Эпиморфизм

Эта статья о математической функции. О биологическом явлении см. Эпиморфозы .

В теории категорий эпиморфизм морфизм это → f : X — Y , который является правосократимым в том смысле, что для всех объектов Z и всех морфизмов g ₁ , g ₂ : Y → Z ,

$g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.$

Эпиморфизмы являются категориальными аналогами онто- или сюръективных функций (а в категории множеств это понятие точно соответствует сюръективным функциям), но они не могут точно совпадать во всех контекстах; например, включение $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ является кольцевым эпиморфизмом. Двойственный категории эпиморфизму является мономорфизмом (т.е. эпиморфизм в C является мономорфизмом в двойственной категории C ^на ).

Многие авторы абстрактной и универсальной алгебры определяют эпиморфизм просто как онто- или сюръективный гомоморфизм . Каждый эпиморфизм в этом алгебраическом смысле является эпиморфизмом в смысле теории категорий, но обратное верно не для всех категорий. В данной статье термин «эпиморфизм» будет использоваться в приведенном выше смысле теории категорий. Подробнее об этом см. § Терминология ниже.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории , основная функция которого сюръективна , является эпиморфизмом. Во многих конкретных категориях интересов верно и обратное. Например, в следующих категориях эпиморфизмы — это именно те морфизмы, которые сюръективны на базовых множествах:

• Набор : наборы и функции. Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм f : X → Y в Set сюръективен, мы составим его как из характеристической функции g ₁ : Y → {0,1} образа f ( X ), так и из отображения g ₂ : Y → {0 ,1}, то есть константа 1.
• Rel : множества с бинарными отношениями и функциями, сохраняющими отношения. Здесь мы можем использовать то же доказательство, что и для Set , снабжая {0,1} полным отношением {0,1}×{0,1}.
• Pos : частично упорядоченные множества и монотонные функции . Если f : ( X , ≤) → ( Y , ≤) не сюръективно, выберите y ₀ в Y \ f ( X ) и пусть g ₁ : Y → {0,1} будет характеристической функцией { y | y ₀ ≤ y } и g ₂ : Y → {0,1} характеристическая функция { y | у ₀ < у }. Эти отображения являются монотонными, если {0,1} задан стандартный порядок 0 <1.
• Grp : группы и групповые гомоморфизмы . Результат о том, что каждый эпиморфизм в Grp сюръективен, принадлежит Отто Шрайеру (на самом деле он доказал больше, показав, что каждая подгруппа является эквалайзером, используя свободное произведение с одной объединенной подгруппой); элементарное доказательство можно найти в (Линдерхольм, 1970).
• FinGrp : конечные группы и гомоморфизмы групп. Также благодаря Шрайеру; доказательство, данное в (Линдерхольм, 1970), также доказывает этот случай.
• Ab : абелевы группы и гомоморфизмы групп.
• K -Vect : векторные пространства над полем K и K -линейные преобразования .
• Mod - R : правые модули над кольцом R и гомоморфизмы модулей . Это обобщает два предыдущих примера; Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм f : X → Y в Mod - R сюръективен, мы составляем его как с каноническим фактор-отображением g ₁ : Y → Y / f ( X ), так и с нулевым отображением g ₂ : Y → Y / f ( Х ).
• Вверху : топологические пространства и непрерывные функции . Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм в Top сюръективен, мы действуем точно так же, как в Set , задавая {0,1} недискретную топологию , которая гарантирует, что все рассматриваемые отображения непрерывны.
• HComp : компакты Хаусдорфа и непрерывные функции. Если f : X → Y не сюръективно, пусть y ∈ Y − fX . Поскольку функция fX замкнута, по лемме Урысона существует непрерывная функция g ₁ : Y → [0,1] такая, что g ₁ равна 0 на fX и 1 на y . Составляем f как с g ₁ , так и с нулевой функцией g ₂ : Y → [0,1].

Однако существует также много конкретных категорий, представляющих интерес, в которых эпиморфизмы не могут быть сюръективными. Вот несколько примеров:

• В моноидов Mon Z отображение включения N → категории является несюръективным эпиморфизмом. Чтобы убедиться в этом, предположим, что g ₁ и g ₂ — два различных отображения Z в некоторый моноид M . для некоторого n из Z Тогда g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ), поэтому g ₁ (− n ) ≠ g ₂ (− n ). Либо n, −n находится N , поэтому ограничения g1 _в и g2 _N на либо неравны.
• В категории алгебр над коммутативным кольцом R возьмем R [ N ] → R [ Z ], где R [ G ] — групповое кольцо группы G , а морфизм индуцируется включением N → Z, как в предыдущем примере. . Это следует из наблюдения, что 1 порождает алгебру R [ Z ] (обратите внимание, что единица в R [ Z ] задается 0 из Z ), а обратный элемент, представленный n в Z, является просто элементом, представленным — н . любой гомоморфизм из R [ Z ] однозначно определяется своим значением на элементе, представленном единицей из Z. Таким образом ,
• В категории колец Ring отображение включения Z → Q является несюръективным эпиморфизмом; чтобы убедиться в этом, заметим, что любой гомоморфизм колец на Q полностью определяется его действием на Z , как и в предыдущем примере. Аналогичный аргумент показывает, что естественный гомоморфизм колец любого коммутативного кольца R в любую его локализацию является эпиморфизмом.
• В категории коммутативных колец гомоморфизм конечно порожденный колец f : R → S является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда для всех простых идеалов P кольца R идеал Q , порожденный f ( P ), либо S , либо является простым, и если Q не является S , индуцированное отображение Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) является изоморфизмом ( EGA IV 17.2.6).
• В категории хаусдорфовых пространств Haus эпиморфизмы — это в точности непрерывные функции с плотными образами. Например, отображение включения Q → R является несюръективным эпиморфизмом.

Вышеизложенное отличается от случая мономорфизмов, где чаще бывает так, что мономорфизмы - это именно те, основные функции которых инъективны .

Что касается примеров эпиморфизмов в неконкретных категориях:

• Если моноид или кольцо рассматривать как категорию с единственным объектом (композицией морфизмов, заданных умножением), то эпиморфизмы представляют собой в точности правосократимые элементы.
• Если ориентированный граф рассматривать как категорию (объекты — вершины, морфизмы — пути, композиция морфизмов — конкатенация путей), то каждый морфизм является эпиморфизмом.

Свойства

Каждый изоморфизм является эпиморфизмом; на самом деле требуется только правосторонний обратный: если существует морфизм j : Y → X такой, что fj = id _Y , то f : X → Y , как легко увидеть, является эпиморфизмом. Карта с такой правосторонней инверсией называется расщепленным эпи . В топосе отображение, которое является одновременно моническим морфизмом и эпиморфизмом, является изоморфизмом.

Композиция двух эпиморфизмов снова является эпиморфизмом. Если композиция fg двух морфизмов является эпиморфизмом, то f должен быть эпиморфизмом.

Как показывают некоторые из приведенных выше примеров, свойство быть эпиморфизмом определяется не только морфизмом, но и категорией контекста. Если D — подкатегория C , , то каждый морфизм в D , который является эпиморфизмом, если рассматривать его как морфизм в также является эпиморфизмом в D. C Однако обратное не обязательно верно; меньшая категория может (и часто будет) иметь больше эпиморфизмов.

Что касается большинства понятий в теории категорий, эпиморфизмы сохраняются при эквивалентности категорий : при эквивалентности F : C → D морфизм f является эпиморфизмом в категории C тогда и только тогда, когда F ( f ) является эпиморфизмом в D . Двойственность между двумя категориями превращает эпиморфизмы в мономорфизмы и наоборот.

Определение эпиморфизма можно переформулировать так, чтобы утверждать, что f : X → Y является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированные отображения

${\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}$

инъективны выбора для любого Z . Это, в свою очередь, эквивалентно индуцированному естественному преобразованию

${\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}$

являющийся мономорфизмом в функторной категории Set ^С .

Каждый коэквалайзер является эпиморфизмом, что является следствием требования единственности в определении коэквалайзера. Отсюда, в частности, следует, что каждое коядро является эпиморфизмом. Обратное утверждение, а именно, что каждый эпиморфизм является коэквалайзером, неверно не во всех категориях.

Во многих категориях каждый морфизм можно записать как композицию эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Например, для группового гомоморфизма f : G → H мы можем определить группу K = im( f ), а затем записать f как композицию сюръективного гомоморфизма G → K , который определяется как f , за которым следует инъективный гомоморфизм K → H , который отправляет каждый элемент самому себе. Такая факторизация произвольного морфизма в эпиморфизм с последующим мономорфизмом может быть осуществлена ​​во всех абелевых категориях, а также во всех конкретных категориях, упомянутых выше в § Примеры (хотя и не во всех конкретных категориях).

Связанные понятия

Среди других полезных концепций регулярный эпиморфизм , экстремальный эпиморфизм , непосредственный эпиморфизм , сильный эпиморфизм и расщепленный эпиморфизм .

• Эпиморфизм называется регулярным , если он является соэквалайзером некоторой пары параллельных морфизмов.
• Эпиморфизм $\varepsilon$ говорят, что это экстремально если в каждом представлении $\varepsilon =\mu \circ \varphi$, где $\mu$ является мономорфизмом , морфизм $\mu$ автоматически является изоморфизмом .
• Эпиморфизм $\varepsilon$ называется непосредственным, если в каждом представлении $\varepsilon =\mu \circ \varepsilon '$, где $\mu$ является мономорфизмом и $\varepsilon '$ является эпиморфизмом, морфизм $\mu$ автоматически является изоморфизмом .

• 

  Эпиморфизм $\varepsilon :A\to B$ говорят, сильный если для любого мономорфизма $\mu :C\to D$ и любые морфизмы $\alpha :A\to C$ и $\beta :B\to D$ такой, что $\beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha$, существует морфизм $\delta :B\to C$ такой, что $\delta \circ \varepsilon =\alpha$ и $\mu \circ \delta =\beta$.
• Эпиморфизм $\varepsilon$ называется расщепленным, если существует морфизм $\mu$ такой, что $\varepsilon \circ \mu =1$ (в этом случае $\mu$ называется правосторонним обратным для $\varepsilon$).

В теории колец существует также понятие гомологического эпиморфизма . Морфизм f : A → B колец является гомологическим эпиморфизмом, если он является эпиморфизмом и индуцирует полный и точный функтор на производных категориях :D( ж ) : D( B ) → D( А ).

Морфизм, который является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, называется биморфизмом . Каждый изоморфизм является биморфизмом, но обратное, вообще говоря, неверно. Например, отображение полуинтервала [ 0,1) в единичную окружность S ¹ (думаемый как подпространство комплексной плоскости ), которое переводит x в exp(2πi x ) (см. формулу Эйлера ), является непрерывным и биективным, но не является гомеоморфизмом , поскольку обратное отображение не является непрерывным в точке 1, поэтому оно является экземпляром биморфизм, не являющийся изоморфизмом в категории Top . Другой пример — вложение Q → R в категорию Haus ; как отмечалось выше, это биморфизм, но он не биективен и, следовательно, не изоморфизм. Аналогично в категории колец отображение Z → Q является биморфизмом, но не изоморфизмом.

Эпиморфизмы используются для определения абстрактных фактор-объектов в общих категориях: два эпиморфизма f ₁ : X → Y ₁ и f ₂ : X → Y ₂ называются эквивалентными , если существует изоморфизм j : Y ₁ → Y ₂ с j   f _1. знак равно ж ₂ . Это эквивалентности , и классы эквивалентности определяются как факторобъекты X. отношение

Терминология

Сопутствующие термины эпиморфизм и мономорфизм были впервые введены Бурбаки . Бурбаки использует эпиморфизм как сокращение для сюръективной функции . Ранние теоретики категорий полагали, что эпиморфизмы были правильным аналогом сюръекций в произвольной категории, подобно тому, как мономорфизмы являются почти точным аналогом инъекций. К сожалению, это неверно; сильные или регулярные эпиморфизмы ведут себя гораздо ближе к сюръекциям, чем обычные эпиморфизмы. Сондерс Мак Лейн попытался провести различие между эпиморфизмами , которые представляли собой карты конкретной категории, базовые карты множества которых были сюръективными, и эпическими морфизмами , которые являются эпиморфизмами в современном смысле. Однако это различие так и не прижилось.

Распространенной ошибкой является мнение, что эпиморфизмы либо идентичны сюръекциям, либо являются лучшей концепцией. К сожалению, это случается редко; эпиморфизмы могут быть очень загадочными и вести себя неожиданно. Например, очень сложно классифицировать все эпиморфизмы колец. В общем, эпиморфизмы — это отдельная уникальная концепция, родственная сюръективам, но принципиально отличающаяся от них.

См. также

• Список тем теории категорий
• Мономорфизм

Ссылки

• Адамек, Иржи; Замечательно, Хорст; Стретчер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-60922-6 .
• Бергман, Джордж (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям . Спрингер. ISBN  978-3-319-11478-1 .
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категорической алгебре. Том 1: Базовая теория категорий . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521061193 .
• Риль, Эмили (2016). Теория категорий в контексте . Dover Publications, Inc. Минеола, Нью-Йорк. ISBN  9780486809038 .
• Цаленко, М.С.; Шульгейфер, Э.Г. (1974). Основы теории категорий . Наука. ISBN  5-02-014427-4 .
• «Эпиморфизм» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Ловер, Ф. Уильям; Роузбру, Роберт (2015). Наборы по математике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-80444-8 .
• Линдерхольм, Карл (1970). «Групповой эпиморфизм сюръективен» . Американский математический ежемесячник . 77 (2): 176–177. дои : 10.1080/00029890.1970.11992448 .

Внешние ссылки

• эпиморфизм в n Lab
• Сильный эпиморфизм в n Lab