Категория абелевых групп

В математике категория в Ab имеет абелевы группы в качестве объектов и гомоморфизмы групп качестве морфизмов . Это прототип абелевой категории : действительно, каждая малая абелева категория может быть вложена в Ab .

Свойства

Нулевым объектом Ab {0} , является тривиальная группа состоящая только из своего нейтрального элемента .

Мономорфизмы гомоморфизмы в Ab — это инъективных групп, эпиморфизмы — это гомоморфизмы сюръективных групп, а изоморфизмы — это гомоморфизмы биективных групп.

Ab это полная подкатегория Grp , категории всех — групп . Основное различие между Ab и Grp состоит в том, что сумма двух гомоморфизмов f и g между абелевыми группами снова является групповым гомоморфизмом:

( ж + г )( Икс + у ) знак равно ж ( Икс + у ) + г ( Икс + у ) знак равно ж ( Икс ) + ж ( у ) + г ( Икс ) + г ( у )

знак равно ж ( Икс ) + г ( Икс ) + ж ( у ) + г ( у ) знак равно ( ж + г )( Икс ) + ( ж + г )( у )

Третье равенство требует, чтобы группа была абелевой. Это добавление морфизма превращает Ab в преаддитивную категорию , и поскольку прямая сумма конечного числа абелевых групп дает бипродукт , мы действительно имеем аддитивную категорию .

В Ab понятие ядра в смысле теории категорий совпадает с ядром в алгебраическом смысле , т.е. категориальное ядро ​​морфизма f : A → B — это подгруппа K группы A , определенная формулой K = { x ∈ A : f ( x ) = 0} вместе с гомоморфизмом включения i : K → A . То же самое верно и для коядер ; коядро f — это факторгруппа C = B / f ( A вместе с естественной проекцией p : B → C. ) (Обратите внимание на еще одно решающее различие между Ab и Grp : в Grp может случиться так, что f ( A ) не является подгруппой B нормальной , и, следовательно, факторгруппа B / f ( A ) не может быть сформирована.) С помощью этих конкретных описаний ядер и коядер довольно легко проверить, что Ab действительно абелева категория .

Продукт групп в Ab задается произведением , образованным путем взятия декартова произведения базовых наборов и выполнения групповой операции покомпонентно. Поскольку у Ab есть ядра, можно показать, что Ab — полная категория . Копродукт ; в Ab определяется прямой суммой поскольку Ab имеет коядра, отсюда следует, что Ab также кополна .

У нас есть функтор забывания Ab → Set , который присваивает каждой абелевой группе базовое множество , а каждому групповому гомоморфизму — основную функцию . Этот функтор точен , и поэтому Ab — конкретная категория . Функтор забывания имеет левый сопряженный (который сопоставляет данному набору свободную абелеву группу с этим набором в качестве базиса), но не имеет правого сопряженного.

Получение прямых пределов в Ab является точным функтором . Поскольку группа целых чисел Z служит генератором , категория Ab , следовательно, является категорией Гротендика ; на самом деле это прототип категории Гротендика.

Объект в Ab инъективен тогда и только тогда , когда он является делимой группой ; она проективна тогда и только тогда, когда она — свободная абелева группа . Категория имеет проективный генератор ( Z ) и инъективный когенератор ( Q / Z ).

Для двух абелевых групп A и B их тензорное произведение A ⊗ B определено ; это снова абелева группа. С этим понятием произведения Ab является замкнутой симметричной моноидальной категорией .

Ab не является топосом, поскольку, например, у него есть нулевой объект.

См. также

• Категория модулей
• Абелев пучок - многие факты о категории абелевых групп продолжают сохраняться и для категории пучков абелевых групп.

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 . Збл   0906.18001 .
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83414-7 . Збл   1034.18001 .