карасински (2021). Модель Блэка-Карасинского: тридцать лет спустя