Бикатегория

В математике бикатегория для обработки случаев, когда (или слабая 2-категория ) — это концепция теории категорий, используемая для расширения понятия категории композиция морфизмов не (строго) ассоциативна , а ассоциативна только с до изоморфизма точностью . Это понятие было введено в 1967 году Жаном Бенабу .

Бикатегории можно рассматривать как ослабление определения 2-категорий . Аналогичный процесс для 3-категорий приводит к трикатегориям и, в более общем плане, к слабым n -категориям для n -категорий .

Определение [ править ]

Формально бикатегория B состоит из:

объекты a , b ,... называемые 0- ячейками ;
морфизмы f , g , ... с фиксированными исходными и целевыми объектами, называемыми 1- клетками ;
«морфизмы между морфизмами» ρ, σ, ... с фиксированными морфизмами источника и цели (которые должны иметь один и тот же источник и одну и ту же цель), называемые 2- ячейками ;

с еще некоторой структурой:

для данных двух объектов a и b существует категория B ( a , b ), объектами которой являются 1-клетки, а морфизмами - 2-клетки. Композиция в этой категории называется вертикальной композицией ;
учитывая три объекта a , b и c , существует бифунктор $*:\mathbf {B} (b,c)\times \mathbf {B} (a,b)\to \mathbf {B} (a,c)$ называется горизонтальной композицией .

Горизонтальная композиция должна быть ассоциативной с точностью до естественного изоморфизма α между морфизмами $h*(g*f)$ и $(h*g)*f$ . еще несколько аксиом связности , аналогичных тем, которые необходимы для моноидальных категорий Кроме того, необходимо соблюдать : моноидальная категория — это то же самое, что бикатегория с одной 0-ячейкой.

Пример: Булева моноидальная категория [ править ]

Рассмотрим простую моноидальную категорию , такую как моноидальный предпорядок Bool ^[1] на основе моноида M = ({T, F}, ∧ , T). Как категория она представлена двумя объектами {T, F} и одним морфизмом g : F → T.

Мы можем интерпретировать этот моноид как бикатегорию с одним объектом x (одна 0-ячейка); эта конструкция аналогична построению малой категории из моноида. Объекты {T, F} становятся морфизмами, а морфизм g становится естественным преобразованием (образующим функторную категорию для единственной hom-категории B ( x , x )).

Ссылки [ править ]

^ Фонг, Брендан; Спивак, Дэвид И. (12 октября 2018 г.). «Семь очерков композиционности: приглашение к прикладной теории категорий». arXiv : 1803.05316 [ мат.CT ].

Ж. Бенабу. «Введение в бикатегории, часть I». В отчетах семинара по категории Среднего Запада , Конспекты лекций по математике 47, страницы 1–77. Спрингер, 1967 год.