Коммутативная диаграмма

В математике , и особенно в теории категорий , коммутативная диаграмма — это диаграмма , в которой все направленные пути на диаграмме с одинаковыми началом и конечными точками приводят к одному и тому же результату. ^[1] Говорят, что коммутативные диаграммы играют в теории категорий ту же роль, что и уравнения в алгебре . ^[2]

Описание

Коммутативная диаграмма часто состоит из трех частей:

объекты (также известные как вершины )
морфизмы (также известные как стрелки или ребра )
пути или композиции

Символы стрелок

В текстах по алгебре тип морфизма можно обозначать с помощью различных стрелок:

Мономорфизм можно обозначить знаком $\hookrightarrow$ ^[3] или $\rightarrowtail$ . ^[4]
Эпиморфизм может быть помечен знаком $\twoheadrightarrow$ .
Изоморфизм может быть помечен знаком ${\overset {\sim }{\rightarrow }}$ .
Пунктирная стрелка обычно представляет утверждение о том, что указанный морфизм существует (всякий раз, когда остальная часть диаграммы верна); стрелка может быть дополнительно обозначена как $\exists$ $\exists$ .
- Если морфизм к тому же уникален, то пунктирную стрелку можно обозначить $!$ или $\exists !$ .

Значения различных стрелок не полностью стандартизированы: стрелки, используемые для мономорфизмов, эпиморфизмов и изоморфизмов, также используются для инъекций , сюръекций и биекций , а также корасслоений, расслоений и слабых эквивалентностей в модельной категории .

Проверка коммутативности

Коммутативность имеет смысл для многоугольника с любым конечным числом сторон (включая только 1 или 2), а диаграмма является коммутативной, если каждая многоугольная поддиаграмма коммутативна.

Обратите внимание, что диаграмма может быть некоммутативной, т. е. композиция разных путей на диаграмме может не давать одинаковый результат.

Примеры

Пример 1

В левой диаграмме, выражающей первую теорему об изоморфизме , коммутативность треугольника означает, что $f={\tilde {f}}\circ \pi$ . На правой диаграмме коммутативность квадрата означает $h\circ f=k\circ g$ .

Пример 2

Чтобы приведенная ниже диаграмма была коммутируемой, должны выполняться три равенства:

$r\circ h\circ g=H\circ G\circ l$
$m\circ g=G\circ l$
$r\circ h=H\circ m$

Здесь, поскольку первое равенство следует из двух последних, достаточно показать, что (2) и (3) верны, чтобы диаграмма была коммутируемой. Однако, поскольку равенство (3), вообще говоря, не следует из двух других, то, как правило, недостаточно иметь только равенства (1) и (2), если нужно показать, что диаграмма коммутирует.

Погоня за диаграммой

Поиск диаграмм (также называемый диаграммным поиском ) — это метод математического доказательства, используемый особенно в гомологической алгебре , где устанавливается свойство некоторого морфизма, отслеживая элементы коммутативной диаграммы. Доказательство путем поиска диаграммы обычно включает формальное использование свойств диаграммы, таких как инъективные или сюръективные отображения или точные последовательности . ^[5] Строится силлогизм , для которого графическое отображение схемы является лишь наглядным пособием. Отсюда следует, что человек в конечном итоге «гоняется» за элементами по диаграмме, пока желаемый элемент или результат не будет построен или проверен.

Примеры доказательств с помощью поиска диаграмм включают те, которые обычно приводятся для леммы пяти , леммы о змее , леммы о зигзаге и леммы девяти .

В теории высших категорий

В теории высших категорий рассматриваются не только объекты и стрелки, но и стрелки между стрелками, стрелки между стрелками между стрелками и так далее до бесконечности . Например, категория малых категорий Cat , естественно, является 2-категорией с функторами в качестве стрелок и естественными преобразованиями в качестве стрелок между функторами. В этом случае коммутативные диаграммы также могут включать эти более высокие стрелки, которые часто изображаются в следующем стиле: $\Rightarrow$ . Например, следующая (несколько тривиальная) диаграмма изображает две категории C и D вместе с двумя функторами F , G : C → D и естественным преобразованием α : F ⇒ G :

В 2-категории есть два типа композиции (называемые вертикальной композицией и горизонтальной композицией ), и их также можно отобразить с помощью вставки диаграмм ( см. в разделе 2-category#Definition примеры ).

Диаграммы как функторы

Коммутативную диаграмму в категории C можно интерпретировать как функтор из индексной категории J в C; Функтор называют диаграммой .

Более формально, коммутативная диаграмма — это визуализация диаграммы, индексированной категорией частичного набора . Такая диаграмма обычно включает в себя:

узел для каждого объекта в индексной категории,
стрелка для порождающего набора морфизмов (без учета тождественных карт и морфизмов, которые могут быть выражены как композиции),
коммутативность диаграммы (равенство различных композиций отображений между двумя объектами), соответствующая уникальности отображения между двумя объектами в категории ЧУМ.

И наоборот, учитывая коммутативную диаграмму, она определяет категорию частичного множества, где:

объекты - это узлы,
между любыми двумя объектами существует морфизм тогда и только тогда, когда между узлами существует (направленный) путь,
с тем, что этот морфизм уникален (любая композиция отображений определяется ее областью определения и целью: это аксиома коммутативности).

Однако не каждая диаграмма коммутативна (понятие диаграммы строго обобщает коммутативную диаграмму). В качестве простого примера диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( $f\colon X\to X$ ), или двумя параллельными стрелками ( $\bullet \rightrightarrows \bullet$ , то есть, $f,g\colon X\to Y$ , иногда называемый свободным колчаном ), используемый в определении эквалайзера, не требует коммутации. Кроме того, диаграммы могут быть беспорядочными или их невозможно нарисовать, если количество объектов или морфизмов велико (или даже бесконечно).

См. также

Математическая диаграмма

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Коммутативная диаграмма» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.
^ Маццола, Гуэрино; Мильмейстер, Жерар; Вайсманн, Джоди (2005). Комплексная математика для компьютерщиков 2 . Спрингер. п. 140. дои : 10.1007/b138337 . ISBN 978-3-540-26937-3 .
^ «Математика — Теория категорий — Стрела — Мартин Бейкер» . www.euclideanspace.com . Проверено 25 ноября 2019 г.
^ Рил, Эмили (17 ноября 2016 г.). «1». Теория категорий в контексте (PDF) . Дуврские публикации. п. 11.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Погоня за диаграммами» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.

Библиография

Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Шлитцер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 . Теперь доступно в виде бесплатного онлайн-издания (PDF, 4,2 МБ).
Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2002). Топосы, тройки и теории (PDF) . Спрингер. ISBN 0-387-96115-1 . Пересмотренная и исправленная бесплатная онлайн-версия Basic Teachings of the Mathematical Sciences (278) Springer-Verlag, 1983).

Внешние ссылки

Погоня за диаграммой в MathWorld
WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Коммутативная диаграмма» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.

[2] Маццола, Гуэрино; Мильмейстер, Жерар; Вайсманн, Джоди (2005). Комплексная математика для компьютерщиков 2 . Спрингер. п. 140. дои : 10.1007/b138337 . ISBN 978-3-540-26937-3 .

[:0-3] «Математика — Теория категорий — Стрела — Мартин Бейкер» . www.euclideanspace.com . Проверено 25 ноября 2019 г.

[Riehl_2016-4] Рил, Эмили (17 ноября 2016 г.). «1». Теория категорий в контексте (PDF) . Дуврские публикации. п. 11.

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Погоня за диаграммами» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]