Категория симплекс

В математике симплексная категория (или симплициальная категория , или непустая конечная порядковая категория ) — это категория непустых карт , конечных ординалов и сохраняющих порядок . Он используется для определения симплициальных и косимплициальных объектов.

Формальное определение [ править ]

Симплексную категорию обычно обозначают $\Delta$ . Существует несколько эквивалентных описаний этой категории. $\Delta$ может быть описан как категория непустых конечных ординалов как объектов, рассматриваемых как полностью упорядоченные множества, и (нестрого) сохраняющих порядок функций как морфизмов . Объекты обычно обозначаются $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$ (так что $[n]$ это порядковый номер $n+1$ ). Категория генерируется с помощью карт coface и codegeneracy, которые сводятся к вставке или удалению элементов упорядочения. (См. симплициальный набор отношений этих карт.)

— Симплициальный объект это предпучок на $\Delta$ , то есть контравариантный функтор из $\Delta$ в другую категорию. Например, симплициальные множества контравариантны, причем категория кодомена является категорией множеств. Косимплициальный объект определяется аналогично ковариантному функтору, происходящему из $\Delta$ .

Расширенная симплексная категория [ править ]

Расширенная симплексная категория , обозначаемая $\Delta _{+}$ — категория всех конечных ординалов и отображений, сохраняющих порядок , таким образом $\Delta _{+}=\Delta \cup [-1]$ , где $[-1]=\emptyset$ . Соответственно, эту категорию можно было бы также обозначить FinOrd . Расширенную симплексную категорию иногда называют симплексной категорией алгебраистов, а приведенную выше версию называют симплексной категорией топологов.

Контравариантный функтор, определенный на $\Delta _{+}$ называется дополненным симплициальным объектом и ковариантным функтором из $\Delta _{+}$ называется дополненным косимплициальным объектом ; например, когда категория кодомена является категорией множеств, они называются дополненными симплициальными множествами и дополненными косимплициальными множествами соответственно.

Расширенная симплексная категория, в отличие от симплексной, допускает естественную моноидальную структуру . Моноидальный продукт получается путем объединения линейных порядков, а единицей измерения является пустой порядковый номер. $[-1]$ (отсутствие единицы не позволяет квалифицировать это как моноидальную структуру на $\Delta$ ). Фактически, $\Delta _{+}$ — это моноидальная категория , свободно порожденная одним моноидным объектом , заданная формулой $[0]$ с единственной возможной единицей и умножением. Это описание полезно для понимания того, как любой комоноидный объект в моноидальной категории порождает симплициальный объект, поскольку тогда его можно рассматривать как образ функтора из $\Delta _{+}^{\text{op}}$ к моноидальной категории, содержащей комоноид; забыв об увеличении, мы получаем симплициальный объект. Точно так же это также проливает свет на построение симплициальных объектов из монад (и, следовательно, сопряженных функторов ), поскольку монады можно рассматривать как моноидные объекты в категориях эндофункторов .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Гёрсс, Пол Г.; Джардин, Джон Ф. (1999). Симплициальная гомотопическая теория . Прогресс в математике. Том. 174. Базель – Бостон – Берлин: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-3-0348-8707-6 . ISBN 978-3-7643-6064-1 . МР 1711612 .

Внешние ссылки [ править ]