Субгармоническая функция

В математике широко субгармонические и супергармонические функции представляют собой важные классы функций, используемые в уравнениях в частных производных , комплексном анализе и теории потенциала .

Интуитивно субгармонические функции связаны с выпуклыми функциями одной переменной следующим образом. Если график выпуклой функции и прямая пересекаются в двух точках, то график выпуклой функции находится ниже линии между этими точками. Точно так же, если значения субгармонической функции не превышают значений гармонической функции на границе шара . , то значения субгармонической функции не превышают значений гармонической функции также внутри шара .

Супергармонические функции можно определить по тому же описанию, только заменив «не больше» на «не меньше». Альтернативно, супергармоническая функция — это просто отрицание субгармонической функции, и по этой причине любое свойство субгармонических функций может быть легко перенесено на супергармонические функции.

Формальное определение

Формально определение можно сформулировать следующим образом. Позволять $G$ быть подмножеством евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ и разреши

$$\varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$$

— полунепрерывная сверху функция . Затем, $\varphi$ называется субгармоническим , если для любого замкнутого шара ${\overline {B(x,r)}}$ центра $x$ и радиус $r$ содержалась в $G$ и каждая непрерывная вещественная функция $h$ на ${\overline {B(x,r)}}$ который гармоничен в $B(x,r)$ и удовлетворяет $\varphi (y)\leq h(y)$ для всех $y$ на границе $\partial B(x,r)$ из $B(x,r)$, у нас есть $\varphi (y)\leq h(y)$ для всех $y\in B(x,r).$

Обратите внимание, что согласно вышесказанному функция, тождественная −∞, является субгармонической, но некоторые авторы исключают эту функцию по определению.

Функция $u$ называется супергармоническим , если $-u$ является субгармоническим.

Свойства

• Функция является гармонической тогда и только тогда, когда она одновременно субгармонична и супергармонична.
• Если $\phi$ это С ² ( дважды непрерывно дифференцируема ) на открытом множестве $G$ в $\mathbb {R} ^{n}$, затем $\phi$ является субгармоническим тогда и только тогда, когда имеется $\Delta \phi \geq 0$ на $G$, где $\Delta$ является лапласианом .
• Максимум области , субгармонической функции не может быть достигнут внутри ее если функция не является постоянной, что называется принципом максимума . Однако минимум субгармонической функции может быть достигнут внутри ее области.
• Субгармонические функции образуют выпуклый конус , то есть линейная комбинация субгармонических функций с положительными коэффициентами также является субгармонической.
• Поточечный максимум двух субгармонических функций является субгармоническим. Если поточечный максимум счетного числа субгармонических функций полунепрерывен сверху, то он также субгармоничен.
• Предел убывающей последовательности субгармонических функций субгармоничен (или тождественно равен $-\infty$).
• Субгармонические функции не обязательно непрерывны в обычной топологии, однако можно ввести тонкую топологию , которая сделает их непрерывными.

Примеры

Если $f$ является аналитическим , тогда $\log |f|$является субгармоническим. Дополнительные примеры можно построить, используя перечисленные выше свойства: путем взятия максимумов, выпуклых комбинаций и пределов. В размерности 1 таким способом можно получить все субгармонические функции.

Рисса

Если $u$ является субгармоническим в области $D$, в евклидовом пространстве размерности $n$, $v$ гармоничен в $D$, и $u\leq v$, затем $v$ называется гармонической мажорантой $u$. Если существует гармоническая мажоранта, то существует и наименее гармоническая мажоранта, и

$$u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3$$

находясь в измерении 2,

$$u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),$$

где $v$ является наименее гармонической мажорантой, и $\mu$ является борелевской мерой в $D$. Это называется теоремой о представлении Рисса .

Субгармонические функции в комплексной плоскости

Субгармонические функции имеют особое значение в комплексном анализе , где они тесно связаны с голоморфными функциями .

Можно показать, что вещественная непрерывная функция $\varphi$ комплексной переменной (т. е. двух вещественных переменных), определенной на множестве $G\subset \mathbb {C}$ субгармонична тогда и только тогда, когда для любого замкнутого диска $D(z,r)\subset G$ центра $z$ и радиус $r$ надо

$$\varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })\,d\theta .$$

Интуитивно это означает, что субгармоническая функция в любой точке не превышает среднего значения в окружности вокруг этой точки, и этот факт можно использовать для вывода принципа максимума .

Если $f$ — голоморфная функция, то

$$\varphi (z)=\log \left|f(z)\right|$$

является субгармонической функцией, если мы определим значение $\varphi (z)$ в нулях $f$ быть $-\infty$. Следует, что

$$\psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }$$

субгармонична для любого α > 0. Это наблюдение играет роль в теории пространств Харди , особенно для изучения H ^п когда 0 < р < 1.

В контексте комплексной плоскости связь с выпуклыми функциями может быть реализована и тем, что субгармоническая функция $f$ в домене $G\subset \mathbb {C}$ постоянная в мнимом направлении, выпуклая в действительном направлении и наоборот.

Гармонические мажоранты субгармонических функций

Если $u$ является субгармоническим в области $\Omega$ комплексной плоскости, и $h$ гармоничен ​ на $\Omega$, затем $h$ является гармонической мажорантой $u$ в $\Omega$ если $u\leq h$ в $\Omega$. Такое неравенство можно рассматривать как условие роста $u$.

Субгармонические функции в единичном диске. Радиальная максимальная функция

Пусть φ субгармонична, непрерывна и неотрицательна в открытом подмножестве Ω комплексной плоскости, содержащем замкнутый единичный круг D (0, 1). Радиальная максимальная функция для функции φ (ограниченная единичным кругом) определяется на единичной окружности формулой

$$(M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (re^{i\theta }).$$

Если P _r обозначает ядро ​​Пуассона , то из субгармоничности следует, что

$$0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left(\theta -t\right)\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,\ \ \ r<1.$$

Можно показать, что последний интеграл меньше значения при e ^я максимальной функции Харди –Литтлвуда φ ^∗ ограничения φ на единичную окружность T ,

$$\varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,$$

так что 0 ⩽ M   φ ⩽ φ ^∗ . Известно, что оператор Харди–Литтлвуда ограничен на L ^п ( T ) , когда 1 < p < ∞. Отсюда следует, что для некоторой универсальной C константы

$$\|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })^{2}\,d\theta .$$

Если f — функция, голоморфная в Ω, и 0 < p < ∞, то предыдущее неравенство применимо к φ = | ж | ^{п /2} . Из этих фактов можно вывести, что любая функция F в классическом пространстве Харди H ^п удовлетворяет

$$\int _{0}^{2\pi }\left(\sup _{0\leq r<1}\left|F(re^{i\theta })\right|\right)^{p}\,d\theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\,d\theta .$$

Проведя дополнительную работу, можно показать, что F имеет радиальные пределы F ( e ^я ) почти всюду на единичной окружности и (по теореме о доминируемой сходимости ) что F _r , определяемый F _r ( e ^я ) = F ( р   е ^я ) стремится к F в L ^п ( Т ).

Субгармонические функции

Субгармонические функции можно определить на произвольном римановом многообразии .

Определение. Пусть M — риманово многообразие и $f:\;M\to \mathbb {R}$полунепрерывная сверху функция. Предположим, что для любого открытого подмножества $U\subset M$и любую гармоническую функцию f ₁ на U такую, что $f_{1}\geq f$ на границе U неравенство $f_{1}\geq f$сохраняется на всех U . Тогда f называется субгармонической .

Это определение эквивалентно приведенному выше. Также для дважды дифференцируемых функций субгармоничность эквивалентна неравенству $\Delta f\geq 0$, где $\Delta$ является обычным лапласианом .

См. также

• Плюрисубгармоническая функция - обобщение на несколько комплексных переменных
• Классическая тонкая топология

Ссылки

• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90328-3 .
• Кранц, Стивен Г. (1992). Теория функций многих комплексных переменных . Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea. ISBN  0-8218-2724-3 .
• Дуб, Джозеф Лео (1984). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог . Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  3-540-41206-9 .
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1994). Темы по классам Харди и однолистным функциям . Расширенные тексты Биркхаузера: Базельские учебники. Базель: Биркхаузер Верлаг.

Эта статья включает в себя материал из субгармонических и супергармонических функций на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike .