Полунепрерывность

Понятие верхней или нижней полунепрерывной множественной функции см. в разделе «Полунепрерывность» .

В анализе математическом полунепрерывность (или полунепрерывность ) — свойство расширенных вещественных функций , более слабое, чем непрерывность . Расширенная действительная функция $f$ является сверху (соответственно снизу ) полунепрерывным в точке $x_{0}$ если, грубо говоря, значения функции для аргументов вблизи $x_{0}$ ненамного выше (соответственно ниже), чем $f\left(x_{0}\right).$

Функция непрерывна тогда и только тогда, когда она полунепрерывна сверху и снизу. Если мы возьмем непрерывную функцию и увеличим ее значение в определенной точке $x_{0}$ к $f\left(x_{0}\right)+c$ для некоторых $c>0$, то результат полунепрерывен сверху; если мы уменьшим его значение до $f\left(x_{0}\right)-c$ тогда результат полунепрерывен снизу.

Полунепрерывная сверху функция, не являющаяся полунепрерывной снизу. Сплошная синяя точка указывает $f\left(x_{0}\right).$

Полунепрерывная снизу функция, не являющаяся полунепрерывной сверху. Сплошная синяя точка указывает $f\left(x_{0}\right).$

Понятие полунепрерывной сверху и снизу функции было впервые введено и изучено Рене Бэром в его диссертации в 1899 году.

Определения

Предположим, что на протяжении всего этого $X$ является топологическим пространством и $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ это функция со значениями в расширенных действительных числах ${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}=[-\infty ,\infty ]$.

Верхняя

Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ называется полунепрерывным сверху в точке $x_{0}\in X$ если для каждого настоящего $y>f\left(x_{0}\right)$ существует район $U$ из $x_{0}$ такой, что $f(x)<y$ для всех $x\in U$. Эквивалентно, $f$ полунепрерывен сверху при $x_{0}$ тогда и только тогда, когда

$$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})$$

где lim sup — верхний предел функции $f$ в точку $x_{0}$.

Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ называется полунепрерывным сверху, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

(1) Функция полунепрерывна сверху в каждой точке своей области определения .

(2) Все наборы $f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}$ с $y\in \mathbb {R}$ открыты ​ в $X$, где $[-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}$.

(3) Все наборы суперуровня . $\{x\in X:f(x)\geq y\}$ с $y\in \mathbb {R}$ закрыты ​ в $X$.

(4) Гипограф $\{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}$ закрыт в $X\times \mathbb {R}$.

(5) Функция непрерывна, если кодобласть ${\overline {\mathbb {R} }}$ задана топология левого порядка . Это всего лишь переформулировка условия (2), поскольку топология левого порядка порождается всеми интервалами $[-\infty ,y)$.

Нижняя

Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ называется полунепрерывным снизу в точке $x_{0}\in X$ если для каждого настоящего $y<f\left(x_{0}\right)$ существует район $U$ из $x_{0}$ такой, что $f(x)>y$ для всех $x\in U$.Эквивалентно, $f$ является полунепрерывным снизу при $x_{0}$ тогда и только тогда, когда

$$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})$$

где $\liminf$ является нижним пределом функции $f$ в точку $x_{0}$.

Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ называется полунепрерывным снизу, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

(1) Функция полунепрерывна снизу в каждой точке своей области определения .

(2) Все наборы $f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}$ с $y\in \mathbb {R}$ открыты ​ в $X$, где $(y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}$.

(3) Все наборы подуровней $\{x\in X:f(x)\leq y\}$ с $y\in \mathbb {R}$ закрыты ​ в $X$.

(4) Эпиграф $\{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}$ закрыт в $X\times \mathbb {R}$.

(5) Функция непрерывна, если кодобласть ${\overline {\mathbb {R} }}$ задана топология правильного порядка . Это всего лишь повторная формулировка условия (2), поскольку топология правого порядка порождается всеми интервалами $(y,\infty ]$.

Примеры

Рассмотрим функцию $f,$ кусочно определяется:

$$f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}$$

Эта функция полунепрерывна сверху при $x_{0}=0,$ но не нижний полунепрерывный.

Функция пола $f(x)=\lfloor x\rfloor ,$ который возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному действительному числу $x,$ всюду полунепрерывна сверху. Аналогично, функция потолка $f(x)=\lceil x\rceil$ является полунепрерывным снизу.

Полунепрерывность сверху и снизу не имеет никакого отношения к непрерывности слева или справа для функций действительной переменной. Полунепрерывность определяется с точки зрения упорядочения в области значений функций, а не в области определения. Например, функция

$$f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if }}x=0,\end{cases}}$$

полунепрерывен сверху при $x=0$ тогда как пределы функции слева или справа в нуле даже не существуют.

Если $X=\mathbb {R} ^{n}$ является евклидовым пространством (или, в более общем плане, метрическим пространством) и $\Gamma =C([0,1],X)$ это пространство кривых в $X$ (с супремумным расстоянием $d_{\Gamma }(\alpha ,\beta )=\sup\{d_{X}(\alpha (t),\beta (t)):t\in [0,1]\}$), то функционал длины $L:\Gamma \to [0,+\infty ],$ который присваивает каждой кривой $\alpha$ его длина $L(\alpha ),$ является полунепрерывным снизу. В качестве примера рассмотрим аппроксимацию диагонали единичного квадрата лестницей снизу. Лестница всегда имеет длину 2, а диагональная линия имеет только длину. ${\sqrt {2}}$.

Позволять $(X,\mu )$ — пространство с мерой и пусть $L^{+}(X,\mu )$ обозначим множество положительных измеримых функций, наделенныхтопология сходимости по мере относительно $\mu .$ Тогда по лемме Фату интеграл, рассматриваемый как оператор из $L^{+}(X,\mu )$ к $[-\infty ,+\infty ]$ является полунепрерывным снизу.

Свойства

Если не указано иное, все приведенные ниже функции взяты из топологического пространства. $X$ к расширенным действительным числам ${\overline {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ].$ Некоторые результаты верны для полунепрерывности в конкретной точке, но для краткости они сформулированы только для полунепрерывности во всей области.

• Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ непрерывно тогда и только тогда , когда оно полунепрерывно сверху и снизу.
• Индикаторная функция множества $A\subset X$ (определено $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ если $x\in A$ и $0$ если $x\notin A$) полунепрерывен сверху тогда и только тогда, когда $A$ представляет собой закрытое множество . Оно полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда $A$ представляет собой открытое множество .

• Сумма $f+g$ двух полунепрерывных снизу функций полунепрерывна снизу (при условии, что сумма определена корректно, т.е. $f(x)+g(x)$ это не неопределенная форма $-\infty +\infty$). То же самое справедливо и для полунепрерывных сверху функций.
• Если обе функции неотрицательны, функция произведения $fg$ двух полунепрерывных снизу функций полунепрерывна снизу. Соответствующий результат справедлив для полунепрерывных сверху функций.
• Функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ полунепрерывен снизу тогда и только тогда, когда $-f$ является полунепрерывным сверху.
• Состав ​ $f\circ g$ полунепрерывных сверху функций не обязательно полунепрерывен сверху, но если $f$ также не убывает, то $f\circ g$ является полунепрерывным сверху.
• Минимум и максимум двух полунепрерывных снизу функций полунепрерывны снизу. Другими словами, множество всех полунепрерывных снизу функций из $X$ к ${\overline {\mathbb {R} }}$ (или чтобы $\mathbb {R}$) образует решетку . То же самое справедливо и для полунепрерывных сверху функций.
• (поточечно) Супремум произвольного семейства $(f_{i})_{i\in I}$ полунепрерывных снизу функций $f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ (определено $f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}$) полунепрерывен снизу.

В частности, предел монотонно возрастающей последовательности $f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots$ непрерывных функций полунепрерывна снизу. (Приведенная ниже теорема Бэра дает частичное обратное.) Предельная функция, вообще говоря, будет только полунепрерывной снизу, а не непрерывной. Примером служат функции $f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}$ определено для $x\in [0,1]$ для $n=1,2,\ldots .$

Аналогично, нижняя грань произвольного семейства полунепрерывных сверху функций полунепрерывна сверху. А предел монотонно убывающей последовательности непрерывных функций полунепрерывен сверху.

• ( Теорема Бэра ) Предполагать $X$ является метрическим пространством . Любая полунепрерывная снизу функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ является пределом монотонно возрастающей последовательности расширенных вещественнозначных непрерывных функций на $X$; если $f$ не принимает значение $-\infty$, непрерывные функции можно считать вещественными.

И каждая полунепрерывная сверху функция $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ является пределом монотонно убывающей последовательности расширенных вещественнозначных непрерывных функций на $X$; если $f$ не принимает значение $\infty ,$ непрерывные функции можно считать вещественными.

• Если $C$ — компактное пространство (например, замкнутый ограниченный интервал $[a,b]$) и $f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}$ полунепрерывен сверху, то $f$ имеет максимум на $C.$ Если $f$ полунепрерывен снизу на $C,$ у него есть минимум $C.$

( Доказательство для полунепрерывного сверху случая : По условию (5) определения $f$ является непрерывным, когда ${\overline {\mathbb {R} }}$ задана топология левого порядка. Итак, его образ $f(C)$ компактен в этой топологии. И компакты в этой топологии — это именно множества с максимумом. Альтернативное доказательство см. в статье о теореме об экстремальных значениях .)

• Любая полунепрерывная сверху функция $f:X\to \mathbb {N}$ в произвольном топологическом пространстве $X$ локально постоянна на некотором плотном открытом подмножестве $X.$
• Теорема Тонелли в функциональном анализе характеризует слабую полунепрерывность снизу нелинейных функционалов на L ^п пространства в терминах выпуклости другой функции.

См. также

• Непрерывность направления – математическая функция без внезапных изменений. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Теорема вставки Катетова–Тонга . О существовании непрерывной функции между полунепрерывными верхними и нижними оценками.
• Полунепрерывная заданная функция

Библиография

• Бенешова, Б.; Крузик, М. (2017). «Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложений». Обзор СИАМ . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . дои : 10.1137/16M1060947 . S2CID   119668631 .
• Бурбаки, Николя (1998). Элементы математики: Общая топология, 1–4 . Спрингер. ISBN  0-201-00636-7 .
• Бурбаки, Николя (1998). Элементы математики: общая топология, 5–10 . Спрингер. ISBN  3-540-64563-2 .
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN  3-88538-006-4 .
• Гельбаум, Бернард Р.; Олмстед, Джон М.Х. (2003). Контрпримеры в анализе . Дуврские публикации. ISBN  0-486-42875-3 .
• Хайерс, Дональд Х.; Исак, Джордж; Рассиас, Фемистокл М. (1997). Темы нелинейного анализа и приложений . Всемирная научная. ISBN  981-02-2534-2 .
• Стромберг, Карл (1981). Введение в классический реальный анализ . Уодсворт. ISBN  978-0-534-98012-2 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .
• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .