Правильная выпуклая функция

Эта статья о концепции выпуклого анализа . Для понятия правильности в топологии см. правильную карту .

В математическом анализе , в частности в областях выпуклого анализа и оптимизации , функция — это расширенная собственная выпуклая выпуклая функция с действительным знаком и непустой областью определения , которая никогда не принимает значение $-\infty$ а также не тождественно равен $+\infty .$

В выпуклом анализе и вариационном анализе — точка (в области определения), в которой некоторая заданная функция $f$ минимизируется, как правило, ищется, где $f$ оценивается в расширенной строке действительных чисел $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.$ Такая точка, если она существует, называется точкой глобального минимума функции, а ее значение в этой точке называется глобальным минимумом ( значением ) функции. Если функция принимает $-\infty$ как ценность тогда $-\infty$ обязательно является глобальным минимальным значением, и можно решить проблему минимизации; в конечном счете, это причина, по которой определение « правильного » требует, чтобы функция никогда не принимала $-\infty$ как ценность. Предполагая это, если область определения функции пуста или если функция тождественно равна $+\infty$ тогда задача минимизации снова имеет немедленный ответ. Расширенные вещественные функции, для которых задача минимизации не решается ни в одном из этих трех тривиальных случаев, — это именно те, которые называются собственными . Многие (хотя и не все) результаты, гипотезы которых требуют корректности функции, добавляют это требование специально, чтобы исключить эти тривиальные случаи.

Если вместо этого проблема представляет собой проблему максимизации (что было бы четко обозначено, например, тем, что функция является вогнутой, а не выпуклой), тогда определение « правильного » определяется аналогичным (хотя технически другим) способом, но с той же целью: исключить случаи, когда на задачу максимизации можно ответить немедленно. В частности, вогнутая функция $g$ называется правильным, если его отрицание $-g,$ которая является выпуклой функцией, является собственной в определенном выше смысле.

Определения

Предположим, что $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ это функция, принимающая значения в расширенной строке действительных чисел $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}.$ Если $f$ является выпуклой функцией или если точка минимума $f$ разыскивается, то $f$ называется правильным, если

$f(x)>-\infty$      для каждого $x\in X$

и если также существует какая-то точка $x_{0}\in X$ такой, что

$f\left(x_{0}\right)<+\infty .$

То есть функция является правильной , если она никогда не достигает значения $-\infty$ и его эффективная область определения непуста. Это означает, что существует некоторый $x\in X$ на котором $f(x)\in \mathbb {R}$ и $f$ также никогда не равен $-\infty .$ Выпуклые функции, которые не являются собственными, называются несобственными выпуклыми функциями.

Правильная функция вогнутая функция по определению — это любая $g:X\to [-\infty ,\infty ]$ такой, что $f:=-g$ — собственная выпуклая функция. Явно, если $g:X\to [-\infty ,\infty ]$ является вогнутой функцией или если точка максимума $g$ разыскивается, то $g$ называется правильным , если его область определения не пуста, он никогда не принимает значение $+\infty ,$ и оно не тождественно равно $-\infty .$

Свойства

Для каждой собственной выпуклой функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to [-\infty ,\infty ],$ существуют некоторые $b\in \mathbb {R} ^{n}$ и $r\in \mathbb {R}$ такой, что

$f(x)\geq x\cdot b-r$

для каждого $x\in \mathbb {R} ^{n}.$

Сумма двух собственных выпуклых функций выпукла, но не обязательно правильная. Например, если множества $A\subset X$ и $B\subset X$ являются непустыми выпуклыми множествами в векторном пространстве $X,$ тогда характеристические функции $I_{A}$ и $I_{B}$ являются собственными выпуклыми функциями, но если $A\cap B=\varnothing$ затем $I_{A}+I_{B}$ тождественно равен $+\infty .$

Инфимальная свертка двух собственных выпуклых функций является выпуклой, но не обязательно собственной выпуклой.

См. также

• Эффективный домен

Ссылки

• Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Ж.-Б. (26 июня 2009 г.). Вариационный анализ . Основные принципы математических наук. Том 317. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media . ISBN  9783642024313 . OCLC   883392544 .