Модель деревни

Траектория короткой ставки и соответствующие кривые доходности в момент T=0 (фиолетовый) и в два последующих момента времени.

В финансах представляет модель Васичека собой математическую модель, описывающую эволюцию процентных ставок . Это разновидность однофакторной модели краткосрочных ставок , поскольку она описывает изменения процентных ставок как обусловленные только одним источником рыночного риска . Модель может использоваться при оценке процентных деривативов , а также адаптирована для кредитных рынков. Его представил в 1977 году Олдржих Вашичек . ^[1] и его также можно рассматривать как стохастическую инвестиционную модель .

Подробности [ править ]

Модель указывает, что мгновенная процентная ставка подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению :

dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}

где W _t — винеровский процесс в рамках нейтральной к риску структуры, моделирующей случайный рыночный фактор риска, поскольку он моделирует непрерывный приток случайности в систему. Параметр стандартного отклонения , $\sigma$ , определяет волатильность процентной ставки и в некотором смысле характеризует амплитуду мгновенного притока случайности. Типичные параметры $b,a$ и $\sigma$ , вместе с начальным условием $r_{0}$ , полностью характеризуют динамику и могут быть кратко охарактеризованы следующим образом, полагая $a$ быть неотрицательным:

$b$ : «долгосрочный средний уровень». Все будущие траектории $r$ в долгосрочной перспективе будет развиваться вокруг среднего уровня b;
$a$ : «скорость реверса». $a$ характеризует скорость, с которой такие траектории будут перегруппировываться вокруг $b$ во времени;
$\sigma$ : «мгновенная волатильность», мгновенно измеряет амплитуду случайности, поступающей в систему. Выше $\sigma$ подразумевает больше случайности

Также представляет интерес следующая производная величина:

${\sigma ^{2}}/(2a)$ : «долгосрочная дисперсия». Все будущие траектории $r$ через долгое время перегруппируются вокруг долгосрочного среднего значения с такой дисперсией.

$a$ и $\sigma$ склонны противодействовать друг другу: возрастание $\sigma$ увеличивает количество случайности, попадающей в систему, но в то же время увеличивает $a$ означает увеличение скорости, с которой система будет статистически стабилизироваться вокруг долгосрочного среднего значения. $b$ с коридором отклонений, определяемым также $a$ . Это становится очевидным, если посмотреть на долгосрочную дисперсию.

{\frac {\sigma ^{2}}{2a}}

который увеличивается с $\sigma$ но уменьшается с $a$ .

Эта модель представляет собой стохастический процесс Орнштейна – Уленбека . Приведение долгосрочного среднего стохастического к другому СДУ — это упрощенная версия СДУ коинтеляции. ^[2]

Обсуждение [ править ]

Модель Васичека была первой, которая уловила возврат к среднему значению — важную характеристику процентной ставки, которая отличает ее от других финансовых цен. Таким образом, в отличие на акции , например, от цен , процентные ставки не могут расти бесконечно. Это связано с тем, что на очень высоких уровнях они будут препятствовать экономической активности, вызывая снижение процентных ставок. Точно так же процентные ставки обычно не опускаются ниже 0. В результате процентные ставки колеблются в ограниченном диапазоне, демонстрируя тенденцию возвращаться к долгосрочному значению.

Фактор дрейфа $a(b-r_{t})$ представляет собой ожидаемое мгновенное изменение процентной ставки в момент времени t . Параметр b представляет собой долгосрочное равновесное значение, к которому возвращается процентная ставка. Действительно, при отсутствии потрясений ( $dW_{t}=0$ ), процентная ставка остается постоянной, когда r _t = b . Параметр a , определяющий скорость регулировки, должен быть положительным, чтобы обеспечить стабильность относительно долгосрочного значения. Например, когда r _t ниже b , член дрейфа $a(b-r_{t})$ становится положительным при положительном a , создавая тенденцию процентной ставки двигаться вверх (к равновесию).

Основным недостатком является то, что в соответствии с моделью Васичека теоретически возможно, что процентная ставка станет отрицательной, что является нежелательным явлением в докризисных предположениях. Этот недостаток был исправлен в модели Кокса-Ингерсолла-Росса , экспоненциальной модели Васичека, модели Блэка-Дермана-Тоя и модели Блэка-Карасински , среди многих других. Модель Васичека получила дальнейшее развитие в модели Халла – Уайта . Модель Васичека также является каноническим примером модели аффинной временной структуры , наряду с моделью Кокса-Ингерсолла-Росса . В недавних исследованиях обе модели использовались для разделения данных и прогнозирования. ^[3]

и дисперсия среднее Асимптотическое

Решаем стохастическое дифференциальное уравнение и получаем

r_{t}=r_{0}e^{-at}+b\left(1-e^{-at}\right)+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{as}\,dW_{s}.\,\!

Используя аналогичные методы, применимые к стохастическому процессу Орнштейна – Уленбека, мы получаем, что переменная состояния распределяется нормально со средним значением.

\mathrm {E} [r_{t}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})

и дисперсия

\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at}).

Следовательно, мы имеем

\lim _{t\to \infty }\mathrm {E} [r_{t}]=b

и

\lim _{t\to \infty }\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}.

Цены на облигации [ править ]

При предположении об отсутствии арбитража дисконтная облигация может быть оценена в модели Васичека. Время $t$ стоимость дисконтной облигации со сроком погашения $T$ экспоненциально аффинно по процентной ставке:

P(t,T)=e^{A(t,T)-B(t,T)r(t)}

где

B(t,T)={\frac {1-e^{-a(T-t)}}{a}}

A(t,T)=\left(b-{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}\right)\left[B(t,T)-(T-t)\right]-{\frac {\sigma ^{2}}{4a}}B^{2}(t,T)

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Васичек, О. (1977). «Равновесная характеристика временной структуры». Журнал финансовой экономики . 5 (2): 177–188. CiteSeerX 10.1.1.164.447 . дои : 10.1016/0304-405X(77)90016-2 .
^ Махдави Дамгани Б. (2013). «Не вводящая в заблуждение ценность предполагаемой корреляции: введение в модель коинтеляции». Журнал Уилмотт . 2013 (67): 50–61. дои : 10.1002/wilm.10252 .
^ Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (июль 2020 г.). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Васичека и CIR: подход к разделению» . Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . дои : 10.1002/для.2642 . ISSN 0277-6693 . S2CID 126507446 .

Халл, Джон К. (2003). Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл . ISBN 978-0-13-009056-0 .
Дамиано Бриго, Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок – теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд., 2006 г.). Спрингер Верлаг. ISBN 978-3-540-22149-4 .
Джессика Джеймс, Ник Уэббер (2000). Моделирование процентных ставок . Уайли. ISBN 978-0-471-97523-6 .

Внешние ссылки [ править ]

Модель Васичека , Бьорн Эракер, Школа бизнеса Висконсина
Оценка и прогнозирование кривой доходности с помощью модели Васичека , Д. Баязит, Ближневосточный технический университет

[1] Васичек, О. (1977). «Равновесная характеристика временной структуры». Журнал финансовой экономики . 5 (2): 177–188. CiteSeerX 10.1.1.164.447 . дои : 10.1016/0304-405X(77)90016-2 .

[wilmottM.com-2] Махдави Дамгани Б. (2013). «Не вводящая в заблуждение ценность предполагаемой корреляции: введение в модель коинтеляции». Журнал Уилмотт . 2013 (67): 50–61. дои : 10.1002/wilm.10252 .

[3] Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (июль 2020 г.). «Прогнозирование процентных ставок с помощью моделей Васичека и CIR: подход к разделению» . Журнал прогнозирования . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . дои : 10.1002/для.2642 . ISSN 0277-6693 . S2CID 126507446 .

[1]

[2]

[3]

v т и Рынок облигаций
Bond Debenture Fixed income
Types of bonds by issuer	Agency bond Corporate bond Senior debt Subordinated debt Distressed debt Government bond Infrastructure bond Municipal bond Global bond
Types of bonds by payout	Accrual bond Auction rate security Callable bond Commercial paper Consol Contingent convertible bond Convertible bond Exchangeable bond Extendible bond Fixed rate bond Floating rate note High-yield debt Inflation-indexed bond Inverse floating rate note Lottery bond Perpetual bond Puttable bond Reverse convertible securities Zero-coupon bond
Bond valuation	Clean price Convexity Coupon Credit spread Current yield Dirty price Duration I-spread Mortgage yield Nominal yield Option-adjusted spread Risk-free bond Weighted-average life Yield curve Yield spread Yield to maturity Z-spread
Securitized products	Asset-backed security Collateralized debt obligation Collateralized mortgage obligation Commercial mortgage-backed security Mortgage-backed security
Bond options	Callable bond Convertible bond Embedded option Exchangeable bond Extendible bond Puttable bond
Institutions	Commercial Mortgage Securities Association (CMSA) International Capital Market Association (ICMA) Securities Industry and Financial Markets Association (SIFMA)

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Galves–Löcherbach model Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category