Метрика Леви – Прохора

В математике метрика Леви -Прохорова (иногда известная как метрика Прохорова ) — это метрика (т. е. определение расстояния) на наборе вероятностных мер в данном метрическом пространстве . Он назван в честь французского математика Поля Леви и советского математика Юрия Васильевича Прохорова ; Прохоров ввел ее в 1956 году как обобщение более ранней метрики Леви .

Определение

Позволять $(M,d)$ — метрическое пространство со своей борелевской сигма-алгеброй ${\mathcal {B}}(M)$. Позволять ${\mathcal {P}}(M)$ обозначают совокупность всех вероятностных мер на измеримом пространстве $(M,{\mathcal {B}}(M))$.

Для подмножества $A\subseteq M$, определим ε- окрестность $A$ к

$A^{\varepsilon }:=\{p\in M~|~\exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p).$

где $B_{\varepsilon }(p)$ это открытый шар радиуса $\varepsilon$ сосредоточено в $p$.

Метрика Леви – Прохора $\pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )$ определяется путем установки расстояния между двумя мерами вероятности $\mu$ и $\nu$ быть

$\pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0~|~\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{and}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{for all}}\ A\in {\mathcal {B}}(M)\right\}.$

Для вероятностных мер очевидно $\pi (\mu ,\nu )\leq 1$.

Некоторые авторы опускают одно из двух неравенств или выбирают только открытые или закрытые. $A$; одно неравенство влечет за собой другое, и $({\bar {A}})^{\varepsilon }=A^{\varepsilon }$, но ограничение открытыми множествами может изменить определенную таким образом метрику (если $M$ не поляк ).

Характеристики

• Если $(M,d)$ сепарабельна , сходимость мер в метрике Леви – Прохорова эквивалентна слабой сходимости мер . Таким образом, $\pi$ является метризацией топологии слабой сходимости на ${\mathcal {P}}(M)$.
• Метрическое пространство $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ отделим когда тогда и только тогда, $(M,d)$ является разделимым.
• Если $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ завершено ​ тогда $(M,d)$ завершен. Если все меры в ${\mathcal {P}}(M)$ имеют сепарабельный носитель , то имеет место и обратное утверждение: если $(M,d)$ тогда завершено $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ завершен. В частности, это имеет место, если $(M,d)$ является разделимым.
• Если $(M,d)$ является отделимым и полным, подмножеством ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ относительно компактен тогда и только тогда, когда его $\pi$-закрытие $\pi$-компактный.
• Если $(M,d)$ отделим то , $\pi (\mu ,\nu )=\inf\{\alpha (X,Y):{\text{Law}}(X)=\mu ,{\text{Law}}(Y)=\nu \}$, где $\alpha (X,Y)=\inf\{\varepsilon >0:\mathbb {P} (d(X,Y)>\varepsilon )\leq \varepsilon \}$ — Кай Фана метрика .

Отношение к другим расстояниям

Позволять $(M,d)$ быть разделимым. Затем

• $\pi (\mu ,\nu )\leq \delta (\mu ,\nu )$, где $\delta (\mu ,\nu )$ - общее расстояние вариации вероятностных мер
• $\pi (\mu ,\nu )^{2}\leq W_{p}(\mu ,\nu )^{p}$, где $W_{p}$ — метрика Вассерштейна с $p\geq 1$ и $\mu ,\nu$ иметь конечный $p$этот момент.

См. также

• Метрика Леви
• Prokhorov's theorem
• Строгость мер
• Слабая сходимость мер
• Метрика Вассерштейна
• Радоновое расстояние
• Общее расстояние вариации вероятностных мер

Ссылки

• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк. ISBN  0-471-19745-9 . OCLC   41238534 .
• Золотарев, В.М. (2001) [1994], «Метрика Леви–Прохорова» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Дадли, РМ (1989). Реальный анализ и вероятность . Пасифик Гроув, Калифорния: Уодсворт и Брукс/Коул. ISBN  0-534-10050-3 .
• Рачев, Светлозар Т. (1991). Вероятностные метрики и устойчивость стохастических моделей . Чичестер [ua] : Уайли. ISBN  0-471-92877-1 .