Идеальная карта

В математике , особенно в топологии , совершенное отображение — это особый вид непрерывной функции между топологическими пространствами . Совершенные отображения слабее гомеоморфизмов , но достаточно сильны, чтобы сохранять некоторые топологические свойства, такие как локальная компактность , которые не всегда сохраняются непрерывными отображениями.

Формальное определение

Позволять $X$ и $Y$ — топологические пространства и пусть $p$ быть картой из $X$ к $Y$ непрерывный и такой, что , замкнутый , сюръективный каждый слой $p^{-1}(y)$ компактен ​ относительно $X$ для каждого $y$ в $Y$. Затем $p$ известна как идеальная карта.

Примеры и свойства

1. Если $p\colon X\to Y$ идеальная карта и $Y$ компактен то , $X$ компактен.
2. Если $p\colon X\to Y$ идеальная карта и $X$ является регулярным , то $Y$ является регулярным. (Если $p$ является просто непрерывным, то даже если $X$ является регулярным, $Y$ не обязательно должен быть регулярным. Примером этого является, если $X$ представляет собой обычное пространство и $Y$ представляет собой бесконечное множество в недискретной топологии.)
3. Если $p\colon X\to Y$ это идеальная карта, и если $X$ , локально компактна то $Y$ локально компактен.
4. Если $p\colon X\to Y$ это идеальная карта, и если $X$ является вторым счетным, то $Y$ является вторым счетным .
5. Всякое инъективное совершенное отображение является гомеоморфизмом . Это следует из того, что биективное замкнутое отображение имеет непрерывное обратное.
6. Если $p\colon X\to Y$ это идеальная карта, и если $Y$ подключено то , $X$ не нужно подключать. Например, постоянное отображение компактного несвязного пространства в одноэлементное пространство является идеальным отображением.
7. Идеальная карта не обязательно должна быть открытой. Действительно, рассмотрим карту $p\colon [1,2]\cup [3,4]\to [1,3]$ данный $p(x)=x$ если $x\in [1,2]$ и $p(x)=x-1$ если $x\in {}[3,4]$. Это отображение замкнуто, непрерывно (по лемме о склеивании ) и сюръективно и, следовательно, является совершенным отображением (другое условие тривиально выполняется). Однако p не открыт, поскольку образ [1, 2] под p — это [1, 2] , который не открыт относительно [1, 3] (диапазон p ). Обратите внимание, что эта карта является фактор-картой , и операция факторизации «склеивает» два интервала вместе.
8. Обратите внимание, что для сохранения таких свойств, как локальная связность , вторая счетность, локальная компактность и т. д.... отображение должно быть не только непрерывным, но и открытым. Идеальная карта не обязательно должна быть открытой (см. предыдущий пример), но эти свойства все равно сохраняются и в идеальных картах.
9. Любой гомеоморфизм является совершенным отображением. Это следует из того факта, что биективное открытое отображение замкнуто и что, поскольку гомеоморфизм инъективен, обратный каждому элементу области определения должен быть конечным в области определения (фактически обратный должен иметь ровно один элемент).
10. Любая совершенная карта является факторкартой. Это следует из того, что замкнутое непрерывное сюръективное отображение всегда является фактор-отображением.
11. Пусть G — компактная топологическая группа, действующая непрерывно X. на Тогда фактор-отображение X в X / G является совершенным отображением.
12. Идеальные карты – это правильно . что топология Y хаусдорфова Обратное верно при условии , и компактно порождена.

См. также

• Открытые и закрытые карты — функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества.
• Факторпространство - Построение топологического пространства
• Правильное отображение - отображение топологических пространств со свойством, что прообраз каждого компакта компактен.

Ссылки

• Манкрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN  0-13-181629-2 .