Линза (геометрия)

Чтобы узнать о других значениях, см. Объектив (оптика) .

Линза находится между двумя круговыми дугами радиуса R с центрами O ₁ и O _2.

В двумерной геометрии линза соединенными представляет собой выпуклую область, ограниченную двумя дугами окружности, друг с другом в своих конечных точках. Чтобы эта форма была выпуклой, обе дуги должны выгибаться наружу (выпуклая-выпуклая). Эта форма может быть сформирована как пересечение двух круглых дисков . Он также может образовываться как объединение двух круговых сегментов (областей между хордой круга и самой окружностью), соединенных по общей хорде.

Типы

Пример двух асимметричных линз (слева и справа) и одной симметричной линзы (посередине)

Vesica piscis представляет собой пересечение двух дисков одинакового радиуса R и с расстоянием между центрами, также равным R.

Если две дуги линзы имеют одинаковый радиус, она называется симметричной линзой , в противном случае — асимметричной линзой .

vesica piscis — это одна из форм симметричной линзы, образованной дугами двух кругов, центры которых лежат на противоположной дуге. Дуги встречаются под углом 120° в своих конечных точках.

Площадь

Симметричный

Площадь R симметричной линзы можно выразить через радиус θ и длину дуги : в радианах

$A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right).$

Асимметричный

Площадь асимметричной линзы, образованной кругами радиусов R и r с расстоянием d между их центрами, равна

$A=r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta$

где

$\Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}}$

— площадь треугольника сторонами d , r и R. со

Два круга перекрываются, если $d<r+R$. Для достаточно большого $d$, координата $x$ центра линзы лежит между координатами двух центров окружностей:

Для маленьких $d$ координата $x$ Центр линзы лежит за пределами линии, соединяющей центры окружностей:

Исключив y из уравнений окружности $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ и $(x-d)^{2}+y^{2}=R^{2}$ абсцисса равна пересекающихся краев

$x=(d^{2}+r^{2}-R^{2})/(2d)$.

Знак x , т.е. $d^{2}$ быть больше или меньше, чем $R^{2}-r^{2}$, различает два случая, показанных на изображениях.

Ордината равна пересечения

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={\frac {\sqrt {[(R-d)^{2}-r^{2}][r^{2}-(R+d)^{2}]}}{2d}}$.

Отрицательные значения под квадратным корнем означают, что края двух кругов не соприкасаются.потому что круги расположены слишком далеко друг от друга или один круг полностью лежит внутри другого.

Значение под квадратным корнем представляет собой биквадратичный многочлен от d . Четыре корня этого полинома связаны с y=0 и с четырьмя значениями d , где два круга имеют только одну общую точку.

Углы в синем треугольнике со сторонами d , r и R равны

$\sin a_{r}=y/r;\quad \sin a_{R}=y/R$

где y — ордината пересечения. Ветвь арксина с $a_{r}>\pi /2$ следует принять, если $d^{2}<R^{2}-r^{2}$.

Площадь равна треугольника $\Delta ={\frac {1}{2}}yd$.

Площадь асимметричной линзы равна $A=a_{r}r^{2}+a_{R}R^{2}-yd$, где оба угла измеряются в радианах.[Это применение принципа включения-исключения : два круговых сектора с центрами (0,0) и (d,0) с центральнымиуглы $2a_{r}$ и $2a_{R}$ иметь площади $2a_{r}r^{2}$ и $2a_{R}R^{2}$. Их объединение покрывает треугольник, перевернутый треугольник с углом (x,-y) и удвоенной площадью линзы.]

Приложения

Линза другой формы является ответом на задачу госпожи Минивер о нахождении линзы с половиной площади объединения двух кругов.

Линзы используются для определения бета-скелетонов , геометрических графиков, определяемых на множестве точек путем соединения пар точек ребром всякий раз, когда линза, определяемая двумя точками, пуста.

См. также

• Пересечение круга и круга
• Луна , родственная невыпуклая форма, образованная двумя круговыми дугами, одна изогнута наружу, а другая внутрь.
• Лимон , созданный линзой, вращающейся вокруг оси через кончики.

Лимон ​ .

Ссылки

• Педо, Д. (1995). «Круги: математический взгляд, ред.». Вашингтон, округ Колумбия: Математика. доц. Амер . МР   1349339 .
• Пламмер, Х. (1960). Вводный трактат по динамической астрономии . Йорк: Дувр. Бибкод : 1960aitd.book.....P .
• Уотсон, Дж.Н. (1966). Трактат по теории функций Бесселя, 2-е изд . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. МР   1349110 .
• Фьюэлл, член парламента (2006). «Область общего перекрытия трех кругов» . Организация оборонной науки и технологий. Архивировано из оригинала 3 марта 2022 года.
• Либрион, Федерико; Леворато, Марко; Зорзи, Мишель (2012). «Алгоритмическое решение для расчета площадей пересечения окружностей и его применение в беспроводной связи». Вирел. Коммун. Мобильный компьютер . 14 (18): 1672–1690. arXiv : 1204.3569 . дои : 10.1002/wcm.2305 . S2CID   2828261 .