Мономорфизм

Эта статья о математическом термине. Чтобы узнать о других значениях, см. Мономорфный (значения) и Полиморфизм (значения) .

контексте абстрактной алгебры или универсальной алгебры мономорфизм гомоморфизмом является инъективным . В Мономорфизм из X в Y часто обозначается обозначением $X\hookrightarrow Y$.

В более общей ситуации теории категорий мономорфизм является (также называемый моническим морфизмом или моно ) левосократяющимся морфизмом . То есть стрелка f : X → Y такая, что для всех объектов Z и всех морфизмов g ₁ , g ₂ : Z → X ,

$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\implies g_{1}=g_{2}.$

возврат мономорфизма на самого себя

Мономорфизмы — это категорическое обобщение инъективных функций (также называемых «взаимно-однозначными функциями»); в некоторых категориях понятия совпадают, но мономорфизмы более общие, как в примерах ниже .

В условиях частично упорядоченных множеств пересечения идемпотентны : пересечение чего-либо с самим собой является самим собой. Мономорфизмы обобщают это свойство на произвольные категории. Морфизм называется мономорфизмом, если он идемпотентен относительно обратных образов .

Категорически двойственный мономорфизму является эпиморфизм , то есть мономорфизм в категории C является эпиморфизмом в двойственной категории C. ^на . Каждое сечение является мономорфизмом, а каждая ретракция — эпиморфизмом.

Связь

Левообратимые морфизмы обязательно являются моническими: если l является левым обратным для f (это означает, что l является морфизмом и $l\circ f=\operatorname {id} _{X}$), то f является унитарным, так как

$f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.$

Левообратимый морфизм называется расщепляемым моно или сечением .

Однако мономорфизм не обязательно должен быть обратимым слева. Например, в категории Группа всех групп и групповых гомоморфизмов среди них, если H является подгруппой G, то включение f : H → G всегда является мономорфизмом; но f имеет левую обратную в категории тогда и только тогда, когда H имеет нормальное дополнение в G .

Морфизм f : X → Y является моническим тогда и только тогда, когда индуцированное отображение f _∗ : Hom( Z , X ) → Hom( Z , Y ) , определенное формулой f _∗ ( h ) = f ∘ h для всех морфизмов h : Z → X , инъективен для всех Z. объектов

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории , основная функция которого инъективна, является мономорфизмом; другими словами, если морфизмы на самом деле являются функциями между множествами, то любой морфизм, который является взаимно однозначной функцией, обязательно будет мономорфизмом в категорическом смысле. В категории множеств справедливо и обратное, поэтому мономорфизмы являются в точности инъективными морфизмами. Обратное также верно в большинстве естественных категорий алгебр из-за существования свободного объекта на одном образующем. В частности, это верно для категорий всех групп, всех колец и любой абелевой категории .

Однако, вообще говоря, неверно, что все мономорфизмы должны быть инъективными в других категориях; то есть существуют ситуации, в которых морфизмы являются функциями между множествами, но можно иметь функцию, которая не является инъективной, но при этом является мономорфизмом в категорическом смысле. Например, в категории Div делимых q (абелевых) групп и групповых гомоморфизмов между ними существуют мономорфизмы, которые не являются инъективными: рассмотрим, например, фактор-отображение : Q → Q / Z , где Q — складываемые рациональные числа, Z — целые числа (также считающиеся группой при сложении), а Q / Z — соответствующая факторгруппа . Это не инъективное отображение, поскольку, например, каждое целое число отображается в 0. Тем не менее, это мономорфизм в этой категории. Это следует из импликации q ∘ h = 0 ⇒ h = 0 , которую мы сейчас докажем. Если h : G → Q , где G — некоторая делимая группа, и q ∘ h = 0 , то h ( x ) ∈ , ∀ x ∈ G. Z Теперь зафиксируем x ∈ G. некоторый Без ограничения общности можно считать, что h ( x ) ≥ 0 (в противном случае выберите — вместо этого х ). Тогда, полагая n = h ( x )+1 , поскольку G — делимая группа, существует некоторый y ∈ G такой, что = ny , поэтому h ( x ) = nh x ( y ) . Отсюда и 0 ≤ h ( x ) < h ( x ) + 1 = n следует, что

$0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1$

Поскольку h ( y ) ∈ Z , отсюда следует, что h ( y ) = 0 , и, следовательно, h ( x ) = 0 знак равно ( − x ), ∀ x ∈ G. час Это говорит о том, что h = 0 , как и хотелось.

Чтобы перейти от этого импликации к тому факту, что q является мономорфизмом, предположим, что q ∘ f = q ∘ g для некоторых морфизмов f , g : G → Q , где G — некоторая делимая группа. Тогда q ∘ ( ж - г ) знак равно 0 , где ( ж - г ) : Икс ↦ ж ( Икс ) - г ( Икс ) . (Поскольку ( f - g )(0) = 0 и ( f - g )( x + y ) = ( f - g )( x ) + ( f - g )( )( y ) , отсюда следует, что ( f - g y ) ) ∈ Hom( G , Q ) ). Из только что доказанной импликации q ∘ ( f - g ) знак равно 0 ⇒ f - g знак равно 0 ⇔ ∀ x ∈ G , f ( x ) = g ( x ) ⇔ f = g . Следовательно, q является мономорфизмом, как утверждается.

Свойства

• В топосе каждое моно является эквалайзером, а любое отображение, одновременно моническое и эпическое, является изоморфизмом .
• Любой изоморфизм моничен.

Связанные понятия

Существуют также полезные понятия регулярного мономорфизма , экстремального мономорфизма , непосредственного мономорфизма , сильного мономорфизма и расщепляемого мономорфизма .

• Мономорфизм называется регулярным, если он является эквалайзером некоторой пары параллельных морфизмов.
• Мономорфизм $\mu$ говорят, что это экстремально если в каждом представлении $\mu =\varphi \circ \varepsilon$, где $\varepsilon$ является эпиморфизмом, морфизм $\varepsilon$ автоматически является изоморфизмом .
• Мономорфизм $\mu$ называется непосредственным, если в каждом представлении $\mu =\mu '\circ \varepsilon$, где $\mu '$ является мономорфизмом и $\varepsilon$ является эпиморфизмом, морфизм $\varepsilon$ автоматически является изоморфизмом .

• 

  Мономорфизм $\mu :C\to D$ говорят, сильный если для любого эпиморфизма $\varepsilon :A\to B$ и любые морфизмы $\alpha :A\to C$ и $\beta :B\to D$ такой, что $\beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha$, существует морфизм $\delta :B\to C$ такой, что $\delta \circ \varepsilon =\alpha$ и $\mu \circ \delta =\beta$.
• Мономорфизм $\mu$ называется расщепленным, если существует морфизм $\varepsilon$ такой, что $\varepsilon \circ \mu =1$ (в этом случае $\varepsilon$ называется левосторонним обратным для $\mu$).

Терминология

Сопутствующие термины мономорфизм и эпиморфизм были первоначально введены Николя Бурбаки ; Бурбаки использует мономорфизм как сокращение для инъективной функции. Ранние теоретики категорий считали, что правильным обобщением инъективности на контекст категорий является свойство отмены, приведенное выше. Хотя это не совсем верно для моникических карт, это очень близко, поэтому это не вызвало особых проблем, в отличие от случая эпиморфизмов. Сондерс Мак Лейн пытался провести различие между тем, что он называл мономорфизмами , то есть отображениями конкретной категории, чьи основные карты множеств были инъективными, и моническими отображениями , которые являются мономорфизмами в категориальном смысле этого слова. Это различие никогда не вошло в общее употребление.

Другое название мономорфизма — расширение , хотя оно имеет и другие применения.

См. также

• Встраивание
• Узловое разложение
• Подобъект

Ссылки

• Бергман, Джордж (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям . Спрингер. ISBN  978-3-319-11478-1 .
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категорической алгебре. Том 1: Базовая теория категорий . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521061193 .
• «Мономорфизм» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Ван Остен, Яап (1995). «Базовая теория категорий» (PDF) . Серия лекций по БРИКС . БРИКС, факультет компьютерных наук, Орхусский университет. ISSN   1395-2048 .
• Цаленко, М.С.; Шульгейфер, Э.Г. (1974). Основы теории категорий . Наука. ISBN  5-02-014427-4 .

Внешние ссылки

• мономорфизм в n Lab
• Сильный мономорфизм в n Lab