Jump to content

Категория абелевых групп

В математике категория Ab гомоморфизмы имеет абелевы группы в качестве объектов и групп в качестве морфизмов . Это прототип абелевой категории : [1] действительно, каждая малая абелева категория может быть вложена в Ab . [2]

Свойства [ править ]

Нулевым объектом Ab {0} , является тривиальная группа состоящая только из своего нейтрального элемента .

Мономорфизмы гомоморфизмы биективных в Ab — это гомоморфизмы инъективных групп, эпиморфизмы это гомоморфизмы сюръективных групп, а изоморфизмы — это групп.

Ab это полная подкатегория Grp , категории всех групп . Основное различие между Ab и Grp состоит в том, что сумма двух гомоморфизмов f и g между абелевыми группами снова является групповым гомоморфизмом:

( ж + г )( Икс + у ) знак равно ж ( Икс + у ) + г ( Икс + у ) знак равно ж ( Икс ) ж ( у + ) + г ( Икс ) + г ( у )
) знак равно знак равно ж ( Икс ) + г ( Икс ) + ж ( у ) + г ( у ( ж + г )( Икс ) + ( ж + г )( у )

Третье равенство требует, чтобы группа была абелевой. Это добавление морфизма превращает Ab в преаддитивную категорию , и поскольку прямая сумма конечного числа абелевых групп дает бипроизведение , мы действительно имеем аддитивную категорию .

В Ab понятие ядра в смысле теории категорий совпадает с ядром в алгебраическом смысле , т.е. категориальное ядро ​​морфизма f : A B — это подгруппа K группы A, определенная формулой K = { x A : f ( x ) = 0} вместе с гомоморфизмом включения i : K A . То же самое верно и для коядер ; коядро f — это факторгруппа C = B / f ( A вместе с естественной проекцией p : B C. ) одно решающее различие между Ab и Grp : в Grp может случиться так, что f ( A ) не является нормальной подгруппой B (Обратите внимание на еще и, следовательно, факторгруппа B / f ( A ) не может быть сформирована.) С помощью этих конкретных описаний ядер и коядер довольно легко проверить, что Ab действительно абелева категория .

Продукт базовых в Ab задается произведением групп , образованным путем взятия декартова произведения наборов и выполнения групповой операции покомпонентно. Поскольку у Ab есть ядра, можно показать, что Ab полная категория . Копродукт ; в Ab определяется прямой суммой поскольку Ab имеет коядра, отсюда следует, что Ab также кополна .

У нас есть функтор забывания Ab Set , который присваивает каждой абелевой группе базовое множество , а каждому групповому гомоморфизму — основную функцию . Этот функтор точен , и поэтому Ab конкретная категория . Функтор забывания имеет левый сопряженный (который сопоставляет данному набору свободную абелеву группу с этим набором в качестве базиса), но не имеет правого сопряженного.

Получение прямых пределов в Ab является точным функтором . Поскольку группа целых чисел Z служит генератором , категория Ab , следовательно, является категорией Гротендика ; на самом деле это прототип категории Гротендика.

Объект в Ab инъективен тогда и только тогда , когда он является делимой группой ; она проективна тогда и только тогда, когда она — свободная абелева группа . Категория имеет проективный генератор ( Z ) и инъективный когенератор ( Q / Z ).

Для двух абелевых групп A и B их тензорное произведение A B определено ; это снова абелева группа. С этим понятием произведения Ab является замкнутой симметричной моноидальной категорией .

Ab не является топосом, поскольку, например, у него есть нулевой объект.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556
  • Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 . Збл   0906.18001 .
  • Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83414-7 . Збл   1034.18001 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: bceb1331be7c23c4cd20e114baed306b__1699894080
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/bc/6b/bceb1331be7c23c4cd20e114baed306b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Category of abelian groups - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)