Категория фактора

Чтобы узнать о факторе абелевой категории по подкатегории Серра , см. фактор абелевой категории .

В математике фактор - категория — это категория, полученная из другой категории путем идентификации наборов морфизмов . Формально это факторобъект в категории (локально малых) категорий , аналог факторгруппы или факторпространства , но в категориальной настройке.

Определение

Пусть C — категория. Отношение конгруэнтности R на C задается следующим образом: для каждой пары объектов X , Y в C , отношение эквивалентности R _{X , Y} на Hom( X , Y ), такое, что отношения эквивалентности соблюдают композицию морфизмов. То есть, если

$f_{1},f_{2}:X\to Y\,$

связаны в Hom( X , Y ) и

$g_{1},g_{2}:Y\to Z\,$

связаны в Hom( Y , Z ), то g ₁ f ₁ и g ₂ f ₂ связаны в Hom( X , Z ).

Учитывая отношение конгруэнтности R на C, мы можем определить фактор-категорию C / R как категорию, объекты которой являются объектами C и чьи морфизмы являются классами эквивалентности морфизмов в C . То есть,

$\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}/R}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)/R_{X,Y}.$

Композиция морфизмов в C / R поскольку корректно определена, R является отношением конгруэнтности.

Свойства

Существует естественный фактор -функтор из C в C / R , который переводит каждый морфизм в его класс эквивалентности. Этот функтор биективен на объектах и ​​сюръективен на Hom-множествах (т.е. является полным функтором ).

Каждый функтор F : C → D определяет сравнение на C , говоря, что f ~ g тогда и только тогда, когда F ( f ) = F ( g ). Затем функтор F факторизуется через фактор-функтор C → C /~ единственным образом. Это можно рассматривать как « первую теорему об изоморфизме » категорий.

Примеры

• Моноиды и группы можно рассматривать как категории с одним объектом. В этом случае фактор-категория совпадает с понятием фактор-моноида или фактор-группы .
• Гомотопическая категория топологических пространств hTop является фактор-категорией Top , категории топологических пространств . Классы эквивалентности морфизмов являются гомотопическими классами непрерывных отображений.
• Пусть k — поле , и рассмотрим абелеву категорию Mod( k ) всех векторных пространств над k с k -линейными отображениями в качестве морфизмов. Чтобы «убить» все конечномерные пространства, мы можем назвать два линейных отображения f , g : X → Y конгруэнтными тогда и только тогда, когда их разность имеет конечномерный образ. В полученной фактор-категории все конечномерные векторные пространства изоморфны 0. [На самом деле это пример фактора аддитивных категорий, см. ниже.]

Связанные понятия

Частные аддитивных категорий

Если C является аддитивной категорией и мы требуем, чтобы отношение сравнения ~ на C было аддитивным (т.е. если f ₁ , f ₂ , g ₁ и g ₂ являются морфизмами из X в Y с f ₁ ~ f ₂ и g ₁ ~ g ₂ , то f ₁ + g ₁ ~ f ₂ + g ₂ ), то фактор-категория C /~ также будет аддитивной, а фактор-функтор C → C /~ будет аддитивным функтором.

Понятие аддитивного отношения конгруэнтности эквивалентно понятию двустороннего идеала морфизмов : для любых двух объектов X и Y задана аддитивная подгруппа I ( X , Y ) группы Hom _C ( X , Y ) такая, что для всех f € I ( X , Y ), g € Hom _C ( Y , Z ) и h € Hom _C ( W , X ), мы имеем gf € I ( X , Z ) и fh € I ( W , Y ) . Два морфизма в Hom _C ( X , Y ) конгруэнтны тогда и только тогда, когда их различие находится в I ( X , Y ).

Каждое кольцо с единицей можно рассматривать как аддитивную категорию с единственным объектом, и фактор аддитивных категорий, определенных выше, совпадает в этом случае с понятием факторкольца по модулю двустороннего идеала.

Локализация категории

Локализация категории вводит новые морфизмы, превращающие некоторые морфизмы исходной категории в изоморфизмы. Это имеет тенденцию увеличивать количество морфизмов между объектами, а не уменьшать его, как в случае фактор-категорий. Но в обеих конструкциях часто случается, что изоморфными становятся два объекта, которые не были изоморфны в исходной категории.

категорий

Фактор Серра по абелевой категории подкатегории Серра — новая абелева категория, подобная фактор-категории, но также во многих случаях имеющая характер локализации категории.

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (Второе изд.). Спрингер-Верлаг.