Подключенное пространство

Связные и несвязные подпространства R² .

Сверху вниз: красное пространство A , розовое пространство B , желтое пространство C и оранжевое пространство D — все это связные пространства , тогда как зеленое пространство E (состоящее из подмножеств E ₁ , E ₂ , E ₃ и E ₄ ) отключено . Кроме того, A и B также являются односвязными ( род 0), а C и D — нет: C имеет род 1, а D имеет род 4.

В топологии и смежных разделах математики связное пространство — топологическое пространство , которое нельзя представить как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств . Связность — одно из основных топологических свойств , которые используются для различения топологических пространств.

Подмножество топологического пространства $X$ это связное множество , если оно является связным пространством, если рассматривать его подпространство как $X$.

Некоторые родственные, но более сильные условия: связность путей , односвязность и $n$-связанный . Другое родственное понятие — локальная связность , которое не подразумевает и не следует из связности.

Формальное определение

Топологическое пространство $X$ Говорят, что это несвязным, если оно представляет собой объединение двух непересекающихся непустых открытых множеств. В противном случае, $X$говорят, что он связан . Подмножество . топологического пространства называется связным, если оно связно относительно топологии своего подпространства Некоторые авторы исключают пустое множество (с его уникальной топологией) как связное пространство, но данная статья не следует этой практике.

Для топологического пространства $X$ следующие условия эквивалентны:

1. $X$ связно, то есть не может быть разделено на два непересекающихся непустых открытых множества.
2. Единственные подмножества $X$ которые одновременно открыты и закрыты ( закрыто- закрытые множества ). $X$ и пустой набор.
3. Единственные подмножества $X$ с границей пустой $X$ и пустой набор.
4. $X$ не может быть записано как объединение двух непустых разделенных множеств (множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого).
5. Все непрерывные функции из $X$ к $\{0,1\}$ постоянны, где $\{0,1\}$ — двухточечное пространство, наделенное дискретной топологией .

Исторически эта современная формулировка понятия связности (в терминах отсутствия разделения $X$на два отдельных набора) впервые появился (независимо) вместе с Н. Дж. Леннесом, Фриджесом Риссом и Феликсом Хаусдорфом в начале 20 века. Видеть для получения подробной информации.

Подключенные компоненты

Учитывая некоторую точку $x$ в топологическом пространстве $X,$ объединение любого набора связанных подмножеств, каждое из которых содержит $x$снова будет связным подмножеством. Связная компонента точки $x$ в $X$ является объединением всех связных подмножеств $X$ которые содержат $x;$ это единственный по величине (по отношению к $\subseteq$) связное подмножество $X$ который содержит $x.$ Максимальные связные подмножества (упорядоченные включением $\subseteq$) непустого топологического пространства называются компонентами связности пространства. Компоненты любого топологического пространства $X$ образовать перегородку ​ $X$: они непересекающиеся , непустые и их объединение — всё пространство. Каждый компонент представляет собой замкнутое подмножество исходного пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их число конечно, каждая компонента также является открытым подмножеством. Однако если их число бесконечно, это может быть не так; например, связные компоненты множества рациональных чисел представляют собой одноточечные множества ( одиночки ), которые не являются открытыми. Доказательство: Любые два различных рациональных числа. $q_{1}<q_{2}$находятся в разных компонентах. Возьмите иррациональное число $q_{1}<r<q_{2},$ а затем установить $A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}$ и $B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.$ Затем $(A,B)$ представляет собой разделение $\mathbb {Q} ,$ и $q_{1}\in A,q_{2}\in B$. Таким образом, каждая компонента представляет собой одноточечное множество.

Позволять $\Gamma _{x}$ быть компонентом связности $x$ в топологическом пространстве $X,$ и $\Gamma _{x}'$ быть пересечением всех открыто-открытых множеств, содержащих $x$ ( квазикомпонентом называемый $x.$) Затем $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ где равенство имеет место, если $X$ компактен по Хаусдорфу или локально связен.

Разрозненные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется полностью отключен . С этим свойством связано пространство $X$ называется полностью разделены , если для любых двух различных элементов $x$ и $y$ из $X$, существуют непересекающиеся открытые множества $U$ содержащий $x$ и $V$ содержащий $y$ такой, что $X$ это союз $U$ и $V$. Ясно, что любое полностью отделенное пространство полностью несвязно, но обратное неверно. Например, возьмем две копии рациональных чисел. $\mathbb {Q}$и идентифицируем их во всех точках, кроме нуля. Полученное пространство с фактортопологией полностью несвязно. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не полностью разделено. Фактически, это даже не Хаусдорф , а условие полной обособленности строго сильнее, чем условие бытия Хаусдорфом.

Примеры

• Закрытый интервал $[0,2)$в стандартном подпространстве топология связна; хотя его можно, например, записать как объединение $[0,1)$ и $[1,2),$ второй набор не открыт в выбранной топологии $[0,2).$
• Союз $[0,1)$ и $(1,2]$отключен; оба этих интервала открыты в стандартном топологическом пространстве. $[0,1)\cup (1,2].$
• $(0,1)\cup \{3\}$ отключен.
• подмножество Выпуклое ​ $\mathbb {R} ^{n}$подключен; на самом деле это просто связано .
• Евклидова плоскость без начала координат, $(0,0),$связано, но не просто связано. Трехмерное евклидово пространство без начала координат связно и даже односвязно. Напротив, одномерное евклидово пространство без начала координат не связно.
• Евклидова плоскость с удаленной прямой не является связной, так как состоит из двух полуплоскостей.
• $\mathbb {R}$, пространство действительных чисел с обычной топологией, связно.
• Линия Зоргенфри отключена.
• Если хотя бы одну точку удалить из $\mathbb {R}$, остаток отключен. Однако если из $\mathbb {R} ^{n}$, где $n\geq 2,$остаток подключен. Если $n\geq 3$, затем $\mathbb {R} ^{n}$ остается односвязным после удаления счетного числа точек.
• Любое топологическое векторное пространство , например любое гильбертово или банахово пространство , над связным полем (например, $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$), просто связен.
• Каждое дискретное топологическое пространство, содержащее хотя бы два элемента, несвязно, более того, такое пространство полностью несвязно . Простейшим примером является дискретное двухточечное пространство .
• С другой стороны, конечное множество может быть связным. Например, спектр кольца дискретного нормирования состоит из двух точек и связен. Это пример пространства Серпинского .
• полностью Множество Кантора несвязно; поскольку множество содержит несчетное количество точек, оно имеет несчетное количество компонент.
• Если пространство $X$ связному гомотопически эквивалентно пространству, то $X$ сам по себе связан.
• является Синусоидальная кривая тополога примером множества, которое связано, но не связано ни по пути, ни локально.
• Общая линейная группа $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ (то есть группа $n$-к- $n$вещественные обратимые матрицы) состоит из двух компонент связности: одна с матрицами положительного определителя, другая — с отрицательным определителем. В частности, он не связан. В отличие, $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$подключен. В более общем смысле, множество обратимых ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве связно.
• Спектры коммутативных локальных колец и областей целостности связаны. В более общем смысле следующие эквивалентны
  1. Спектр коммутативного кольца $R$ подключен
  2. Каждый конечно порожденный проективный модуль над $R$ имеет постоянный ранг.
  3. $R$ не имеет идемпотента $\neq 0,1$ (т.е. $R$ не является произведением двух колец нетривиальным образом).

Примером несвязного пространства является плоскость, из которой удалена бесконечная линия. Другие примеры несвязных пространств (то есть пространств, которые не связаны) включают плоскость с удаленным кольцом , а также объединение двух непересекающихся замкнутых дисков , где все примеры этого параграфа имеют топологию подпространства, индуцированную двумерной евклидовой космос.

Связность путей

Это подпространство R² связно по путям, поскольку между любыми двумя точками пространства можно провести путь.

А Пространство, связанное путями, — это более сильное понятие связности, требующее структуры пути. Путь из точки $x$ в точку $y$ в топологическом пространстве $X$ является непрерывной функцией $f$ из единичного интервала $[0,1]$ к $X$ с $f(0)=x$ и $f(1)=y$. А пути компонент $X$ является эквивалентности классом $X$ под отношением эквивалентности , которое делает $x$ эквивалентно $y$ если есть путь из $x$ к $y$. Космос $X$ называется линейно-связным (или траекторно-связным , или $\mathbf {0}$-connected ), если существует ровно один компонент пути. Для непустых пространств это эквивалентно утверждению, что существует путь, соединяющий любые две точки в $X$. Опять же, многие авторы исключают пустое пространство.

Каждое пространство, связанное путями, связно. Обратное не всегда верно: примеры связных пространств, не связанных по путям, включают расширенную длинную линию. $L^{*}$ и синусоидальная кривая тополога .

Подмножества реальной линии $\mathbb {R}$связаны тогда и только тогда, когда они связаны по путям; эти подмножества представляют собой интервалы и лучи $\mathbb {R}$. Кроме того, откройте подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {C} ^{n}$связаны тогда и только тогда, когда они связаны по путям. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечных топологических пространств .

Соединение дуги

Пространство $X$ называется дугосвязным или дугосвязным, если любые две топологически различимые точки можно соединить дугой , что является вложением $f:[0,1]\to X$. Дуговая составляющая ​ $X$ является максимальным дугосвязным подмножеством $X$; или, что то же самое, класс эквивалентности отношения эквивалентности, определяющий, могут ли две точки быть соединены дугой или путем, точки которого топологически неразличимы.

Каждое хаусдорфово пространство , линейно связное, также является связным по дугам; в более общем плане это справедливо для $\Delta$-Хаусдорфово пространство , представляющее собой пространство, в котором каждое изображение пути замкнуто . Примером пространства, связного по путям, но не связного по дуге, является линия с двумя началами ; две его копии $0$ могут быть соединены путем, но не дугой.

Интуитивное представление о пространствах с линейной связностью нелегко перенести на пространства с дуговой связностью. Позволять $X$быть линией с двумя началами . Ниже приведены факты, аналоги которых справедливы для линейно-связных пространств, но не справедливы для дугосвязных пространств:

• Непрерывный образ дугосвязного пространства может быть не дугосвязным: например, фактор-отображение дугосвязного пространства в его фактор со счетным числом (не менее 2) топологически различимых точек не может быть дугосвязным из-за слишком малой мощности. .
• Компоненты дуги не могут быть непересекающимися. Например, $X$ имеет две перекрывающиеся дуговые компоненты.
• Пространство дугосвязного продукта не может быть продуктом пространств дуговой связности. Например, $X\times \mathbb {R}$ является дугосвязанным, но $X$ не является.
• Дуги-компоненты пространства-произведения не могут быть произведениями дуг-компонентов маргинальных пространств. Например, $X\times \mathbb {R}$ имеет одну дуговую составляющую, но $X$ имеет две дуговые компоненты.
• Если дугосвязные подмножества имеют непустое пересечение, то их объединение не может быть дугосвязным. Например, дуговые компоненты $X$ пересекаются, но их объединение не дугосвязно.

Местная связность

Основная статья: Локально связанное пространство

Говорят, что топологическое пространство локально связно в точке. $x$ если каждая окрестность $x$содержит связную открытую окрестность. Оно локально связно , если имеет базу связных множеств. Можно показать, что пространство $X$ локально связна тогда и только тогда, когда каждая компонента любого открытого множества $X$ открыт.

Аналогично, топологическое пространство называется локально связен по путям, если он имеет базу множеств, связанных по путям. Открытое подмножество локально линейно связного пространства связно тогда и только тогда, когда оно линейно связно. Это обобщает ранее сделанное утверждение о $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {C} ^{n}$, каждый из которых локально связан по пути. В более общем смысле любое топологическое многообразие локально линейно связно.

Синусоидальная кривая тополога связна, но не локально связна.

Локальное соединение не означает соединение, а локальное соединение по пути не подразумевает соединение по пути. Простым примером локально связного (и локально линейно связного) пространства, которое не является связным (или линейно связным), является объединение двух разделенных интервалов в $\mathbb {R}$, такой как $(0,1)\cup (2,3)$.

Классическим примером связного пространства, которое не является локально связным, является так называемая синусоидальная кривая тополога , определяемая как $T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}$, с евклидовой топологией , индуцированной включением в $\mathbb {R} ^{2}$.

Установить операции

Примеры объединений и пересечений связных множеств

Пересечение связных множеств не обязательно связно.

Объединение рассмотрев связных множеств не обязательно связно, в чем можно убедиться, $X=(0,1)\cup (1,2)$.

Каждый эллипс представляет собой связное множество, но объединение не связно, поскольку его можно разбить на два непересекающихся открытых множества. $U$ и $V$.

Это означает, что если союз $X$ отключен, то сбор $\{X_{i}\}$ могут быть разделены на две подколлекции, так что объединения подколлекций не пересекаются и открыты в $X$(см. картинку). Это означает, что в ряде случаев объединение связных множеств обязательно связно . В частности:

1. Если общее пересечение всех множеств не пусто ( ${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$), то, очевидно, их нельзя разбить на коллекции с непересекающимися объединениями . Следовательно, объединение связных множеств с непустым пересечением связно.
2. Если пересечение каждой пары множеств не пусто ( $\forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset$) то опять-таки их нельзя разбить на коллекции с непересекающимися объединениями, поэтому их объединение должно быть связным.
3. Если множества можно упорядочить как «связанную цепочку», т. е. проиндексировать целочисленными индексами и $\forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset$, то опять же их объединение должно быть связным.
4. Если множества попарно не пересекаются и фактор-пространство $X/\{X_{i}\}$связно, то X должно быть связно. В противном случае, если $U\cup V$ является разделением X , то $q(U)\cup q(V)$ является разделением факторпространства (поскольку $q(U),q(V)$ непересекающиеся и открытые в факторпространстве).

Разность множеств связных множеств не обязательно связна. Однако, если $X\supseteq Y$ и их разница $X\setminus Y$ несвязно (и, следовательно, может быть записано как объединение двух открытых множеств $X_{1}$ и $X_{2}$), то объединение $Y$ с каждым таким компонентом связано (т.е. $Y\cup X_{i}$ подключен для всех $i$).

Доказательство

От противного предположим $Y\cup X_{1}$не подключен. Поэтому его можно записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, например $Y\cup X_{1}=Z_{1}\cup Z_{2}$. Потому что $Y$ связан, то он должен целиком содержаться в одном из этих компонентов, скажем $Z_{1}$, и поэтому $Z_{2}$ содержится в $X_{1}$. Теперь мы знаем, что:

$$X=\left(Y\cup X_{1}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup Z_{2}\right)\cup X_{2}=\left(Z_{1}\cup X_{2}\right)\cup \left(Z_{2}\cap X_{1}\right)$$

Два множества в последнем объединении не пересекаются и открыты в $X$, поэтому происходит разделение $X$, что противоречит тому факту, что $X$ подключен.

Два связных множества, разность которых не связна

Теоремы

• Основная теорема связности : Пусть $X$ и $Y$ — топологические пространства и пусть $f:X\rightarrow Y$быть непрерывной функцией. Если $X$ связано (путем), то изображение $f(X)$(путем)связен. Этот результат можно считать обобщением теоремы о промежуточном значении .
• Каждое пространство, связанное путями, связно.
• В локально связном пространстве каждое открытое связное множество является линейно связным.
• Каждое локально связное пространство является локально связным.
• Локально линейно связное пространство является линейно связным тогда и только тогда, когда оно связно.
• Замыкание . связного подмножества связно Более того, любое подмножество между связным подмножеством и его замыканием связно.
• Подключенные компоненты всегда закрыты (но, как правило, не открыты).
• Открыты и связные компоненты локально связного пространства.
• Компоненты связности пространства представляют собой непересекающиеся объединения компонент линейной связности (которые, вообще говоря, не являются ни открытыми, ни замкнутыми).
• Каждое частное связного (соответственно локально связного, линейно связного, локально линейно связного) пространства связно (соответственно локально связно, линейно связно, локально линейно связно).
• Всякое произведение семейства связных (соответственно линейно-связных) пространств связно (соответственно линейно-связно).
• Каждое открытое подмножество локально связного (соответственно локально связного) пространства является локально связным (соответственно локально связным).
• Каждое многообразие локально линейно связно.
• Пространство, связанное по дуге, соединено по путям, но пространство, связанное по путям, не может быть соединено по дуге.
• Непрерывное изображение дугообразно связного множества является дугообразно связным.

Графики

Графы имеют подмножества, соединенные путями, а именно те подмножества, для которых каждая пара точек имеет соединяющий их путь ребер. Но не всегда на множестве точек можно найти топологию, индуцирующую одни и те же связные множества. Граф пяти циклов (и любой $n$-цикл с $n>3$ странно) является одним из таких примеров.

Как следствие, понятие связности может быть сформулировано независимо от топологии пространства. А именно, существует категория связных пространств, состоящая из множеств с наборами связных подмножеств, удовлетворяющих аксиомам связности; их морфизмы — это функции, которые отображают связные множества в связные множества ( Muscat & Buhagiar 2006 ). Топологические пространства и графы являются частными случаями пространств связности; действительно, конечные связные пространства являются в точности конечными графами.

Однако каждый граф можно канонически превратить в топологическое пространство, рассматривая вершины как точки, а ребра как копии единичного интервала (см. топологическую теорию графов#Графы как топологические пространства ). Тогда можно показать, что граф связен (в теоретическом смысле графов) тогда и только тогда, когда он связен как топологическое пространство.

связности

Существуют более сильные формы связности топологических пространств , например:

• Если в топологическом пространстве не существует двух непересекающихся непустых открытых множеств $X$, $X$ должны быть связны, и, следовательно, гиперсвязные пространства также связны.
• Поскольку односвязное пространство по определению также должно быть связным по путям, любое односвязное пространство также является связным. Если требование «путевой связности» исключено из определения простой связности, односвязное пространство не обязательно должно быть связным.
• Еще более сильные версии связности включают понятие сжимаемого пространства . Каждое сжимаемое пространство связно путями и, следовательно, также связно.

В общем, любое пространство, связанное путями, должно быть связным, но существуют связные пространства, которые не связаны путями. Таким примером является удаленное гребенчатое пространство , а также вышеупомянутая синусоидальная кривая тополога .

См. также

• Связный компонент (теория графов) — максимальный подграф, вершины которого могут достигать друг друга. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Локус связности
• Область (математический анализ) - Связное открытое подмножество топологического пространства.
• Экстремально несвязное пространство - топологическое пространство, в котором замыкание каждого открытого множества открыто.
• Локально связное пространство - Свойство топологических пространств.
• n -связный
• Равномерно связное пространство - Тип однородного пространства.
• Возможность подключения пикселей

Дальнейшее чтение

• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология, второе издание . Прентис Холл. ISBN  0-13-181629-2 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Связное множество» . Математический мир .
• В.И. Малыхин (2001) [1994], «Связное пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Маскат, Дж; Бухагиар, Д. (2006). «Соединительные пространства» (PDF) . Память Фак. наук. англ. Университет Симанэ, Серия B: Математика. наук . 39 : 1–13. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 17 мая 2010 г. .