Монада (теория категорий)

В теории категорий — разделе математики , монада (также тройка , триада , стандартная конструкция и фундаментальная конструкция ). ^[1]является моноидом в категории эндофункторов . некоторой фиксированной категории Эндофунктор — это функтор , отображающий категорию в себя, а монада — это эндофунктор вместе с двумя естественными преобразованиями , необходимыми для выполнения определенных условий когерентности . Монады используются в теории пар сопряженных функторов и обобщают операторы замыкания частично упорядоченных множеств на произвольные категории. Монады также полезны в теории типов данных , денотационной семантике императивных языков программирования и в языках функционального программирования , позволяя языкам без изменяемого состояния выполнять такие вещи, как симуляция циклов for; см. Монада (функциональное программирование) .

Введение и определение [ править ]

Монада — это определенный тип эндофункторов . Например, если $F$ и $G$ представляют собой пару сопряженных функторов , причем $F$ слева примыкать к $G$ , то композиция $G\circ F$ это монада. Если $F$ и $G$ являются обратными функторами, соответствующая монада является тождественным функтором . В общем, присоединения не являются эквивалентами — они связывают категории разной природы. Теория монад важна как часть усилий по выявлению того, что «сохраняют» присоединения. Другая половина теории, то, что можно узнать аналогичным образом из рассмотрения $F\circ G$ , обсуждается в рамках двойственной теории комонад .

Формальное определение [ править ]

На протяжении всей этой статьи $C$ обозначает категорию . Монада на $C$ состоит из эндофунктора $T\colon C\to C$ вместе с двумя естественными преобразованиями : $\eta \colon 1_{C}\to T$ (где $1_{C}$ обозначает тождественный функтор на $C$ ) и $\mu \colon T^{2}\to T$ (где $T^{2}$ это функтор $T\circ T$ от $C$ к $C$ ). Они необходимы для выполнения следующих условий (иногда называемых условиями когерентности ):

$\mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T$ (как естественные преобразования $T^{3}\to T$ ); здесь $T\mu$ и $\mu T$ образованы « горизонтальной композицией ».
$\mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}$ (как естественные преобразования $T\to T$ ; здесь $1_{T}$ обозначает тождественное преобразование из $T$ к $T$ ).

Мы можем переписать эти условия, используя следующие коммутативные диаграммы :

см. в статье о естественных преобразованиях. Объяснение обозначений $T\mu$ и $\mu T$ или см. ниже коммутативные диаграммы, не использующие эти понятия:

Первая аксиома сродни ассоциативности в моноидах , если мы подумаем о $\mu$ как бинарная операция моноида, а вторая аксиома сродни существованию единичного элемента (который мы считаем заданным формулой $\eta$ ). Действительно, монада на $C$ альтернативно может быть определен как моноид в категории $\mathbf {End} _{C}$ чьи объекты являются эндофункторами $C$ и чьи морфизмы являются естественными преобразованиями между ними с моноидальной структурой , индуцированной композицией эндофункторов.

Монада набора мощности [ править ]

— Монада набора мощности это монада ${\mathcal {P}}$ по категории $\mathbf {Set}$ : За комплект $A$ позволять $T(A)$ быть набором силовым $A$ и для функции $f\colon A\to B$ позволять $T(f)$ — функция между наборами степеней, индуцированная получением прямых изображений под $f$ . Для каждого набора $A$ , у нас есть карта $\eta _{A}\colon A\to T(A)$ , который присваивает каждому $a\in A$ синглтон $\{a\}$ . Функция

\mu _{A}\colon T(T(A))\to T(A)

принимает набор множеств в его объединение . Эти данные описывают монаду.

Замечания [ править ]

Аксиомы монады формально аналогичны аксиомам моноида . Фактически монады являются частными случаями моноидов, а именно моноидами среди эндофункторов. $\operatorname {End} (C)$ , который оснащен умножением, заданным композицией эндофункторов.

Композиция монад вообще не является монадой. Например, функтор двойной мощности ${\mathcal {P}}\circ {\mathcal {P}}$ не допускает никакой монадной структуры. ^[2]

Комонады [ править ]

Категориальное двойственное определение — это формальное определение комонады ( или котройки ); это можно быстро сказать в терминах, что комонада для категории $C$ это монада противоположной категории $C^{\mathrm {op} }$ . Следовательно, это функтор $U$ от $C$ самому себе, с набором аксиом для счётчика и коумножения , которые возникают в результате перестановки стрелок повсюду в только что данном определении.

Монады относятся к моноидам так же, как комонады относятся к комоноидам . Каждое множество является комоноидом уникальным образом, поэтому комоноиды менее известны в абстрактной алгебре, чем моноиды; однако комоноиды в категории векторных пространств с обычным тензорным произведением важны и широко изучаются под названием коалгебр .

Терминологическая история [ править ]

Понятие монады было изобретено Роджером Годементом в 1958 году под названием «стандартная конструкция». Монаду называли «двойной стандартной конструкцией», «тройкой», «моноидом» и «триадой». ^[3] Термин «монада» использован не позднее 1967 года Жаном Бенабу . ^[4]^[5]

Примеры [ править ]

Личность [ править ]

Тождественный функтор категории $C$ это монада. Его умножение и единица являются тождественной функцией на объектах $C$ .

Монады, возникающие из присоединений [ править ]

Любое дополнение

F:C\rightleftarrows D:G

порождает монаду C. на Эта весьма распространенная конструкция работает следующим образом: эндофунктор представляет собой составную

T=G\circ F.

Этот эндофунктор быстро становится монадой, где карта единиц происходит из карты единиц. $\operatorname {id} _{C}\to G\circ F$ присоединения, а карта умножения строится с использованием карты единиц присоединения:

T^{2}=G\circ F\circ G\circ F\xrightarrow {G\circ {\text{counit}}\circ F} G\circ F=T.

Фактически, любую монаду можно найти как явное присоединение функторов, используя категорию Эйленберга–Мура. $C^{T}$ (категория $T$ -алгебры). ^[6]

Двойная дуализация [ править ]

Монада двойной дуализации для фиксированного поля k возникает из присоединения

(-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{op}:(-)^{*}

где оба функтора задаются путем отправки векторного пространства V в его двойственное векторное пространство $V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)$ . Соответствующая монада отправляет векторное пространство V в его двойной двойник. $V^{**}$ . Эта монада обсуждается в гораздо большей степени Коком (1970) .

Операторы замыкания частично упорядоченных множеств [ править ]

Для категорий, возникающих из частично упорядоченных наборов $(P,\leq )$ (с единственным морфизмом из $x$ к $y$ если и только если $x\leq y$ ), то формализм становится значительно проще: присоединенные пары — это связи Галуа , а монады — операторы замыкания .

Свободно-забывчивые придатки [ править ]

Например, пусть $G$ — функтор забывчивости из категории Grp групп пусть в категорию Set множеств, и $F$ — свободный групповой функтор из категории множеств в категорию групп. Затем $F$ является левым сопряженным к $G$ . В этом случае ассоциированная монада $T=G\circ F$ берет набор $X$ и возвращает базовый набор свободной группы $\mathrm {Free} (X)$ . Единичная карта этой монады задается картами

X\to T(X)

включая любой набор $X$ в набор $\mathrm {Free} (X)$ естественным образом, как строки длины 1. Далее, умножением этой монады является отображение

T(T(X))\to T(X)

созданный путем естественной конкатенации или «сглаживания» «строк строк». Это составляет два естественных преобразования . Предыдущий пример о свободных группах можно обобщить на любой тип алгебры в смысле множества алгебр универсальной алгебры . Таким образом, каждый такой тип алгебры порождает монаду в категории множеств. Важно отметить, что тип алгебры можно восстановить по монаде (как категории алгебр Эйленберга–Мура), поэтому монады также можно рассматривать как обобщающие многообразия универсальных алгебр.

Другая монада, возникающая из присоединения, - это когда $T$ - это эндофунктор категории векторных пространств, который отображает векторное пространство $V$ к его тензорной алгебре $T(V)$ и который отображает линейные карты в их тензорное произведение. Тогда мы имеем естественное преобразование, соответствующее вложению $V$ в свою тензорную алгебру и естественное преобразование, соответствующее отображению из $T(T(V))$ к $T(V)$ получается простым разложением всех тензорных произведений.

Монады кодовой плотности [ править ]

В мягких условиях функторы, не допускающие левого сопряженного, также порождают монаду, так называемую коденситную монаду . Например, включение

\mathbf {FinSet} \subset \mathbf {Set}

не допускает левого сопряженного. Его монада кодовой плотности — это монада на множествах, отправляющая любой набор X в набор ультрафильтров на X . Этот и подобные примеры обсуждаются в Leinster (2013) .

в денотационной семантике Монады , используемые

Следующие монады над категорией множеств используются в денотационной семантике императивных языков программирования , а аналогичные конструкции используются в функциональном программировании.

Возможно монада [ править ]

Эндофунктор монады «может быть» или «партициальность» добавляет точку непересекающегося: ^[7]

(-)_{*}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set}

X\mapsto X\cup \{*\}

Единица задается включением набора $X$ в $X_{*}$ :

\eta _{X}:X\to X_{*}

x\mapsto x

Умножение отображает элементы $X$ между собой, и две непересекающиеся точки в $(X_{*})_{*}$ тому, кто в $X_{*}$ .

И в функциональном программировании, и в денотационной семантике монада may моделирует частичные вычисления , то есть вычисления, которые могут потерпеть неудачу.

Государственная монада [ править ]

Учитывая набор $S$ , эндофунктор монады состояния отображает каждый набор $X$ к набору функций $S\to S\times X$ . Компонент агрегата на $X$ отображает каждый элемент $x\in X$ к функции

\eta _{X}(x):S\to S\times X

s\mapsto (s,x)

Умножение отображает функцию $f:S\to S\times (S\to S\times X),s\mapsto (s',f')$ к функции

\mu _{X}(f):S\to S\times X

s\mapsto f'(s')

В функциональном программировании и денотационной семантике монада состояний моделирует вычисления с сохранением состояния .

Монада окружения [ править ]

Учитывая набор $E$ , эндофунктор читателя или монады среды отображает каждый набор $X$ к набору функций $E\to X$ . Таким образом, эндофунктор этой монады — это в точности функтор hom $\mathrm {Hom} (E,-)$ . Компонент агрегата на $X$ отображает каждый элемент $x\in X$ к постоянной функции $e\mapsto x$ .

В функциональном программировании и денотационной семантике монада среды моделирует вычисления с доступом к некоторым данным, доступным только для чтения.

Список и набор монад [ править ]

или Монада списка недетерминизма отображает множество X множество конечных последовательностей (т. е. списков ) с элементами из X. в Модуль отображает элемент x в X в одноэлементный список [x]. Умножение объединяет список списков в один список.

В функциональном программировании монада списка используется для моделирования недетерминированных вычислений . Ковариантная монада powerset также известна как монада множества и также используется для моделирования недетерминированных вычислений.

Алгебры для монады [ править ]

Дана монада $(T,\eta ,\mu )$ по категории $C$ , естественно считать $T$ -алгебры , т. е. объекты $C$ на что действовал $T$ способом, совместимым с единицей и умножением монады. Более формально, А. $T$ -алгебра $(x,h)$ это объект $x$ из $C$ вместе со стрелой $h\colon Tx\to x$ из $C$ называется структурной картой алгебры такой, что диаграммы

и

добираться.

Морфизм $f\colon (x,h)\to (x',h')$ из $T$ -алгебра – это стрелка $f\colon x\to x'$ из $C$ такая, что диаграмма

ездит на работу. $T$ -алгебры образуют категорию, называемую категорией Эйленберга–Мура и обозначаемую $C^{T}$ .

Примеры [ править ]

над свободной монадой групповой Алгебры

Например, для рассмотренной выше монады свободной группы $T$ -алгебра – это множество $X$ вместе с картой из группы free, сгенерированной $X$ к $X$ при соблюдении условий ассоциативности и единства. Такая структура эквивалентна утверждению, что $X$ это сама группа.

Алгебры над монадой распределения [ править ]

Другой пример — монада распределения ${\mathcal {D}}$ по категории наборов. Это определяется отправкой набора $X$ к набору функций $f:X\to [0,1]$ с конечным носителем и такие, что их сумма равна $1$ . В обозначениях построителя множеств это набор

{\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty \\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}

Изучив определения, можно показать, что алгебры над монадой распределения эквивалентны выпуклым множествам , т. е. множествам, снабженным операциями

x+_{r}y

для

r\in [0,1]

подчиняется аксиомам, напоминающим поведение выпуклых линейных комбинаций

rx+(1-r)y

в евклидовом пространстве. ^[8]

Алгебры над симметричной монадой [ править ]

Другим полезным примером монады является функтор симметричной алгебры в категории $R$ -модули для коммутативного кольца $R$ .

{\text{Sym}}^{\bullet }(-):{\text{Mod}}(R)\to {\text{Mod}}(R)

отправка

R

-модуль

M

к прямой сумме симметричных тензорных степеней

{\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)

где

{\text{Sym}}^{0}(M)=R

. Например,

{\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]

где

R

-алгебра справа рассматривается как модуль. Тогда алгебры над этой монадой коммутативны.

R

-алгебры. Существуют также алгебры над монадами для знакопеременных тензоров.

{\text{Alt}}^{\bullet }(-)

и полные тензорные функторы

T^{\bullet }(-)

дающий антисимметричный

R

-алгебры и бесплатно

R

-алгебры, поэтому

{\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n})\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle \end{aligned}}

где первое кольцо — это свободная антисимметричная алгебра над

R

в

n

-генераторы, а второе кольцо — свободная алгебра над

R

в

n

-генераторы.

Коммутативные алгебры в спектрах колец - E бесконечности

Аналогичная конструкция существует для коммутативного $\mathbb {S}$ -алгебры ^[9]^{стр. 113} что дает коммутативное $A$ -алгебры для коммутатива $\mathbb {S}$ -алгебра $A$ . Если ${\mathcal {M}}_{A}$ это категория $A$ -модули, то функтор $\mathbb {P} :{\mathcal {M}}_{A}\to {\mathcal {M}}_{A}$ это монада, заданная

\mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j}

где

M^{j}=M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M

j

-раз. Затем существует связанная категория

{\mathcal {C}}_{A}

коммутативного

A

-алгебры из категории алгебр над этой монадой.

Монады и дополнения [ править ]

Как уже говорилось выше, любое присоединение порождает монаду. И наоборот, каждая монада возникает из некоторого присоединения, а именно присоединения свободно-забывчивого.

T(-):C\rightleftarrows C^{T}:{\text{forget}}

левый сопряженный которого отправляет объект X в свободную T -алгебру T ( X ). Однако обычно существует несколько различных присоединений, порождающих монаду: пусть $\mathbf {Adj} (C,T)$ быть категорией, объектами которой являются дополнения $(F,G,e,\varepsilon )$ такой, что $(GF,e,G\varepsilon F)=(T,\eta ,\mu )$ и чьи стрелки являются морфизмами присоединений, тождественными на $C$ . Тогда упомянутое выше свободно-забывчивое присоединение, включающее категорию Эйленберга–Мура $C^{T}$ является терминальным объектом в $\mathbf {Adj} (C,T)$ . Исходным объектом является категория Клейсли , которая по определению является полной подкатегорией $C^{T}$ состоящая только из свободных Т -алгебр, т. е. Т -алгебр вида $T(x)$ для некоторого объекта x из C .

Монадические присоединения [ править ]

Учитывая любое дополнение $(F:C\to D,G:D\to C,\eta ,\varepsilon )$ со связанной монадой T функтор G можно факторизовать как

D{\stackrel {\tilde {G}}{\to }}C^{T}{\stackrel {\text{forget}}{\to }}C,

т. е. G ( Y ) может быть естественным образом наделена структурой T -алгебры для любого Y из D . Соединение называется монадическим, если первый функтор ${\tilde {G}}$ дает эквивалентность категорий между D и категорией Эйленберга – Мура. $C^{T}$ . ^[10] В более широком смысле функтор $G\colon D\to C$ называется монадическим, если он имеет левое сопряженное $F$ образуя монадическое присоединение. Например, свободно-забывчивое присоединение между группами и множествами является монадическим, поскольку, как говорилось выше, алгебры над ассоциированной монадой являются группами. В общем, зная, что присоединение является монадическим, можно реконструировать объекты в D из объектов в C и T -действия.

Бека о Теорема монадичности

Теорема Бека о монадичности дает необходимое и достаточное условие монадичности присоединения. Упрощенная версия этой теоремы утверждает, что G является монадической, если она консервативна (или G отражает изоморфизмы, т. е. морфизм в D является изоморфизмом тогда и только тогда, когда его образ под G является изоморфизмом в C ), а C имеет и G сохраняет коэквалайзеры .

Например, функтор забвения из категории бикомпактов на множествах является монадическим. Однако функтор забывания от всех топологических пространств к множествам не является консервативным, поскольку существуют непрерывные биективные отображения (между некомпактными или нехаусдорфовыми пространствами), которые не могут быть гомеоморфизмами . Таким образом, этот функтор забывания не является монадическим. ^[11]Двойственная версия теоремы Бека, характеризующая комонадические присоединения, актуальна в различных областях, таких как теория топоса и разделы алгебраической геометрии, связанные со спуском . Первым примером комонического присоединения является присоединение

-\otimes _{A}B:\mathbf {Mod} _{A}\rightleftarrows \mathbf {Mod} _{B}:\operatorname {forget}

для кольцевого гомоморфизма $A\to B$ между коммутативными кольцами. По теореме Бека это присоединение является комонадическим тогда и только тогда, когда B как точно плоский A -модуль . Таким образом, это позволяет спускать B -модули, оснащенные нисходящим данным (т. е. действием комонады, заданным присоединением), к A -модулям. Полученная в результате теория точно плоского спуска широко применяется в алгебраической геометрии.

Использует [ править ]

Монады используются в функциональном программировании для выражения типов последовательных вычислений (иногда с побочными эффектами). См. монады в функциональном программировании и более математически ориентированный модуль Wikibook b:Haskell/Category Theory .

Монады используются в денотационной семантике нечистых функциональных и императивных языков программирования . ^[12]^[13]

В категориальной логике была проведена аналогия между теорией монад-комонад и модальной логикой через операторы замыкания , внутренние алгебры и их связь с S4 и моделями интуиционистскими логиками .

Обобщение [ править ]

Можно определить монады в 2-категории $C$ . Описанные выше монады являются монадами для $C=\mathbf {Cat}$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1985), «Топосы, тройки и теории» (PDF) , Fundamentals of the Mathematical Sciences , vol. 278, Springer-Verlag, стр. 82 и 120, ISBN. 0-387-96115-1 .
^ Клин; Саламанка (2018), «Итерированный ковариантный набор полномочий не является монадой», Электронные заметки по теоретической информатике , 341 : 261–276, doi : 10.1016/j.entcs.2018.11.013
^ Маклейн 1978 , с. 138.
^ Бенабу, Жан (1967). «Введение в бикатегории» . В Бенабу, Дж.; Дэвис, Р.; Долд, А.; Исбелл, Дж.; Маклейн, С.; Оберст, У.; Роос, Ж.-Э. (ред.). Отчеты семинара по категории Среднего Запада . Конспект лекций по математике. Том. 47. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. стр. 1–77. дои : 10.1007/BFb0074299 . ISBN 978-3-540-35545-8 .
^ «RE: Монады» . Гмане . 04 апреля 2009 г. Архивировано из оригинала 26 марта 2015 г.
^ Рил, Эмили . «Теория категорий в контексте» (PDF) . п. 162. Архивировано (PDF) из оригинала 5 апреля 2021 г.
^ Риль 2017 , с. 155.
^ Свирщ, Т. (1974), «Монадические функторы и выпуклость», Bull. акад. Полон. наук. Сер. наук. Математика. Астрон. Физ. , 22 : 39–42, МР 0390019 , Джейкобс, Барт (2010), «Выпуклость, двойственность и эффекты», Теоретическая информатика , ИФИП «Достижения в области информационных и коммуникационных технологий», том. 323, стр. 1–19, номер документа : 10.1007/978-3-642-15240-5_1 , ISBN. 978-3-642-15239-9
^ Бастерра, М. (15 декабря 1999 г.). «Когомологии Андре – Квиллена коммутативных S-алгебр» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 144 (2): 111–143. дои : 10.1016/S0022-4049(98)00051-6 . ISSN 0022-4049 .
^ Маклейн (1978) использует более строгое определение, в котором эти две категории скорее изоморфны, чем эквивалентны.
^ Маклейн (1978 , §§VI.3, VI.9)
^ Уодлер, Филип (1993). «Монады для функционального программирования» . В Брое, Манфред (ред.). Расчеты по проектированию программ . Серия НАТО ASI. Том. 118. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. стр. 233–264. дои : 10.1007/978-3-662-02880-3_8 . ISBN 978-3-662-02880-3 . «Концепция монады, возникшая из теории категорий, была применена Моджи для структурирования денотационной семантики языков программирования».
^ Малри, Филип С. (1 января 1998 г.). «Монады в семантике» . Электронные заметки по теоретической информатике . Совместные американо-бразильские семинары по формальным основам программных систем. 14 : 275–286. дои : 10.1016/S1571-0661(05)80241-5 . ISSN 1571-0661 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (1999), Теория категорий для информатики (PDF)
Годемент, Роджер (1958), Алгебраическая топология и теория балок. , Научные новости. Инди., Опубл. Математика. унив. Страсбург, том. 1252, Париж: Герман, стр. viii+283 стр.
Кок, Андерс (1970), «О монадах двойной дуализации», Mathematica Scandinavica , 27 : 151, doi : 10.7146/math.scand.a-10995
Ленстер, Том (2013), «Кодовая плотность и монада ультрафильтра» (PDF) , Теория и применение категорий , 28 : 332–370, arXiv : 1209.3606 , Bibcode : 2012arXiv1209.3606L
Маклейн, Сондерс (1978), Категории для работающего математика , Тексты для выпускников по математике, том. 5, номер домена : 10.1007/978-1-4757-4721-8 , ISBN 978-1-4419-3123-8
Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7 . Збл 1034.18001 .
Рил, Эмили (2017), Теория категорий в контексте , Courier Dover Publications, ISBN 9780486820804
Тури, Даниэле (1996–2001), конспекты лекций по теории категорий (PDF)

Внешние ссылки [ править ]

Монады , пять кратких лекций (с одним приложением).
В книге Джона Баэза « Находки по математической физике на этой неделе» (неделя 89) монады делятся на две категории.
Монады и комонады , видеоурок.

[1] Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1985), «Топосы, тройки и теории» (PDF) , Fundamentals of the Mathematical Sciences , vol. 278, Springer-Verlag, стр. 82 и 120, ISBN. 0-387-96115-1 .

[2] Клин; Саламанка (2018), «Итерированный ковариантный набор полномочий не является монадой», Электронные заметки по теоретической информатике , 341 : 261–276, doi : 10.1016/j.entcs.2018.11.013

[FOOTNOTEMacLane1978138-3] Маклейн 1978 , с. 138.

[4] Бенабу, Жан (1967). «Введение в бикатегории» . В Бенабу, Дж.; Дэвис, Р.; Долд, А.; Исбелл, Дж.; Маклейн, С.; Оберст, У.; Роос, Ж.-Э. (ред.). Отчеты семинара по категории Среднего Запада . Конспект лекций по математике. Том. 47. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. стр. 1–77. дои : 10.1007/BFb0074299 . ISBN 978-3-540-35545-8 .

[5] «RE: Монады» . Гмане . 04 апреля 2009 г. Архивировано из оригинала 26 марта 2015 г.

[6] Рил, Эмили . «Теория категорий в контексте» (PDF) . п. 162. Архивировано (PDF) из оригинала 5 апреля 2021 г.

[FOOTNOTERiehl2017155-7] Риль 2017 , с. 155.

[8] Свирщ, Т. (1974), «Монадические функторы и выпуклость», Bull. акад. Полон. наук. Сер. наук. Математика. Астрон. Физ. , 22 : 39–42, МР 0390019 , Джейкобс, Барт (2010), «Выпуклость, двойственность и эффекты», Теоретическая информатика , ИФИП «Достижения в области информационных и коммуникационных технологий», том. 323, стр. 1–19, номер документа : 10.1007/978-3-642-15240-5_1 , ISBN. 978-3-642-15239-9

[9] Бастерра, М. (15 декабря 1999 г.). «Когомологии Андре – Квиллена коммутативных S-алгебр» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 144 (2): 111–143. дои : 10.1016/S0022-4049(98)00051-6 . ISSN 0022-4049 .

[10] Маклейн (1978) использует более строгое определение, в котором эти две категории скорее изоморфны, чем эквивалентны.

[11] Маклейн (1978 , §§VI.3, VI.9)

[12] Уодлер, Филип (1993). «Монады для функционального программирования» . В Брое, Манфред (ред.). Расчеты по проектированию программ . Серия НАТО ASI. Том. 118. Берлин, Гейдельберг: Шпрингер. стр. 233–264. дои : 10.1007/978-3-662-02880-3_8 . ISBN 978-3-662-02880-3 . «Концепция монады, возникшая из теории категорий, была применена Моджи для структурирования денотационной семантики языков программирования».

[13] Малри, Филип С. (1 января 1998 г.). «Монады в семантике» . Электронные заметки по теоретической информатике . Совместные американо-бразильские семинары по формальным основам программных систем. 14 : 275–286. дои : 10.1016/S1571-0661(05)80241-5 . ISSN 1571-0661 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]