Гармоническая мера

В математике , особенно в теории потенциала , гармоническая мера — понятие, связанное с теорией гармонических функций , возникающее в результате решения классической задачи Дирихле .

Гармоническая мера - это выходное распределение броуновского движения.

В теории вероятностей — гармоническая мера подмножества границы ограниченной области в евклидовом пространстве. $R^{n}$, $n\geq 2$ — это вероятность того, что броуновское движение, начавшееся внутри области, попадет в это подмножество границы. В более общем смысле, гармоническая мера диффузии Ито X описывает распределение X при достижении границы D . В комплексной плоскости гармоническая мера может использоваться для оценки модуля аналитической функции внутри области D с учетом границ модуля на границе области; частным случаем этого принципа является теорема Адамара о трёх окружностях . В односвязных плоских областях существует тесная связь между гармонической мерой и теорией конформных отображений .

Термин гармоническая мера был введен Рольфом Неванлинной в 1928 году для плоских областей. хотя Неванлинна отмечает, что эта идея неявно появлялась в более ранних работах Йоханссона, Ф. Рисса, М. Рисса, Карлемана, Островского и Джулии (цитируется оригинальный заказ). Связь между гармонической мерой и броуновским движением была впервые выявлена ​​Какутани десять лет спустя, в 1944 году.

Определение

Пусть D — ограниченная открытая область в n - мерном евклидовом пространстве R. ^н , n ≥ 2, и пусть ∂ D обозначает границу D . Любая непрерывная функция f : ∂ D → R определяет единственную гармоническую функцию H _f , которая решает задачу Дирихле.

${\begin{cases}-\Delta H_{f}(x)=0,&x\in D;\\H_{f}(x)=f(x),&x\in \partial D.\end{cases}}$

Если точка x ∈ D фиксирована, по теореме о представлении Рисса–Маркова–Какутани и принципу максимума H _f ( x ) определяет вероятностную меру ω ( x , D ) на ∂ D по формуле

$H_{f}(x)=\int _{\partial D}f(y)\,\mathrm {d} \omega (x,D)(y).$

Мера ω ( x , D ) называется гармонической мерой (области D с полюсом в точке x ).

Свойства

• Для любого борелевского подмножества E ∂ D гармоническая мера ω ( x , D )( E ) равна значению в x решения задачи Дирихле с граничными данными, равными функции E индикаторной .
• При фиксированных D и E ⊆ ∂ D , ω ( x , D )( E ) является гармонической функцией от x ∈ D и

$0\leq \omega (x,D)(E)\leq 1;$

$1-\omega (x,D)(E)=\omega (x,D)(\partial D\setminus E);$

Следовательно, для каждого x и D ω ∂ ( x , D является вероятностной мерой на D. )

• Если ω ( x , D )( E ) = 0 даже в одной точке x из D , то $y\mapsto \omega (y,D)(E)$ тождественно равен нулю, и в этом случае E называется множеством нулевой гармонической меры . Это следствие неравенства Гарнака .

Поскольку явные формулы для гармонической меры обычно недоступны, нас интересует определение условий, которые гарантируют, что множество имеет нулевую гармоническую меру.

• Теорема Ф. и М. Риссов : Если $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ — односвязная плоская область, ограниченная спрямляемой кривой (т.е. если $H^{1}(\partial D)<\infty$), то гармоническая мера взаимно абсолютно непрерывна по длине дуги: для всех $E\subset \partial D$, $\omega (X,D)(E)=0$ тогда и только тогда, когда $H^{1}(E)=0$.
• Теорема Макарова : Позволять $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ быть односвязной плоской областью. Если $E\subset \partial D$ и $H^{s}(E)=0$ для некоторых $s<1$, затем $\omega (x,D)(E)=0$. Более того, гармоническая мера на D относительно взаимно сингулярна t -мерной меры Хаусдорфа для всех t > 1.

• Теорема Дальберга : Если $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ является ограниченной липшицевой областью , то гармоническая мера и ( n − 1)-мерная мера Хаусдорфа взаимно абсолютно непрерывны: для всех $E\subset \partial D$, $\omega (X,D)(E)=0$ тогда и только тогда, когда $H^{n-1}(E)=0$.

Примеры

• Если $\mathbb {D} =\{X\in \mathbb {R} ^{2}:|X|<1\}$ - единичный круг, то гармоническая мера $\mathbb {D}$ с полюсом в начале координат - это мера длины единичного круга, нормированная на вероятность, т.е. $\omega (0,\mathbb {D} )(E)=|E|/2\pi$ для всех $E\subset S^{1}$ где $|E|$ обозначает длину $E$.
• Если $\mathbb {D}$ это единичный диск и $X\in \mathbb {D}$, затем $\omega (X,\mathbb {D} )(E)=\int _{E}{\frac {1-|X|^{2}}{|X-Q|^{2}}}{\frac {dH^{1}(Q)}{2\pi }}$ для всех $E\subset S^{1}$ где $H^{1}$ обозначает меру длины единичной окружности. Производная Радона –Никодима. $d\omega (X,\mathbb {D} )/dH^{1}$ называется ядром Пуассона .
• В более общем смысле, если $n\geq 2$ и $\mathbb {B} ^{n}=\{X\in \mathbb {R} ^{n}:|X|<1\}$ - n -мерный единичный шар, то гармоническая мера с полюсом в точке $X\in \mathbb {B} ^{n}$ является $\omega (X,\mathbb {B} ^{n})(E)=\int _{E}{\frac {1-|X|^{2}}{|X-Q|^{n}}}{\frac {dH^{n-1}(Q)}{\sigma _{n-1}}}$ для всех $E\subset S^{n-1}$ где $H^{n-1}$ обозначает поверхностную меру (( n − 1)-мерную меру Хаусдорфа ) на единичной сфере $S^{n-1}$ и $H^{n-1}(S^{n-1})=\sigma _{n-1}$.

• 

  Гармоническая мера в односвязных плоских областях.

  Если $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ — односвязная плоская область, ограниченная жордановой кривой и X $\in$Д , тогда $\omega (X,D)(E)=|f^{-1}(E)|/2\pi$ для всех $E\subset \partial D$ где $f:\mathbb {D} \rightarrow D$ — уникальное отображение Римана , которое отправляет начало координат в X , т.е. $f(0)=X$. См . теорему Каратеодори .
• Если $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ — область, ограниченная снежинкой Коха , то существует подмножество $E\subset \partial D$ снежинки Коха такая, что $E$ имеет нулевую длину ( $H^{1}(E)=0$) и полная гармоническая мера $\omega (X,D)(E)=1$.

Гармоническая мера диффузии

Рассмотрим R ^н -значная диффузия Ито X , начинающаяся в некоторой точке x внутри области D , с законом P ^х . Предположим, что кто-то желает знать распределение точек, в которых выходит из D. X Например, каноническое броуновское движение B на действительной прямой, начинающееся с 0, выходит из интервала при −1 с вероятностью ½ и при +1 с вероятностью ½, поэтому B _{τ (−1, +1)} равномерно (−1, +1 ) распределены на множестве {−1, +1}.

В общем случае, если G вкладывается компактно в R ^н , то гармоническая мера (или распределение попаданий ) X на границе ∂ G группы G — это мера µ _G ^х определяется

$\mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}{\big [}X_{\tau _{G}}\in F{\big ]}$

для x ∈ G и F ⊆ ∂ G .

Возвращаясь к предыдущему примеру броуновского движения, можно показать, что если B — броуновское движение в R ^н начиная с x ∈ R ^н и D ⊂ R ^н является открытым шаром с центром на x , то гармоническая мера B на ∂ D инвариантна относительно всех вращений D x вокруг и совпадает с нормированной поверхностной мерой на ∂ D

Общие ссылки

• Гарнетт, Джон Б.; Маршалл, Дональд Э. (2005). Гармоническая мера . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-47018-6 .

• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-04758-1 . МИСТЕР 2001996 г. (см. разделы 7, 8 и 9)

• Капонья, Лука; Кениг, Карлос Э.; Ланзани, Лоредана (2005). Гармоническая мера: геометрическая и аналитическая точки зрения . Серия университетских лекций. Том. УЛЕКТ/35. Американское математическое общество. п. 155. ИСБН  978-0-8218-2728-4 .

Ссылки

• П. Джонс и Т. Вольф, Хаусдорфова размерность гармонической меры на плоскости, Acta. Математика. 161 (1988) 131-144 (MR962097)(90j:31001)
• К. Кениг и Т. Торо, Регулярность свободной границы для гармонических мезоров и ядер Пуассона, Ann. математики. 150 (1999)369-454МР 172669992001д:31004)
• К. Кениг, Д. Прейссан, Т. Торо, Граничная структура и размер с точки зрения внутренних и внешних гармонических мер в высших измерениях, Jour. амер. Математика. Соц. том 22 июля 2009 г., №3771-796
• С. Г. Кранц, Теория и практика конформной геометрии, Dover Publ. Минеола Нью-Йорк (2016), особенно. Глава 6 классический случай

Внешние ссылки

• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Гармоническая мера» , Энциклопедия Математики , EMS Press