Задача Дирихле

В математике требует задача Дирихле функции , которая решает заданное уравнение в частных производных (УЧП) внутри заданной области, которое принимает заданные значения на границе области.

Задачу Дирихле можно решить для многих УЧП, хотя изначально она была поставлена ​​для уравнения Лапласа . В этом случае задачу можно сформулировать следующим образом:

Дана функция f , которая имеет значения всюду на границе области в $\mathbb {R} ^{n}$, существует ли единственная непрерывная функция $u$ дважды непрерывно дифференцируемый внутри и непрерывный на границе, такой, что $u$ гармоничен в интерьере и $u=f$ на границе?

Это требование называется граничным условием Дирихле . Основная проблема – доказать существование решения; Единственность можно доказать, используя принцип максимума .

История

Проблема Дирихле восходит к Джорджу Грину , который изучал проблему в общих областях с общими граничными условиями в своем «Очерке о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» , опубликованном в 1828 году. Он свел проблему к задаче построения то, что мы теперь называем функциями Грина , и утверждали, что функция Грина существует для любой области. Его методы не были строгими по сегодняшним меркам, но идеи оказали большое влияние на последующие события. Следующие шаги в исследовании проблемы Дирихле были предприняты Карлом Фридрихом Гауссом , Уильямом Томсоном ( лордом Кельвином ) и Питером Густавом Леженом Дирихле , в честь которых была названа задача, а решение задачи (по крайней мере, для мяча) с помощью ядро Пуассона было известно Дирихле (судя по его статье 1850 года, поданной в Прусскую академию). Лорд Кельвин и Дирихле предложили решение проблемы вариационным методом, основанным на минимизации «энергии Дирихле». По мнению Ганса Фрейденталя (в Словарь научной биографии , вып. 11), Бернхард Риман был первым математиком, решившим эту вариационную задачу на основе метода, который он назвал принципом Дирихле . Существование единственного решения очень правдоподобно с точки зрения «физического аргумента»: любое распределение заряда на границе должно, согласно законам электростатики , определять электрический потенциал как решение. Однако Карл Вейерштрасс нашел изъян в аргументации Римана, и строгое доказательство существования было найдено только в 1900 году Давидом Гильбертом , использовавшим свой прямой метод в вариационном исчислении . Оказывается, существование решения тонко зависит от гладкости границы и заданных данных.

Общее решение

Для домена $D$ имеющая достаточно гладкую границу $\partial D$, общее решение задачи Дирихле имеет вид

$u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds,$

где $G(x,y)$ - функция Грина для уравнения в частных производных, а

${\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}$

является производной функции Грина вдоль единичного вектора нормали, направленного внутрь. ${\widehat {n}}$. Интегрирование проводится на границе с мерой $ds$. Функция $\nu (s)$ задаётся единственным решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода:

$f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds.$

Функция Грина, которая будет использоваться в приведенном выше интеграле, равна нулю на границе:

$G(x,s)=0$

для $s\in \partial D$ и $x\in D$. Такая функция Грина обычно представляет собой сумму функции Грина в свободном поле и гармонического решения дифференциального уравнения.

Существование

Задача Дирихле для гармонических функций всегда имеет решение, и это решение единственно, если граница достаточно гладкая и $f(s)$ является непрерывным. Точнее, оно имеет решение, когда

$\partial D\in C^{1,\alpha }$

для некоторых $\alpha \in (0,1)$, где $C^{1,\alpha }$ обозначает условие Гёльдера .

Пример: единичный диск в двух измерениях

В некоторых простых случаях задачу Дирихле можно решить явно. Например, решение задачи Дирихле для единичного круга в R ² задается интегральной формулой Пуассона .

Если $f$ является непрерывной функцией на границе $\partial D$ открытого единичного диска $D$, то решение задачи Дирихле будет $u(z)$ данный

$u(z)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-|z|^{2}}{|1-ze^{-i\psi }|^{2}}}\,d\psi &{\text{if }}z\in D,\\f(z)&{\text{if }}z\in \partial D.\end{cases}}$

Решение $u$ непрерывен на замкнутом единичном диске ${\bar {D}}$ и гармоничный на $D.$

Подынтегральная функция известна как ядро ​​Пуассона ; это решение следует из функции Грина в двух измерениях:

$G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log |z-x|+\gamma (z,x),$

где $\gamma (z,x)$ гармоничен ​ ( $\Delta _{x}\gamma (z,x)=0$) и выбрано так, что $G(z,x)=0$ для $x\in \partial D$.

Способы решения

Для ограниченных областей задачу Дирихле можно решить с помощью метода Перрона , основанного на принципе максимума для субгармонических функций . Этот подход описан во многих учебниках. Он не очень хорошо подходит для описания гладкости решений, когда граница гладкая. Другой классический подход гильбертова пространства через пространства Соболева действительно дает такую ​​информацию. Решение задачи Дирихле с использованием пространств Соболева для плоских областей может быть использовано для доказательства гладкой версии теоремы Римана об отображении . Белл (1992) изложил другой подход к установлению теоремы о гладком отображении Римана, основанный на воспроизводящих ядрах Сегё и Бергмана, и, в свою очередь, использовал его для решения проблемы Дирихле. Классические методы теории потенциала позволяют решать задачу Дирихле непосредственно в терминах интегральных операторов стандартная теория компактных и фредгольмовых операторов , для которых применима . Те же методы одинаково работают и для задачи Неймана .

Обобщения

Задачи Дирихле типичны для эллиптических уравнений в частных производных , теории потенциала и уравнения Лапласа в частности. Другие примеры включают бигармоническое уравнение и родственные ему уравнения теории упругости .

Они являются одним из нескольких типов классов задач УЧП, определяемых информацией, заданной на границе, включая задачи Неймана и задачи Коши .

Пример: уравнение конечной струны, прикрепленной к одной движущейся стене

Рассмотрим задачу Дирихле для волнового уравнения, описывающего струну, прикрепленную между стенками, один конец которой прикреплен постоянно, а другой движется с постоянной скоростью, т. е. уравнение Даламбера в треугольной области декартова произведения пространства и времени:

${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0,$

$u(0,t)=0,$

$u(\lambda t,t)=0.$

Как легко проверить подстановкой, решение, удовлетворяющее первому условию, есть

$u(x,t)=f(t-x)-f(x+t).$

Дополнительно мы хотим

$f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.$

Замена

$\tau =(\lambda +1)t,$

получаем условие самоподобия

$f(\gamma \tau )=f(\tau ),$

где

$\gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.$

Это реализуется, например, сложной функцией

$\sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]$

с

$\lambda =e^{2\pi }=1^{-i},$

так что в целом

$f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],$

где $g$ — периодическая функция с периодом $\log(\gamma )$:

$g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau ),$

и мы получим общее решение

$u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)].$

См. также

• Лебегов позвоночник

Ссылки

• А. Янушаускас (2001) [1994], «Задача Дирихле» , Энциклопедия математики , EMS Press
• С. Г. Кранц, Задача Дирихле . §7.3.3 в Справочнике комплексных переменных . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, с. 93, 1999. ISBN   0-8176-4011-8 .
• С. Экслер , П. Горкин , К. Восс, Задача Дирихле на квадратичных поверхностях , Математика вычислений 73 (2004), 637–651.
• Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-41160-4 .
• Жерар, Патрик; Лейхтнам, Эрик : Эргодические свойства собственных функций задачи Дирихле. Герцог Мат. Дж. 71 (1993), вып. 2, 559–607.
• Джон, Фриц (1982), Уравнения в частных производных , Applied Mathematical Sciences, vol. 1 (4-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-90609-6 .
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения в частных производных, с дополнениями Ларса Гординга и А.Н. Милгрэма , Лекции по прикладной математике, том. 3А, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0049-3 .
• Агмон, Шмуэль (2010), Лекции по эллиптическим краевым задачам , Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4910-1
• Стейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press .
• Грин, Роберт Э .; Кранц, Стивен Г. (2006), Теория функций одной комплексной переменной , Аспирантура по математике , том. 40 (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-3962-4 .
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения в частных производных I. Основная теория , Прикладные математические науки, том. 115 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-1-4419-7054-1 .
• Циммер, Роберт Дж. (1990), Основные результаты функционального анализа , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press, ISBN  0-226-98337-4 .
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения в частных производных (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN  0-691-04361-2 .
• Шазарен, Жак; Пириу, Ален (1982), Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений в частных производных , Исследования по математике и ее приложениям, том. 14, Эльзевир, ISBN  0444864520 .
• Белл, Стивен Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-Х .
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 94, Спрингер, ISBN  0387908943 .
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Interscience, ISBN  0471050598 .
• Курант Р. (1950), Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности , Interscience .
• Шиффер, М.; Хоули, Н.С. (1962), «Соединения и конформное отображение», Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790

Внешние ссылки

• «Задача Дирихле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Задача Дирихле» . Математический мир .