Основная идеальная область

В математике область главных идеалов , или PID , представляет собой целую область , в которой каждый идеал является главным , то есть может быть порожден одним элементом. В более общем смысле, кольцо главных идеалов — это ненулевое коммутативное кольцо , идеалы которого являются главными, хотя некоторые авторы (например, Бурбаки ) называют PID главными кольцами. Отличие состоит в том, что кольцо главных идеалов может иметь делители нуля , а область главных идеалов — нет.

Таким образом, основные идеальные области представляют собой математические объекты, которые ведут себя примерно как целые числа в отношении делимости : любой элемент PID имеет уникальное разложение на простые элементы (поэтому сохраняется аналог фундаментальной теоремы арифметики ); любые два элемента ПИДа имеют наибольший общий делитель может оказаться невозможно (хотя найти его с помощью алгоритма Евклида ). Если $x$ и $y$ являются элементами PID без общих делителей, то каждый элемент PID можно записать в виде $ax + by$ .

Области главных идеалов нётеровы , целозамкнуты , являются областями уникальной факторизации и дедекиндовыми областями . Все евклидовы области и все поля являются областями главных идеалов.

Главные идеальные области появляются в следующей цепочке включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Примеры [ править ]

Примеры включают в себя:

$K$ : любое поле ,
$\mathbb {Z}$ : кольцо целых чисел , ^[1]
$K[x]$ : кольца многочленов от одной переменной с коэффициентами в поле. (Обратное также верно, т.е. если $A[x]$ тогда это PID $A$ является полем.) Кроме того, кольцо формальных степенных рядов от одной переменной над полем является ПИД, поскольку каждый идеал имеет вид $(x^{k})$ ,
$\mathbb {Z} [i]$ : кольцо гауссовских целых чисел , ^[2]
$\mathbb {Z} [\omega ]$ (где $\omega$ является примитивным кубическим корнем из 1): целые числа Эйзенштейна ,
Любое кольцо дискретного нормирования , например кольцо $p$ -адических целых чисел. $\mathbb {Z} _{p}$ .

Непримеры [ править ]

Примеры целостных доменов, не являющихся PID:

$\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ является примером кольца, которое не является уникальной областью факторизации , поскольку $4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).$ Следовательно, это не область главных идеалов, поскольку области главных идеалов являются уникальными областями факторизации. Также, $\langle 2,1+{\sqrt {-3}}\rangle$ – это идеал, который не может быть порожден одним элементом.
$\mathbb {Z} [x]$ : кольцо всех многочленов с целыми коэффициентами. Это не принципиально, потому что $\langle 2,x\rangle$ является идеалом, который не может быть порожден одним многочленом.
$K[x,y,\ldots ],$ кольцо многочленов не менее чем от двух переменных над кольцом $K$ не является главным, поскольку идеал $\langle x,y\rangle$ не является основным.
Большинство колец целых алгебраических чисел не являются областями главных идеалов. Это одна из основных причин, лежащих в основе определения Дедекиндова области Дедекинда , которое позволяет заменить уникальную факторизацию элементов уникальной факторизацией идеалов. В частности, многие $\mathbb {Z} [\zeta _{p}],$ для примитивного корня p-й степени из единицы $\zeta _{p},$ не являются главными идеальными областями. ^[3] Номер класса кольца целых алгебраических чисел дает меру того, «насколько далеко» кольцо находится от области главного идеала.

Модули [ править ]

Ключевым результатом является структурная теорема: если R — область главных идеалов, а M — конечно сгенерированный R -модуль, то $M$ является прямой суммой циклических модулей, т. е. модулей с одним образующим. Циклические модули изоморфны $R/xR$ для некоторых $x\in R$ ^[4] (Заметь $x$ может быть равен $0$ , в таком случае $R/xR$ является $R$ ).

Если M — свободный модуль над областью главных идеалов R , то каждый подмодуль M снова свободен. ^[5] Это не справедливо для модулей над произвольными кольцами, как в примере $(2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]$ модулей более $\mathbb {Z} [X]$ шоу.

Свойства [ править ]

В области главного идеала любые два элемента $a, b$ имеют наибольший общий делитель , который можно получить как генератор идеала $(a, b)$ .

Все евклидовы области являются областями главных идеалов, но обратное неверно. Примером области главного идеала, не являющейся евклидовой областью, является кольцо $\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]$ , ^[6]^[7] это было доказано Теодором Моцкиным и это был первый известный случай. ^[8]В этой области не $существует q$ и $r$ , причем $0 \leq | р | < 4$ , так что $(1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r$ , несмотря на $1+{\sqrt {-19}}$ и $4$ имеющие наибольший общий делитель $2$ .

Каждая область главного идеала является уникальной областью факторизации (UFD). ^[9]^[10]^[11]^[12]Обратное неверно, поскольку для любого UFD $K$ кольцо $K [X, Y]$ полиномов от двух переменных является UFD, но не PID. (Чтобы доказать это, рассмотрим идеал, порожденный $\left\langle X,Y\right\rangle .$ Это не целое кольцо, поскольку оно не содержит многочленов степени 0, но оно не может быть порождено каким-либо одним элементом.)

Каждая область главных идеалов нётерова .
Во всех кольцах с единицей идеалы просты . максимальные В областях главных идеалов справедливо обратное: каждый ненулевой простой идеал максимален.
Все области главных идеалов целозамкнуты .

Предыдущие три утверждения дают определение дедекиндовой области , и, следовательно, каждая область главного идеала является дедекиндовой областью.

Пусть A — область целостности. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

A — это PID.
Каждый простой идеал кольца A является главным. ^[13]
A — дедекиндовский домен, являющийся UFD.
Каждый конечно порожденный идеал A является главным (т. е. A является областью Безу ), и A удовлетворяет условию возрастающей цепи на главных идеалах .
A допускает норму Дедекинда–Хассе . ^[14]

Любая евклидова норма является нормой Дедекинда-Хассе; таким образом, (5) показывает, что евклидов домен является PID. (4) по сравнению с:

Область целостности является UFD тогда и только тогда, когда она является областью НОД (т. е. областью, в которой каждые два элемента имеют наибольший общий делитель), удовлетворяющей условию возрастающей цепи на главных идеалах.

Область целостности является областью Безу тогда и только тогда, когда любые два элемента в ней имеют НОД, который является линейной комбинацией этих двух. Таким образом, домен Безу является доменом НОД, и (4) дает еще одно доказательство того, что PID является UFD.

См. также [ править ]

Личность Безу

Примечания [ править ]

^ См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 73, следствие теоремы 1.7, и примечания на с. 369, после следствия теоремы 7.2
^ См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 385, теорема 7.8 и с. 377, Теорема 7.4.
^ Милн, Джеймс . «Алгебраическая теория чисел» (PDF) . п. 5.
^ См. также Рибенбойм (2001), с. 113 , доказательство леммы 2.
^ Лекция 1. Подмодули бесплатных модулей по PID math.sc.edu Проверено 31 марта 2023 г.
^ Уилсон, Джек К. «Основное кольцо, которое не является евклидовым кольцом». Математика. Маг 46 (январь 1973 г.) 34–38 [1]
^ Джордж Бергман, Основная идеальная область, которая не является евклидовой - разработана как серия упражнений. Файл PostScript.
^ Моцкин, Т. (декабрь 1949 г.). «Алгоритм Евклида» . Бюллетень Американского математического общества . 55 (12): 1142–1146. ISSN 0002-9904 .
^ Доказательство: каждый простой идеал порождается одним элементом, который обязательно является простым. Теперь обратимся к тому, что область целостности является УФО тогда и только тогда, когда ее простые идеалы содержат простые элементы.
^ Джейкобсон (2009), с. 148, теорема 2.23.
^ Фрели и Кац (1967), с. 368, Теорема 7.2.
^ Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), стр.166 , Теорема 7.2.1.
^ «ТИ Лам и Мануэль Л. Рейес, основной идеальный принцип в коммутативной алгебре» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2010 года . Проверено 31 марта 2023 г.
^ Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), стр.170 , Предложение 7.3.3.

Ссылки [ править ]

Михил Хазевинкель , Надежда Губарени, В.В. Кириченко. Алгебры, кольца и модули . Издательство Kluwer Academic , 2004. ISBN 1-4020-2690-0
Джон Б. Фрели, Виктор Дж. Кац. Первый курс абстрактной алгебры . Издательство Аддисон-Уэсли. 5 изд., 1967. ISBN 0-201-53467-3
Натан Джейкобсон . Основная алгебра И. Довер, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1
Пауло Рибенбойм. Классическая теория алгебраических чисел . Спрингер, 2001. ISBN 0-387-95070-2

Внешние ссылки [ править ]

Главное MathWorld кольцо

[1] См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 73, следствие теоремы 1.7, и примечания на с. 369, после следствия теоремы 7.2

[2] См. Fraleigh & Katz (1967), стр. 385, теорема 7.8 и с. 377, Теорема 7.4.

[3] Милн, Джеймс . «Алгебраическая теория чисел» (PDF) . п. 5.

[4] См. также Рибенбойм (2001), с. 113 , доказательство леммы 2.

[5] Лекция 1. Подмодули бесплатных модулей по PID math.sc.edu Проверено 31 марта 2023 г.

[6] Уилсон, Джек К. «Основное кольцо, которое не является евклидовым кольцом». Математика. Маг 46 (январь 1973 г.) 34–38 [1]

[7] Джордж Бергман, Основная идеальная область, которая не является евклидовой - разработана как серия упражнений. Файл PostScript.

[8] Моцкин, Т. (декабрь 1949 г.). «Алгоритм Евклида» . Бюллетень Американского математического общества . 55 (12): 1142–1146. ISSN 0002-9904 .

[9] Доказательство: каждый простой идеал порождается одним элементом, который обязательно является простым. Теперь обратимся к тому, что область целостности является УФО тогда и только тогда, когда ее простые идеалы содержат простые элементы.

[10] Джейкобсон (2009), с. 148, теорема 2.23.

[11] Фрели и Кац (1967), с. 368, Теорема 7.2.

[12] Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), стр.166 , Теорема 7.2.1.

[13] «ТИ Лам и Мануэль Л. Рейес, основной идеальный принцип в коммутативной алгебре» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2010 года . Проверено 31 марта 2023 г.

[14] Хазевинкель, Губарени и Кириченко (2004), стр.170 , Предложение 7.3.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]