Категория запятой

В математике категория запятой (частный случай — категория среза ) является конструкцией теории категорий . Он обеспечивает другой способ взглянуть на морфизмы : вместо того, чтобы просто связывать объекты категории друг с другом, морфизмы становятся самостоятельными объектами. Это понятие было введено в 1963 году Ф. В. Ловером (Lawvere, 1963, стр. 36), хотя данная методика не использовалась. ^{[ нужна ссылка ]} стали широко известны лишь много лет спустя. Некоторые математические понятия можно рассматривать как категории через запятую. Категории с запятыми также гарантируют существование некоторых пределов и копределов . Название происходит от обозначения, первоначально использованного Ловером, в котором использовалась запятая . Название сохранилось, хотя стандартные обозначения изменились, поскольку использование запятой в качестве оператора потенциально может сбить с толку, и даже Ловеру не нравится неинформативный термин «категория запятой» (Lawvere, 1963, стр. 13).

Определение [ править ]

Наиболее общая конструкция категории запятой включает два функтора с одной и той же кодовой областью. Часто один из них будет иметь домен 1 (категория одного объекта и одного морфизма). Некоторые теории теории категорий рассматривают только эти частные случаи, но термин «категория с запятой» на самом деле гораздо более общий.

Общая форма [ править ]

Предположим, что ${\mathcal {A}}$ , ${\mathcal {B}}$ , и ${\mathcal {C}}$ являются категориями и $S$ и $T$ (для источника и цели) являются функторами :

${\mathcal {A}}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal {C}}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal {B}}$

Мы можем сформировать категорию запятой $(S\downarrow T)$ следующее:

Все объекты тройные. $(A,B,h)$ с $A$ объект в ${\mathcal {A}}$ , $B$ объект в ${\mathcal {B}}$ , и $h:S(A)\rightarrow T(B)$ морфизм в ${\mathcal {C}}$ .
Морфизмы из $(A,B,h)$ к $(A',B',h')$ все пары $(f,g)$ где $f:A\rightarrow A'$ и $g:B\rightarrow B'$ являются морфизмами в ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ соответственно, так что следующая диаграмма коммутирует :

Морфизмы составляются путем взятия $(f',g')\circ (f,g)$ быть $(f'\circ f,g'\circ g)$ , всякий раз, когда определено последнее выражение. Тождественный морфизм объекта $(A,B,h)$ является $(\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})$ .

Категория фрагмента [ править ]

Первый частный случай имеет место, когда ${\mathcal {C}}={\mathcal {A}}$ , функтор $S$ является тождественным функтором , и ${\mathcal {B}}={\textbf {1}}$ (категория с одним объектом $*$ и один морфизм). Затем $T(*)=A_{*}$ для какого-то объекта $A_{*}$ в ${\mathcal {A}}$ .

${\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {A}}\;\;} {\mathcal {A}}\xleftarrow {\;\;A_{*}\;\;} {\textbf {1}}$

В данном случае запятая пишется категория $({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})$ и часто называется среза категорией $A_{*}$ или категория объектов над $A_{*}$ . Объекты $(A,*,h)$ можно упростить до пар $(A,h)$ , где $h:A\rightarrow A_{*}$ . Иногда, $h$ обозначается $\pi _{A}$ . Морфизм $(f,\mathrm {id} _{*})$ от $(A,\pi _{A})$ к $(A',\pi _{A'})$ в категории среза можно затем упростить до стрелки $f:A\rightarrow A'$ делая коммутирующую следующую диаграмму:

Категория Кослице [ править ]

Двойственной концепции категории среза является категория коссуса. Здесь, ${\mathcal {C}}={\mathcal {B}}$ , $S$ есть домен ${\textbf {1}}$ и $T$ является тождественным функтором.

${\textbf {1}}\xrightarrow {\;\;B_{*}\;\;} {\mathcal {B}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {B}}\;\;} {\mathcal {B}}$

В этом случае часто пишется категория с запятой $(B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})$ , где $B_{*}=S(*)$ является объектом ${\mathcal {B}}$ выбранный $S$ . Она называется категорией кослисов по отношению к $B_{*}$ , или категория объектов под $B_{*}$ . Объекты представляют собой пары. $(B,\iota _{B})$ с $\iota _{B}:B_{*}\rightarrow B$ . Данный $(B,\iota _{B})$ и $(B',\iota _{B'})$ , морфизм в категории кослиссов — это отображение $g:B\rightarrow B'$ делая коммутирующую следующую диаграмму:

Категория стрелки [ править ]

$S$ и $T$ являются тождественными функторами на ${\mathcal {C}}$ (так ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$ ).

${\mathcal {C}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}$

В данном случае категория запятой — это категория стрелки. ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$ . Его объектами являются морфизмы ${\mathcal {C}}$ , а его морфизмы являются коммутирующими квадратами в ${\mathcal {C}}$ . ^[1]

Другие варианты [ править ]

В случае категории среза или коссуса тождественный функтор может быть заменен каким-либо другим функтором; это дает семейство категорий, особенно полезное при изучении сопряженных функторов . Например, если $T$ - это функтор забывчивости, отображающий абелеву группу в ее базовый набор , и $s$ — некоторое фиксированное множество (рассматриваемое как функтор из 1 ), то категория с запятой $(s\downarrow T)$ имеет объекты, которые являются картами из $s$ набору, лежащему в основе группы. Это относится к левому сопряжению $T$ , который представляет собой функтор, отображающий набор в свободную абелеву группу, имеющую этот набор в качестве своей основы. В частности, первоначальный объект $(s\downarrow T)$ это каноническая инъекция $s\rightarrow T(G)$ , где $G$ это свободная группа, порожденная $s$ .

Объект $(s\downarrow T)$ называется морфизмом из $s$ к $T$ или $T$ -структурированная стрелка с доменом $s$ . ^[1] Объект $(S\downarrow t)$ называется морфизмом из $S$ к $t$ или $S$ -соструктурированная стрелка с кодоменом $t$ . ^[1]

Другой частный случай имеет место, когда оба $S$ и $T$ являются функторами с областью определения ${\textbf {1}}$ . Если $S(*)=A$ и $T(*)=B$ , затем категория с запятой $(S\downarrow T)$ , написано $(A\downarrow B)$ , — дискретная категория , объекты которой являются морфизмами из $A$ к $B$ .

Категория вставки — это (неполная) подкатегория категории с запятой, где ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$ и $f=g$ необходимы. Категорию запятой также можно рассматривать как вставку $S\circ \pi _{1}$ и $T\circ \pi _{2}$ , где $\pi _{1}$ и $\pi _{2}$ два функтора проекции вне категории продукта ${\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}$ .

Свойства [ править ]

Для каждой категории запятых есть из нее забывчивые функторы.

Функтор области, $S\downarrow T\to {\mathcal {A}}$ $S\downarrow T\to {\mathcal {A}}$ , который отображает:
- объекты: $(A,B,h)\mapsto A$ ;
- морфизмы: $(f,g)\mapsto f$ ;
Функтор кодомена, $S\downarrow T\to {\mathcal {B}}$ $S\downarrow T\to {\mathcal {B}}$ , который отображает:
- объекты: $(A,B,h)\mapsto B$ ;
- морфизмы: $(f,g)\mapsto g$ .
Стрелочный функтор, $S\downarrow T\to {\mathcal {C}}^{\rightarrow }$ $S\downarrow T\to {\mathcal {C}}^{\rightarrow }$ , который отображает:
- объекты: $(A,B,h)\mapsto h$ ;
- морфизмы: $(f,g)\mapsto (Sf,Tg)$ ;

Примеры использования [ править ]

Некоторые известные категории [ править ]

Некоторые интересные категории имеют естественное определение в виде категорий с запятыми.

Категория точечных множеств обозначается запятой, $\scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )}$ с $\scriptstyle {\bullet }$ будучи (функтором, выбирающим) любой одноэлементный набор , и $\scriptstyle {\mathbf {Set} }$ (тождественный функтор) категории множеств . Каждый объект этой категории представляет собой набор вместе с функцией, выбирающей некоторый элемент набора: «базовую точку». Морфизмы — это функции на множествах, которые отображают базовые точки в базовые точки. Аналогичным образом можно сформировать категорию точечных пространств. $\scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Top} )}$ .
Категория ассоциативных алгебр над кольцом $R$ это категория кослисов $\scriptstyle {(R\downarrow \mathbf {Ring} )}$ , поскольку любой гомоморфизм колец $f:R\to S$ вызывает ассоциативную связь $R$ -структура алгебры на $S$ , и наоборот. Морфизмы тогда являются картами $h:S\to T$ которые заставляют диаграмму коммутировать.
Категория графиков $\scriptstyle {(\mathbf {Set} \downarrow D)}$ , с $\scriptstyle {D:\,\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set} }$ функтор, принимающий множество $s$ к $s\times s$ . Объекты $(a,b,f)$ тогда состоят из двух множеств и функции; $a$ это индексный набор, $b$ представляет собой набор узлов, и $f:a\rightarrow (b\times b)$ выбирает пары элементов $b$ для каждого входа из $a$ . То есть, $f$ выбирает определенные ребра из набора $b\times b$ возможных ребер. Морфизм в этой категории состоит из двух функций: одна для набора индексов и одна для набора узлов. Они должны «согласиться» в соответствии с приведенным выше общим определением, означающим, что $(g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')$ должен удовлетворить $f'\circ g=D(h)\circ f$ . Другими словами, ребро, соответствующее определенному элементу набора индексов, при преобразовании должно быть таким же, как ребро для переведенного индекса.
Многие операции «увеличения» или «маркировки» можно выразить через категории запятых. Позволять $S$ — функтор, переводящий каждый граф в множество его ребер, и пусть $A$ быть (функтором, выбирающим) некоторый конкретный набор: тогда $(S\downarrow A)$ — категория графов, ребра которых помечены элементами $A$ . Эту форму категории запятой часто называют объектами. $S$ -над $A$ - тесно связано с «объектами над $A$ обсуждалось выше. Здесь каждый объект принимает вид $(B,\pi _{B})$ , где $B$ это график и $\pi _{B}$ функция от ребер $B$ к $A$ . Узлы графа можно пометить практически таким же образом.
Категория называется локально декартово замкнутой, если каждый ее срез является декартово замкнутым (понятие среза см. выше ). Локально декартовы замкнутые категории являются классифицирующими категориями теорий зависимых типов .

и Пределы универсальные морфизмы

Пределы и копределы в категориях с запятыми могут быть «унаследованы». Если ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ полны , $T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ является непрерывным функтором и $S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ — другой функтор (не обязательно непрерывный), то категория с запятой $(S\downarrow T)$ произведено завершено, ^[2] и проекционные функторы $(S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}$ и $(S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}$ являются непрерывными. Аналогично, если ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$ являются кополными, и $S:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ является сонепрерывным , то $(S\downarrow T)$ кополна, а проекционные функторы конепрерывны.

Например, обратите внимание, что в приведенной выше конструкции категории графов как категории с запятой категория множеств является полной и кополной, а тождественный функтор непрерывен и конепрерывен. Таким образом, категория графов полная и кополная.

Понятие универсального морфизма к определенному копределу или пределу можно выразить через категорию запятой. По сути, мы создаём категорию, объектами которой являются конусы, а ограничивающий конус — конечный объект ; тогда каждый универсальный морфизм предела является просто морфизмом терминального объекта. Это работает в двойственном случае, когда категория коконов имеет исходный объект. Например, пусть ${\mathcal {C}}$ быть категорией с $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ функтор, принимающий каждый объект $c$ к $(c,c)$ и каждая стрелка $f$ к $(f,f)$ . Универсальный морфизм из $(a,b)$ к $F$ состоит по определению из объекта $(c,c)$ и морфизм $\rho :(a,b)\rightarrow (c,c)$ с универсальным свойством, что для любого морфизма $\rho ':(a,b)\rightarrow (d,d)$ существует единственный морфизм $\sigma :c\rightarrow d$ с $F(\sigma )\circ \rho =\rho '$ . Другими словами, это объект в категории запятой. $((a,b)\downarrow F)$ наличие морфизма к любому другому объекту в этой категории; это первоначально. Это служит для определения копродукции в ${\mathcal {C}}$ , когда он существует.

Дополнения [ править ]

Ловер показал, что функторы $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ и $G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ сопряжены тогда и только тогда , когда категории с запятыми $(F\downarrow id_{\mathcal {D}})$ и $(id_{\mathcal {C}}\downarrow G)$ , с $id_{\mathcal {D}}$ и $id_{\mathcal {C}}$ тождественные функторы на ${\mathcal {D}}$ и ${\mathcal {C}}$ соответственно, изоморфны, и эквивалентные элементы в категории запятой могут быть спроецированы на один и тот же элемент ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$ . Это позволяет описывать присоединения без использования множеств и фактически послужило первоначальной мотивацией для введения категорий с запятыми.

Естественные трансформации [ править ]

Если домены $S,T$ равны, то диаграмма, определяющая морфизмы в $S\downarrow T$ с $A=B,A'=B',f=g$ идентично диаграмме, определяющей естественное преобразование $S\to T$ . Разница между этими двумя понятиями состоит в том, что естественным преобразованием является определенный набор морфизмов типа вида $S(A)\to T(A)$ , а объекты категории запятая содержат все морфизмы типа такой формы. Функтор категории запятой выбирает этот конкретный набор морфизмов. Это кратко описано в наблюдении С.А. Хука. ^[3]это естественная трансформация $\eta :S\to T$ , с $S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}$ , соответствует функтору ${\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)$ который отображает каждый объект $A$ к $(A,A,\eta _{A})$ и отображает каждый морфизм $f=g$ к $(f,g)$ . Это биективное соответствие между естественными преобразованиями $S\to T$ и функторы ${\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)$ которые являются сечениями обоих забывчивых функторов из $S\downarrow T$ .

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Адамек, Иржи; Замечательно, Хорст; Стретчер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 .
^ Райдхард, Дэвид Э.; Берстолл, Род М. (1988). Вычислительная теория категорий (PDF) . Прентис Холл.
^ Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 48, ISBN 0-387-98403-8

Категория запятой в n Lab
Ловер, W (1963). «Функториальная семантика алгебраических теорий» и «Некоторые алгебраические проблемы в контексте функториальной семантики алгебраических теорий». http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

Внешние ссылки [ править ]

Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Стекер, Абстрактные и конкретные категории – радость кошек
Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.

[joy-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Адамек, Иржи; Замечательно, Хорст; Стретчер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 .

[computational-2] Райдхард, Дэвид Э.; Берстолл, Род М. (1988). Вычислительная теория категорий (PDF) . Прентис Холл.

[3] Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 48, ISBN 0-387-98403-8

[1]

[2]

[3]