Факторпространство (топология)

Чтобы узнать о фактор-пространствах в линейной алгебре, см. фактор-пространство (линейная алгебра) .

Иллюстрация построения топологической сферы как факторпространства диска путем склейки в одну точку точек (отмечены синим цветом) границы диска.

В топологии и смежных областях математики фактор -пространство топологического пространства при заданном отношении эквивалентности — это новое топологическое пространство, построенное путем наделения фактор-множества исходного топологического пространства фактор -топологией , то есть тончайшей топологией , которая делает непрерывна каноническая проекция (функция, отображающая точки на их классы эквивалентности ). Другими словами, подмножество факторпространства открыто тогда и только тогда, когда его прообраз при каноническом отображении проекции открыт в исходном топологическом пространстве.

Интуитивно говоря, точки каждого класса эквивалентности идентифицируются или «склеиваются» для формирования нового топологического пространства. Например, идентификация точек сферы , принадлежащих одному и тому же диаметру, создает проективную плоскость как факторпространство.

Определение

Позволять $X$ — топологическое пространство , и пусть $\sim$ быть отношением эквивалентности на $X.$ Набор факторов $Y=X/{\sim }$ – множество классов эквивалентности элементов $X.$ Класс эквивалентности $x\in X$ обозначается $[x].$

Строительство $Y$ определяет каноническую сюръекцию ${\textstyle q:X\ni x\mapsto [x]\in Y.}$ Как обсуждается ниже, $q$ представляет собой фактор-отображение, обычно называемое каноническим фактор-отображением или канонической картой проекции, связанное с $X/{\sim }.$

Факторпространство ​ под $\sim$ это набор $Y$ оснащен фактор-топологией , открытыми множествами которой являются те подмножества ${\textstyle U\subseteq Y}$ чей прообраз $q^{-1}(U)$ открыт ​ . Другими словами, $U$ открыт в фактортопологии на $X/{\sim }$ тогда и только тогда, когда ${\textstyle \{x\in X:[x]\in U\}}$ открыт в $X.$ Аналогично, подмножество $S\subseteq Y$ закрыто когда тогда и только тогда, $\{x\in X:[x]\in S\}$ закрыт в $X.$

Фактортопология - это окончательная топология фактормножества по отношению к отображению $x\mapsto [x].$

Карта коэффициентов

Карта $f:X\to Y$ представляет собой факторкарту (иногда называемую идентификационной картой ), если оно сюръективно и $Y$ оснащен окончательной топологией, индуцированной $f.$ Последнее условие допускает две более элементарные формулировки: подмножество $V\subseteq Y$ открыт (закрыт) тогда и только тогда, когда $f^{-1}(V)$ открыт (соответственно закрыт). Любое фактор-отображение является непрерывным, но не всякое непрерывное отображение является фактор-отображением.

Насыщенные наборы

Подмножество $S$ из $X$ называется насыщенным (по отношению к $f$), если оно имеет вид $S=f^{-1}(T)$ для какого-то набора $T,$ что верно тогда и только тогда, когда $f^{-1}(f(S))=S.$Задание $T\mapsto f^{-1}(T)$ устанавливает взаимно однозначное соответствие (обратное которому является $S\mapsto f(S)$) между подмножествами $T$ из $Y=f(X)$ и насыщенные подмножества $X.$ В этой терминологии сюръекция $f:X\to Y$ является фактор-отображением тогда и только тогда, когда для любого насыщенного подмножества $S$ из $X,$ $S$ открыт в $X$ тогда и только тогда, когда $f(S)$ открыт в $Y.$ В частности, открытые подмножества $X$ которые не являются насыщенными, не влияют на то, будет ли функция $f$ является фактор-отображением (или, более того, непрерывным: функцией $f:X\to Y$ непрерывен тогда и только тогда, когда для любого насыщенного ${\textstyle S\subseteq X}$ такой, что $f(S)$ открыт в ${\textstyle f(X)}$, набор $S$ открыт в ${\textstyle X}$).

Действительно, если $\tau$ это топология на $X$ и $f:X\to Y$ — любая карта, то множество $\tau _{f}$ из всех $U\in \tau$ которые являются насыщенными подмножествами $X$ образует топологию на $X.$ Если $Y$ также является топологическим пространством, тогда $f:(X,\tau )\to Y$ является фактор-отображением (соответственно непрерывным ) тогда и только тогда, когда то же самое верно для $f:\left(X,\tau _{f}\right)\to Y.$

Факторпространство характеристик волокон

Учитывая отношение эквивалентности $\,\sim \,$ на $X,$ обозначим класс эквивалентности точки $x\in X$ к $[x]:=\{z\in X:z\sim x\}$ и пусть $X/{\sim }:=\{[x]:x\in X\}$ обозначают множество классов эквивалентности. Карта $q:X\to X/{\sim }$ который отправляет точки в их классы эквивалентности (то есть он определяется формулой $q(x):=[x]$ для каждого $x\in X$) называется каноническим отображением . Это сюръективная карта и для всех $a,b\in X,$ $a\,\sim \,b$ тогда и только тогда, когда $q(a)=q(b);$ следовательно, $q(x)=q^{-1}(q(x))$ для всех $x\in X.$ В частности, это показывает, что множество класса эквивалентности $X/{\sim }$ есть в точности множество слоев канонического отображения $q.$Если $X$ является топологическим пространством, тогда дающим $X/{\sim }$ фактортопология, индуцированная $q$ превратит его в факторпространство и сделает $q:X\to X/{\sim }$ в факторкарту. С точностью до гомеоморфизма ; эта конструкция является представителем всех факторпространств точный смысл этого теперь объяснен.

Позволять $f:X\to Y$ быть сюръекцией между топологическими пространствами (еще не предполагаемыми как непрерывные или факторотображения) и объявить для всех $a,b\in X$ что $a\,\sim \,b$ тогда и только тогда, когда $f(a)=f(b).$ Затем $\,\sim \,$ является отношением эквивалентности на $X$ такой, что для каждого $x\in X,$ $[x]=f^{-1}(f(x)),$ что подразумевает, что $f([x])$ (определено $f([x])=\{\,f(z)\,:z\in [x]\}$) представляет собой одноэлементный набор ; обозначают уникальный элемент в $f([x])$ к ${\hat {f}}([x])$ (поэтому по определению $f([x])=\{\,{\hat {f}}([x])\,\}$). Задание $[x]\mapsto {\hat {f}}([x])$ определяет биекцию ${\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y$ между волокнами $f$ и указывает на $Y.$ Определите карту $q:X\to X/{\sim }$ как указано выше (по $q(x):=[x]$) и дать $X/{\sim }$ фактортопология, индуцированная $q$ (что делает $q$ факторкарта). Эти карты связаны:

$$f={\hat {f}}\circ q\quad {\text{ and }}\quad q={\hat {f}}^{-1}\circ f.$$

Из этого и того факта, что $q:X\to X/{\sim }$ является фактор-отображением, отсюда следует, что $f:X\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда это верно для ${\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y.$ Более того, $f:X\to Y$ является фактор-отображением тогда и только тогда, когда ${\hat {f}}:X/{\sim }\;\to \;Y$ является гомеоморфизмом (или, что то же самое, тогда и только тогда, когда оба ${\hat {f}}$ и обратное ему непрерывны).

Связанные определения

А наследственно факторкарта является сюръективной картой $f:X\to Y$ со свойством, что для каждого подмножества $T\subseteq Y,$ ограничение $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$ также является факторкартой. Существуют фактор-отображения, которые не являются наследственно фактор-отображенными.

Примеры

• Склеивание . Топологи говорят о склеивании точек. Если $X$ является топологическим пространством, склеивающим точки $x$ и $y$ в $X$ означает рассмотрение фактор-пространства, полученного из отношения эквивалентности $a\sim b$ тогда и только тогда, когда $a=b$ или $a=x,b=y$ (или $a=y,b=x$).
• Рассмотрим единичный квадрат $I^{2}=[0,1]\times [0,1]$ и отношение эквивалентности ~, порожденное требованием, чтобы все граничные точки были эквивалентны, таким образом отождествляя все граничные точки с одним классом эквивалентности. Затем $I^{2}/\sim$ гомеоморфна ​ сфере ​ $S^{2}.$

Например, $[0,1]/\{0,1\}$ гомеоморфен окружности $S^{1}.$

• Примыкающее пространство . В более общем плане, предположим $X$ это пространство и $A$ является подпространством ​ $X.$ Можно определить все точки $A$ к одному классу эквивалентности и оставлять точки за пределами $A$ эквивалентны только себе. Полученное факторпространство обозначается $X/A.$ Тогда 2-сфера гомеоморфна замкнутому диску , граница которого отождествляется с одной точкой: $D^{2}/\partial {D^{2}}.$
• Рассмотрим набор $\mathbb {R}$ действительных чисел с обычной топологией и запишите $x\sim y$ тогда и только тогда, когда $x-y$ является целым числом . Тогда факторпространство $X/{\sim }$ гомеоморфен ​ единичному кругу $S^{1}$ через гомеоморфизм, который отправляет класс эквивалентности $x$ к $\exp(2\pi ix).$
• Обобщением предыдущего примера является следующее: предположим, что топологическая группа $G$ действует непрерывно в пространстве $X.$ Можно образовать отношение эквивалентности на $X$ говоря, что точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат на одной и той же орбите . Факторпространство по этому отношению называется пространством орбит и обозначается $X/G.$ В предыдущем примере $G=\mathbb {Z}$ действует на $\mathbb {R}$ путем перевода. Орбитальное пространство $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ гомеоморфен $S^{1}.$
  • Примечание : Обозначения $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ несколько двусмысленно. Если $\mathbb {Z}$ понимается группа, действующая $\mathbb {R}$ путем сложения, то частное будет кругом. Однако, если $\mathbb {Z}$ рассматривается как топологическое подпространство $\mathbb {R}$ (которая идентифицируется как одна точка), то частное $\{\mathbb {Z} \}\cup \{\,\{r\}:r\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \}$ (которое отождествляется с множеством $\{\mathbb {Z} \}\cup (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} )$) — счетный бесконечный букет окружностей, соединённых в одной точке. $\mathbb {Z} .$
• Следующий пример показывает, что в целом неверно , что если $q:X\to Y$ является фактор-отображением, то каждая сходящаяся последовательность (соответственно каждая сходящаяся сеть ) в $Y$ есть лифт (по $q$) к сходящейся последовательности (или сходящейся сети ) в $X.$ Позволять $X=[0,1]$ и $\,\sim ~=~\{\,\{0,1\}\,\}~\cup ~\left\{\{x\}:x\in (0,1)\,\right\}.$ Позволять $Y:=X/{\sim }$ и пусть $q:X\to X/{\sim }$ быть факторкартой $q(x):=[x],$ так что $q(0)=q(1)=\{0,1\}$ и $q(x)=\{x\}$ для каждого $x\in (0,1).$ Карта $h:X/{\sim }\to S^{1}\subseteq \mathbb {C}$ определяется $h([x]):=e^{2\pi ix}$ четко определен (поскольку $e^{2\pi i(0)}=1=e^{2\pi i(1)}$) и гомеоморфизм . Позволять $I=\mathbb {N}$ и пусть $a_{\bullet }:=\left(a_{i}\right)_{i\in I}{\text{ and }}b_{\bullet }:=\left(b_{i}\right)_{i\in I}$ быть любыми последовательностями (или, в более общем смысле, любыми сетями), оцененными в $(0,1)$ такой, что $a_{\bullet }\to 0{\text{ and }}b_{\bullet }\to 1$ в $X=[0,1].$ Тогда последовательность
  $$y_{1}:=q\left(a_{1}\right),y_{2}:=q\left(b_{1}\right),y_{3}:=q\left(a_{2}\right),y_{4}:=q\left(b_{2}\right),\ldots$$
  сходится к $[0]=[1]$ в $X/{\sim }$ но не существует сходящегося подъема этой последовательности фактор-отображением $q$ (то есть нет последовательности $s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}$ в $X$ что оба сходятся к некоторому $x\in X$ и удовлетворяет $y_{i}=q\left(s_{i}\right)$ для каждого $i\in I$). Этот контрпример можно обобщить на сети, полагая $(A,\leq )$ быть любым направленным множеством и сделать $I:=A\times \{1,2\}$ в сеть, объявив, что для любого $(a,m),(b,n)\in I,$ $(m,a)\;\leq \;(n,b)$ выполняется тогда и только тогда, когда оба (1) $a\leq b,$ и (2) если $a=b{\text{ then }}m\leq n;$ тогда $A$-индексированная сеть, определяемая разрешением $y_{(a,m)}$ равный $a_{i}{\text{ if }}m=1$ и равен $b_{i}{\text{ if }}m=2$ не имеет лифта (по $q$) к сходящейся $A$-индексированная сеть в $X=[0,1].$

Свойства

Коэффициентные карты $q:X\to Y$ среди сюръективных отображений характеризуются следующим свойством: если $Z$ любое топологическое пространство и $f:Y\to Z$ любая функция, то $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда $f\circ q$ является непрерывным.

Characteristic property of the quotient topology

Факторпространство $X/{\sim }$ вместе с факторкартой $q:X\to X/{\sim }$ характеризуется следующим универсальным свойством : если $g:X\to Z$ является непрерывным отображением таким, что $a\sim b$ подразумевает $g(a)=g(b)$ для всех $a,b\in X,$ то существует единственное непрерывное отображение $f:X/{\sim }\to Z$ такой, что $g=f\circ q.$ Другими словами, следующая диаграмма коммутирует:

Один говорит, что $g$ для выражения этого сводится к фактору , то есть факторизуется через факторпространство. Непрерывные отображения, определенные на $X/{\sim }$ являются, следовательно, именно теми отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определенных на $X$ которые соблюдают отношение эквивалентности (в том смысле, что они отправляют эквивалентные элементы в одно и то же изображение). Этот критерий широко используется при изучении факторпространств.

Учитывая непрерывную сюръекцию $q:X\to Y$ полезно иметь критерии, по которым можно определить, $q$ является факторкартой. Два достаточных критерия заключаются в том, что $q$ быть открытым или закрытым . Обратите внимание, что эти условия являются лишь достаточными , но не необходимыми . Легко построить примеры фактор-отображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп факторкарта открыта.

с другими

Разделение

• В общем, факторпространства плохо себя ведут по отношению к аксиомам разделения. Разделительные свойства $X$ не обязательно должен быть унаследован $X/{\sim }$ и $X/{\sim }$ могут иметь свойства разделения, не присущие $X.$
• $X/{\sim }$ является пространством T1 тогда и только тогда, когда каждый класс эквивалентности $\,\sim \,$ закрыт в $X.$
• Если факторное отображение открыто , то $X/{\sim }$ является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда ~ — замкнутое подмножество пространства произведений $X\times X.$

Связность

• Если пространство связно или путь связан , то таковы и все его факторпространства.
• Факторпространство односвязного или сжимаемого пространства не обязательно должно обладать этими свойствами.

Компактность

• Если пространство компактно, то компактны и все его факторпространства.
• Факторпространство локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным.

Измерение

• Топологическая размерность факторпространства может быть больше (или меньше), чем размерность исходного пространства; Кривые, заполняющие пространство, служат такими примерами.

См. также

Топология

• Пространство покрытия - тип непрерывной карты в топологии.
• Непересекающееся объединение (топология) - пространство, образованное путем оснащения непересекающегося объединения базовых множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Окончательная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.
• Картографический конус (топология) – топологическая конструкция. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Пространство продукта — топология декартовых произведений топологических пространств. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Подпространство (топология) — страницы унаследованной топологии, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Топологическое пространство - Математическое пространство с понятием близости.

Алгебра

• Категория фактора
• Факторная группа - группа, полученная путем агрегирования аналогичных элементов более крупной группы.
• Факторпространство (линейная алгебра) - векторное пространство, состоящее из аффинных подмножеств.
• Конус отображения (гомологическая алгебра) - инструмент в гомологической алгебре.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64563-4 . ОСЛК   246032063 .
• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды , Booksurge, ISBN  1-4196-2722-8
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-90972-1 . ОСЛК   10277303 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90125-1 . ОСЛК   338047 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли . ISBN  0-486-43479-6 .