Prokhorov's theorem

В теории меры теорема Прохорова связывает тесноту мер с относительной компактностью (и, следовательно, слабой сходимостью ) в пространстве вероятностных мер . Это заслуга советского математика Юрия Васильевича Прохорова , который рассмотрел вероятностные меры на полных сепарабельных метрических пространствах. Термин «теорема Прохорова» также применяется к более поздним обобщениям прямых или обратных утверждений.

Заявление

Позволять $(S,\rho )$ — сепарабельное метрическое пространство . Позволять ${\mathcal {P}}(S)$ обозначают совокупность всех вероятностных мер, определенных на $S$ (со своей борелевской σ-алгеброй ).

Теорема.

1. Коллекция $K\subset {\mathcal {P}}(S)$ вероятностных мер является точным тогда и только тогда, когда закрытие $K$ в секвенциально компактен пространстве ${\mathcal {P}}(S)$ оснащен топологией слабой сходимости .
2. Пространство ${\mathcal {P}}(S)$ с топологией слабой сходимости метризуема .
3. Предположим, что, кроме того, $(S,\rho )$ является полным метрическим пространством (так что $(S,\rho )$ это польское пространство ). Есть полная метрика $d_{0}$ на ${\mathcal {P}}(S)$ эквивалентная топологии слабой сходимости; более того, $K\subset {\mathcal {P}}(S)$ является плотным тогда и только тогда, замыкание когда $K$ в $({\mathcal {P}}(S),d_{0})$ компактен.

Следствия

Для евклидовых пространств мы имеем следующее:

• Если $(\mu _{n})$ представляет собой жесткую последовательность в ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})$ (набор вероятностных мер на $m$-мерное евклидово пространство ), то существует подпоследовательность $(\mu _{n_{k}})$ и вероятностная мера $\mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})$ такой, что $\mu _{n_{k}}$ слабо сходится к $\mu$.
• Если $(\mu _{n})$ представляет собой жесткую последовательность в ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})$ такая, что каждая слабо сходящаяся подпоследовательность $(\mu _{n_{k}})$ имеет тот же предел $\mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})$, то последовательность $(\mu _{n})$ слабо сходится к $\mu$.

Расширение

Теорему Прохорова можно распространить на рассмотрение комплексных мер или мер с конечным знаком .

Теорема: Предположим, что $(S,\rho )$ является полным сепарабельным метрическим пространством и $\Pi$ представляет собой семейство борелевских комплексных мер по $S$. Следующие утверждения эквивалентны:

• $\Pi$ является секвенциально предкомпактным; то есть каждая последовательность $\{\mu _{n}\}\subset \Pi$ имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.
• $\Pi$ является плотным и равномерно ограниченным по полной вариационной норме .

Комментарии

Поскольку теорема Прохорова выражает плотность через компактность, теорема Арзела-Асколи часто используется для замены компактности: в функциональных пространствах это приводит к характеристике тесноты в терминах модуля непрерывности или соответствующего аналога - см. Плотность в классическом Винеровское пространство и теснота в пространстве Скорохода .

Существует несколько глубоких и нетривиальных расширений теоремы Прохорова. Однако эти результаты не затмевают важность и актуальность исходного результата для приложений.

См. также

• Метрика Леви – Прохорова - определенная метрика в пространстве конечных мер. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Sazonov's theorem
• Точность меры - Понятие теории меры
• Слабая сходимость мер – математическая концепция. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Ссылки

• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc.  0-471-19745-9 .
• Bogachev, Vladimir (2006). Measure Theory Vol 1 and 2 . Springer. ISBN  978-3-540-34513-8 .
• Прохоров, Юрий Васильевич (1956). «Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей». Теория вероятностей и ее приложения . 1 (2): 157–214. дои : 10.1137/1101016 .
• Дадли, Ричард. М. (1989). Реальный анализ и вероятность . Чепмен и Холл. ISBN  0-412-05161-3 .