Правильная карта

Эта статья о концепции топологии . Для понятия выпуклого анализа см. правильную выпуклую функцию .

В математике функция , между топологическими пространствами называется собственной если прообразы компактных подмножеств компактны. В алгебраической геометрии аналогичное понятие называется собственным морфизмом .

Определение

Существует несколько конкурирующих определений «правильной функции ». Некоторые авторы называют функцию $f:X\to Y$ между двумя топологическими пространствами собственно , если прообраз каждого компакта в $Y$ компактен в $X.$ Другие авторы называют карту $f$ правильная , если она непрерывна и замкнута компактными слоями ; то есть если это непрерывное замкнутое отображение и прообраз каждой точки в $Y$компактен ​ . Оба определения эквивалентны, если $Y$ компактен локально и хаусдорфов .

показывать Частичное доказательство эквивалентности

Let $f:X\to Y$ be a closed map, such that $f^{-1}(y)$ is compact (in $X$) for all $y\in Y.$ Let $K$ be a compact subset of $Y.$ It remains to show that $f^{-1}(K)$ is compact. Let $\left\{U_{a}:a\in A\right\}$ be an open cover of $f^{-1}(K).$ Then for all $k\in K$ this is also an open cover of $f^{-1}(k).$ Since the latter is assumed to be compact, it has a finite subcover. In other words, for every $k\in K,$ there exists a finite subset $\gamma _{k}\subseteq A$ such that $f^{-1}(k)\subseteq \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}.$ The set $X\setminus \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}$ is closed in $X$ and its image under $f$ is closed in $Y$ because $f$ is a closed map. Hence the set $$V_{k}=Y\setminus f\left(X\setminus \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}\right)$$ is open in $Y.$ It follows that $V_{k}$ contains the point $k.$ Now $K\subseteq \cup _{k\in K}V_{k}$ and because $K$ is assumed to be compact, there are finitely many points $k_{1},\dots ,k_{s}$ such that $K\subseteq \cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}}.$ Furthermore, the set $\Gamma =\cup _{i=1}^{s}\gamma _{k_{i}}$ is a finite union of finite sets, which makes $\Gamma$ a finite set. Now it follows that $f^{-1}(K)\subseteq f^{-1}\left(\cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}}\right)\subseteq \cup _{a\in \Gamma }U_{a}$ and we have found a finite subcover of $f^{-1}(K),$ which completes the proof.

Если $X$ это Хаусдорф и $Y$локально компактен по Хаусдорфу, то собственный эквивалентен универсально замкнутому . Отображение универсально замкнуто, если для любого топологического пространства $Z$ карта $f\times \operatorname {id} _{Z}:X\times Z\to Y\times Z$закрыто. В случае, если $Y$ является Хаусдорфом, это эквивалентно требованию, чтобы для любого отображения $Z\to Y$ откат $X\times _{Y}Z\to Z$ быть замкнутым, как это следует из того, что $X\times _{Y}Z$ является замкнутым подпространством $X\times Z.$

Эквивалентное, возможно, более интуитивное определение, когда $X$ и $Y$ являются метрическими пространствами , заключается в следующем: мы говорим, что это бесконечная последовательность точек $\{p_{i}\}$ в топологическом пространстве $X$ уходит в бесконечность , если для любого компакта $S\subseteq X$ только конечное число точек $p_{i}$ находятся в $S.$ Тогда непрерывное отображение $f:X\to Y$ является правильным тогда и только тогда, когда для любой последовательности точек $\left\{p_{i}\right\}$ который убегает в бесконечность в $X,$ последовательность $\left\{f\left(p_{i}\right)\right\}$ убегает в бесконечность в $Y.$

Свойства

• Всякое непрерывное отображение компакта в хаусдорфово пространство является одновременно собственным и замкнутым .
• Всякое сюръективное собственное отображение является компактным накрывающим отображением.
  • Карта $f:X\to Y$ называется компактным покрытием , если для любого компактного подмножества $K\subseteq Y$ существует некоторое компактное подмножество $C\subseteq X$ такой, что $f(C)=K.$
• Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда отображение этого пространства в одну точку является правильным.
• Если $f:X\to Y$ является правильным непрерывным отображением и $Y$ является компактно порожденным хаусдорфовым пространством (сюда входят хаусдорфовые пространства, которые либо счетны, либо локально компактны ), тогда $f$ закрыто.

Обобщение

Можно обобщить понятие собственных карт топологических пространств в локали и топосы см. ( Johnstone 2002 ).

См. также

• Почти открытая карта — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты.
• Открытые и закрытые карты — функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества.
• Совершенное отображение - непрерывное замкнутое сюръективное отображение, каждый слой которого также является компактным множеством.
• Глоссарий топологии — глоссарий по математике. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Ссылки

• Бурбаки, Николас (1998). Общая топология. Главы 5–1 Элементы математики. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-64563-4 . МР   1726872 .
• Джонстон, Питер (2002). Зарисовки слона: сборник теории топоса . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-851598-7 . , особ. раздел С3.2 «Правильные карты»
• Браун, Рональд (2006). Топология и группоиды . Северная Каролина: Книжный поток . ISBN  1-4196-2722-8 . , особ. п. 90 «Правильные карты» и упражнения к разделу 3.6.
• Браун, Рональд (1973). «Секвенциально правильные отображения и секвенциальная компактификация». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 7 (3): 515–522. дои : 10.1112/jlms/s2-7.3.515 .
• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 218 (Второе изд.). Нью-Йорк Лондон: Springer-Verlag . ISBN  978-1-4419-9981-8 . OCLC   808682771 .