Проекционный модуль

В математике , особенно в алгебре , класс проективных модулей расширяет класс свободных модулей (то есть модулей с базисными векторами ) по кольцу , сохраняя некоторые основные свойства свободных модулей. Различные эквивалентные характеристики этих модулей приведены ниже.

Каждый свободный модуль является проективным модулем, но обратное утверждение неверно для некоторых колец, таких как кольца Дедекинда , которые не являются областями главных идеалов . Однако каждый проективный модуль является свободным модулем, если кольцо является областью главных идеалов, такой как целые числа , или кольцом (многомерного) многочлена над полем (это теорема Квиллена – Суслина ).

Проективные модули были впервые представлены в 1956 году во влиятельной книге «Гомологическая алгебра» Анри Картана и Сэмюэля Эйленберга .

Определения

Подъемное имущество

Обычное теоретико-категорное определение основано на свойстве подъема , которое переносится со свободных модулей на проективные: модуль P является проективным тогда и только тогда, когда для каждого сюръективного гомоморфизма модулей f : N ↠ M и каждого гомоморфизма модулей g : P → M существует гомоморфизм модулей h : P → N такой, что f   h = g . (Мы не требуем, чтобы лифтинг-гомоморфизм h был единственным; это не универсальное свойство .)

Преимущество этого определения «проективного» состоит в том, что оно может быть реализовано в категориях более общих, чем категории модулей : нам не нужно понятие «свободный объект». Его также можно дуализировать , что приводит к инъективным модулям . Свойство подъема можно также перефразировать как любой морфизм из $P$ к $M$ факторы через каждый эпиморфизм к $M$. Таким образом, по определению проективные модули — это именно проективные объекты категории модулей R - .

Последовательности с точным разделением

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда каждая короткая точная последовательность модулей вида

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0$

является расщепленной точной последовательностью . То есть для каждого сюръективного гомоморфизма модулей f : B ↠ P существует отображение сечения , то есть гомоморфизм модулей h : P → B такой, что f   h = id _P . этом случае h ( P ) — прямое слагаемое B , h — изоморфизм P h в P ( ( ) , а h   f — проекция на слагаемое h В P ) . Эквивалентно,

$B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ where }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ and }}\operatorname {Im} (h)\cong P.$

Прямые слагаемые свободных модулей

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда существует другой модуль Q такой, что сумма P прямая и Q является свободным модулем.

Точность

R -модуль является проективным тогда и только тогда , P когда ковариантный функтор Hom( P , -): R - Mod → Ab является точным функтором , где R - Mod - категория левых R -модулей, а Ab - категория абелевых группы . кольцо R коммутативно Когда , Ab предпочтительно заменяется на R - Mod в предыдущей характеристике. Этот функтор всегда точен слева , но, когда P проективен, он также точен справа. Это означает, что P проективен тогда и только тогда, когда этот функтор сохраняет эпиморфизмы (сюръективные гомоморфизмы) или если он сохраняет конечные копределы .

Двойной базис

Модуль P проективен тогда и только тогда, когда существует множество $\{a_{i}\in P\mid i\in I\}$ и набор $\{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}$ такой, что для каждого ) отлично от нуля только _{конечного} для x в P, fi (x числа i , и $x=\sum f_{i}(x)a_{i}$.

Элементарные примеры и свойства

Следующие свойства проективных модулей быстро выводятся из любого из приведенных выше (эквивалентных) определений проективных модулей:

• Прямые суммы и прямые слагаемые проективных модулей проективны.
• Если е = е ² — идемпотент в кольце R , то Re — проективный левый модуль R. над

Позволять $R=R_{1}\times R_{2}$ быть прямым произведением двух колец $R_{1}$ и $R_{2},$которое является кольцом для покомпонентных операций. Позволять $e_{1}=(1,0)$ и $e_{2}=(0,1).$ Затем $e_{1}$ и $e_{2}$ и принадлежат центру являются идемпотентами $R.$ Двусторонние идеалы $Re_{1}$ и $Re_{2}$являются проективными модулями, так как их прямая сумма (как R -модулей) равна свободному R -модулю R . Однако, если $R_{1}$ и $R_{2}$ нетривиальны, то они несвободны как модули над $R$. Например $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ проективен, но не свободен $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$.

Связь с другими теоретико-модульными свойствами

Связь проективных модулей со свободными и плоскими модулями отражена в следующей диаграмме свойств модуля:

Импликации слева направо верны для любого кольца, хотя некоторые авторы определяют модули без кручения только в области определения . Импликации справа налево справедливы для обозначающих их колец. Могут быть и другие кольца, для которых они верны. Например, импликация, помеченная как « локальное кольцо или PID», также верна для (многомерных) колец полиномов над полем : это теорема Квиллена – Суслина .

Проективные и бесплатные модули

Любой свободный модуль проективен. Обратное верно в следующих случаях:

• если R — поле или тело : в этом случае любой модуль свободен.
• если кольцо R является областью главных идеалов . Например, это относится к R = Z ( целые числа ), поэтому абелева группа является проективной тогда и только тогда, когда она является свободной абелевой группой . Причина в том, что любой подмодуль свободного модуля в области главных идеалов свободен.
• если кольцо R является локальным . Этот факт лежит в основе интуиции «локально свободный = проективный». Этот факт легко доказать для конечно порожденных проективных модулей. В целом это заслуга Капланского (1958) ; см. теорему Капланского о проективных модулях .

Однако в целом проективные модули не обязательно должны быть бесплатными:

• Над прямым произведением колец R × S , где R и S — ненулевые кольца, оба R × 0 и 0 × S являются несвободными проективными модулями.
• В дедекиндовой области неглавным всегда является проективный модуль , идеалом не являющийся свободным модулем.
• Над кольцом матриц M _n ( R ) естественный модуль R ^н проективен, но несвободен при n > 1.
• Над полупростым кольцом модуль каждый проективен, но ненулевой собственный левый (или правый) идеал не является свободным модулем. Таким образом, единственные полупростые кольца, у которых все проективы свободны, — это тела .

Разница между свободными и проективными модулями в некотором смысле измеряется алгебраической K -теории группой K ₀ ( R ); см. ниже.

плоские

Каждый проективный модуль плоский . Обратное, вообще говоря, неверно: абелева группа Q представляет собой Z -модуль, плоский, но не проективный.

И наоборот, конечно связанный плоский модуль проективен.

Говоров (1965) и Лазар (1969) доказали, что модуль M плоский тогда и только тогда, когда он является прямым пределом конечно порожденных свободных модулей .

В целом, точная связь между плоскостностью и проективностью была установлена ​​Рейно и Грусоном (1971) (см. также Дринфельд (2006) и Браунлинг, Грохениг и Вольфсон (2016) ), которые показали, что модуль M проективен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условиям следующие условия:

• М — плоский,
• M — прямая сумма счетно порожденных модулей,
• M удовлетворяет определенному условию типа Миттаг-Леффлера .

Эту характеристику можно использовать, чтобы показать, что если $R\to S$ является точно плоским отображением коммутативных колец и $M$ является $R$-модуль, то $M$ проективно тогда и только тогда, когда $M\otimes _{R}S$ является проективным. Другими словами, свойство проективности удовлетворяет строго плоскому спуску .

Категория проективных модулей

Субмодули проективных модулей не обязательно должны быть проективными; Кольцо R , для которого каждый подмодуль проективного левого модуля проективен, называется наследственным слева .

Факторы проективных модулей также не обязательно должны быть проективными, например, Z / n является фактором Z , но не без кручения , следовательно, не плоским и, следовательно, не проективным.

Категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом является точной категорией . (См. также алгебраическая К-теория ).

Проекционное разрешение

Основная статья: Проективное разрешение

Для данного модуля M проективная . резольвента M представляет собой бесконечную точную последовательность модулей

⋅⋅⋅ → П _н → ⋅⋅⋅ → П ₂ → П ₁ → П ₀ → М → 0,

со всеми P _{проективными} . Каждый модуль обладает проективной резольвентой. На самом деле свободное разрешение (разрешение бесплатными модулями) существует. Точная последовательность проективных модулей иногда может быть сокращена до P ( M ) → M → 0 или P _• → M → 0 . Классический пример проективной резольвенты даёт комплекс Кошуля регулярной последовательности , который является свободной резольвентой идеала, порождённого этой последовательностью.

Длина , конечного разрешения — это индекс n такой, что P _n не равен нулю и P _i = 0 для i больше n . Если M допускает конечную проективную резолюцию, минимальная длина среди всех конечных проективных резольвент M называется ее проективной размерностью и обозначается pd( M ). Если M не допускает конечной проективной резольвенты, то по соглашению проективная размерность называется бесконечной. В качестве примера рассмотрим модуль M такой, что pd( M ) = 0 . В этой ситуации точность последовательности 0 → P ₀ → M → 0 указывает на то, что стрелка в центре является изоморфизмом, а значит, M само проективно.

Проективные модули

Проективные модули над коммутативными кольцами обладают приятными свойствами.

Локализация . проективного модуля — это проективный модуль над локализованным кольцом Проективный модуль над локальным кольцом свободен. Таким образом, проективный модуль локально свободен (в том смысле, что его локализация в каждом простом идеале свободна над соответствующей локализацией кольца).

Обратное верно для конечно порожденных модулей над нётеровыми кольцами : конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом локально свободен тогда и только тогда, когда он проективен.

Однако существуют примеры конечно порожденных модулей над ненетеровым кольцом, которые локально свободны и не проективны. Например, булево кольцо имеет все свои локализации, изоморфные F ₂ , полю из двух элементов, поэтому любой модуль над булевым кольцом локально свободен, но существуют некоторые непроективные модули над булевыми кольцами. Одним из примеров является R / I , где R — прямое произведение счетного числа копий F2 _, а I копий F2 _{прямая сумма счетного числа} внутри R. — R R -модуль R / I локально свободен, поскольку является булевым (и он также конечно порожден как R -модуль с охватывающим множеством размера 1), но R / I не проективен, поскольку Я не является главным идеалом. (Если фактор-модуль R / I для любого коммутативного кольца R и идеала I является проективным R -модулем, то I является главным.)

Однако верно, что для конечно определенных модулей M над коммутативным кольцом R (в частности, если M — конечно порожденный R -модуль и R нётерово) следующие утверждения эквивалентны.

1. $M$ плоский.
2. $M$ является проективным.
3. $M_{\mathfrak {m}}$ бесплатно, как $R_{\mathfrak {m}}$-модуль для каждого максимального идеала ${\mathfrak {m}}$ Р. ​ ​
4. $M_{\mathfrak {p}}$ бесплатно, как $R_{\mathfrak {p}}$-модуль для каждого простого идеала ${\mathfrak {p}}$ Р. ​ ​
5. Существуют $f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$ генерируя единичный идеал такой, что $M[f_{i}^{-1}]$ бесплатно, как $R[f_{i}^{-1}]$-модуль для каждого i .
6. ${\widetilde {M}}$ является локально свободным пучком на $\operatorname {Spec} R$ (где ${\widetilde {M}}$ — пучок, ассоциированный с M .)

Более того, если R — нётерова область целостности , то по лемме Накаямы эти условия эквивалентны

• Размер ​ ​ $k({\mathfrak {p}})$- векторное пространство $M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})$ одинаково для всех простых идеалов ${\mathfrak {p}}$ R , где $k({\mathfrak {p}})$ – поле вычетов в ${\mathfrak {p}}$. То есть M имеет постоянный ранг (как определено ниже).

Пусть A — коммутативное кольцо. Если B (возможно, некоммутативная) A - алгебра , которая является конечно порожденным проективным A содержащим A в качестве подкольца , то A является прямым фактором B. -модулем ,

Ранг

Пусть P — конечно порожденный проективный модуль над коммутативным кольцом R а X — спектр кольца R. , Ранг P в идеале простом ${\mathfrak {p}}$ в X — ранг свободного $R_{\mathfrak {p}}$-модуль $P_{\mathfrak {p}}$. Это локально постоянная функция X. на В частности, если X связен (т. е. если R не имеет других идемпотентов, кроме 0 и 1), то P имеет постоянный ранг.

Векторные пакеты и локально бесплатные модули

Основная мотивация теории состоит в том, что проективные модули (по крайней мере, над некоторыми коммутативными кольцами) являются аналогами векторных расслоений . Это можно уточнить для кольца непрерывных вещественных функций на компактном хаусдорфовом пространстве , а также для кольца гладких функций на гладком многообразии (см. теорему Серра – Свона , которая гласит, что конечно порожденный проективный модуль над пространством гладкие функции на компактном многообразии — пространство гладких сечений гладкого векторного расслоения ).

Векторные пакеты являются локально бесплатными . Если существует какое-то понятие «локализации», которое можно перенести на модули, например обычная локализация кольца , можно определить локально свободные модули, и тогда проективные модули обычно совпадают с локально свободными модулями.

Проективные модули над кольцом многочленов

Теорема Квиллена–Суслина , которая решает проблему Серра, представляет собой еще один результат : если K — поле или, в более общем смысле, главных идеалов , а R = K [ X1 _{глубокий} ,..., Xn _{область} ] — кольцо полиномов над K , то каждый проективный модуль над R свободен. Эта проблема была впервые поднята Серром с полем K (и конечно порожденными модулями). Басс решил это для неопределенно сгенерированных модулей, а Квиллен и Суслин независимо и одновременно рассмотрели случай конечно порожденных модулей.

Поскольку каждый проективный модуль над областью главных идеалов свободен, можно задать такой вопрос: если R — коммутативное кольцо такое, что каждый (конечно порожденный) проективный R -модуль свободен, то каждый ли (конечно порожденный) проективный R [ X ] -модуль бесплатный? Ответ - нет . Контрпример R возникает, когда равно локальному кольцу кривой y ² = х ³ в начале. Таким образом, теорему Квиллена–Суслина никогда нельзя было доказать простой индукцией по числу переменных.

См. также

• Проекционное покрытие
• Лемма Шануэля
• Теорема об отмене баса
• Модульная теория представлений

Ссылки

• Уильям А. Адкинс; Стивен Х. Вайнтрауб (1992). Алгебра: подход через теорию модулей . Спрингер. Раздел 3.5.
• Иэн Т. Адамсон (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. ISBN  0-05-002192-3 .
• Николя Бурбаки , Коммутативная алгебра, гл. II, §5.
• Браунлинг, Оливер; Грехениг, Майкл; Вольфсон, Джесси (2016), «Объекты Тейт в точных категориях», Моск. Математика. J. , 16 (3), arXiv : 1402.4969v4 , doi : 10.17323/1609-4514-2016-16-3-433-504 , MR   3510209 , S2CID   118374422
• Пол М. Кон (2003). Далее алгебра и приложения . Спрингер. ISBN  1-85233-667-6 .
• Дринфельд, Владимир (2006), «Бесконечномерные векторные расслоения в алгебраической геометрии: введение», Павел Этингоф; Владимир Ретах; И. М. Сингер (ред.), Единство математики , Birkhäuser Boston, стр. 263–304, arXiv : math/0309155v4 , doi : 10.1007/0-8176-4467-9_7 , ISBN  978-0-8176-4076-7 , МР   2181808
• Говоров В.Е. (1965), "О плоских модулях (рус.)", Сиб. матем. Дж. , 6 : 300–304
• Хазевинкель, Михель ; Губарень, Надя ; Кириченко, Владимир В. (2004). Алгебры, кольца и модули . Спрингер Наука . ISBN  978-1-4020-2690-4 .
• Капланский, Ирвинг (1958), «Проективные модули», Ann. математики. , 2, 68 (2): 372–377, doi : 10.2307/1970252 , hdl : 10338.dmlcz/101124 , JSTOR   1970252 , MR   0100017
• Ланг, Серж (1993). Алгебра (3-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN  0-201-55540-9 .
• Лазар, Д. (1969), «Вокруг банальности», Bulletin de la Société Mathématique de France , 97 : 81–128, doi : 10.24033/bsmf.1675
• Милн, Джеймс (1980). Показывает когомологии . Принстонский университет. Нажимать. ISBN  0-691-08238-3 .
• Дональд С. Пассман (2004) Курс теории колец , особенно глава 2. Проективные модули, стр. 13–22, AMS Chelsea, ISBN   0-8218-3680-3 .
• Рейно, Мишель; Грусон, Лоран (1971), «Критерии плоскостности и проективности», Invent. Математика. , 13 :1–89, Бибкод : 1971InMat..13....1R , doi : 10.1007/BF01390094 , MR   0308104 , S2CID   117528099
• Пауло Рибенбойм (1969) Кольца и модули , §1.6 Проективные модули, стр. 19–24, Interscience Publishers .
• Чарльз Вейбель , К-книга: Введение в алгебраическую К-теорию

Дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/272018/faithfully-flat-descent-of-projectivity-for-non-commutative-rings