Биалгебра

В математике биалгебра векторное над полем K — это пространство над K , которое является одновременно с единицей ассоциативной алгеброй и коассоциативной коалгеброй с единицей . ^[1]^: 46 Алгебраические и коалгебраические структуры совместимы с еще несколькими аксиомами. В частности, коумножение и единица алгебры с единицей являются гомоморфизмами , или, что то же самое, умножение и единица алгебры оба являются морфизмами коалгебры . ^[1]^: 46 (Эти утверждения эквивалентны, поскольку выражаются одними и теми же коммутативными диаграммами .) ^[1]^: 46

Подобные биалгебры связаны гомоморфизмами биалгебр. Гомоморфизм биалгебры — это линейное отображение , которое является одновременно алгеброй и гомоморфизмом коалгебры. ^[2]^: 45

Как это отражено в симметрии коммутативных диаграмм, определение биалгебры самодвойственно , поэтому, если можно определить двойственную к B (что всегда возможно, если B конечномерна), то она автоматически становится биалгеброй.

Формальное определение [ править ]

( B , ∇, η, Δ, ε) является биалгеброй над K, если она обладает следующими свойствами:

B — векторное пространство над K ;
существуют K - линейные отображения (умножения) ∇: B ⊗ B → B (эквивалентные K - полилинейному отображению ∇: B × B → B ) и (единичные) η: K → B такие, что ( B , ∇, η) — ассоциативная алгебра с единицей ;
существуют K -линейные отображения (коумножения) ∆: B → B ⊗ B и (коединица) ε: B → K такие, что ( B , ∆, ε) является (коунитальной коассоциативной) коалгеброй ;
Условия совместимости выражаются следующими коммутативными диаграммами :

Умножение ∇ и коумножение ∆ ^[3]^: 147
где τ: B ⊗ B → B ⊗ B — линейное отображение , определяемое формулой τ( x ⊗ y ) = y ⊗ x для всех x и y в B ,
Умножение ∇ и единица ε ^[4]^: 148
Коумножение Δ и единица η ^[4]^: 148
Блок n и блок e ^[4]^: 148

Коассоциативность и коединица [ править ]

K - линейное отображение ∆: B → B ⊗ B коассоциативно , если $(\mathrm {id} _{B}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta$ .

K если -линейное отображение ε: B → K является единицей, $(\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta$ .

Коассоциативность и коединица выражаются коммутативностью следующих двух диаграмм (они являются двойственными диаграммам, выражающим ассоциативность и единицу алгебры):

Условия совместимости [ править ]

Четыре коммутативные диаграммы можно прочитать либо как «коумножение и коединица являются гомоморфизмами алгебр», либо, что то же самое, «умножение и единица являются гомоморфизмами коалгебр».

Эти утверждения станут значимыми, если мы объясним естественные структуры алгебры и коалгебры во всех задействованных векторных пространствах, кроме B : ( K , ∇ ₀ , η ₀ ) очевидным образом является ассоциативной алгеброй с единицей и ( B ⊗ B , ∇ ₂ , η ₂ ) — ассоциативная алгебра с единицей с единицей и умножением

\eta _{2}:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)

\nabla _{2}:=(\nabla \otimes \nabla )\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)

,

так что $\nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})$ или, опуская ∇ и записывая умножение как сопоставление , $(x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}$ ;

аналогично ( K , Δ ₀ , ε ₀ ) является коалгеброй очевидным образом и B ⊗ B является коалгеброй с единицей и коумножением

\epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K

\Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)

.

Тогда диаграммы 1 и 3 говорят, что ∆: B → B ⊗ B является гомоморфизмом унитальных (ассоциативных) алгебр ( B , ∇, η) и ( B ⊗ B , ∇ ₂ , η ₂ )

\Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)

, или просто ∆( xy ) = ∆( x ) ∆( y ),

\Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)

или просто ∆(1 _B ) = 1 _{B ⊗ B} ;

диаграммы 2 и 4 говорят, что ε: B → K является гомоморфизмом унитальных (ассоциативных) алгебр ( B , ∇, η) и ( K , ∇ ₀ , η ₀ ):

\epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K

или просто ε( xy ) = ε( x ) ε( y )

\epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K

или просто ε(1 _B = 1 _K. )

Эквивалентно диаграммы 1 и 2 говорят, что ∇: B ⊗ B → B является гомоморфизмом (коунитальных коассоциативных) коалгебр ( B ⊗ B , Δ ₂ , ε ₂ ) и ( B , Δ, ε):

\nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla :(B\otimes B)\to (B\otimes B),

\nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla :(B\otimes B)\to K

;

диаграммы 3 и 4 говорят, что η: K → B является гомоморфизмом (коунитальных коассоциативных) коалгебр ( K , Δ ₀ , ε ₀ ) и ( B , Δ, ε):

\eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),

\eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K

,

где

\epsilon _{0}=id_{K}=\eta _{0}

.

Примеры [ править ]

Групповая биалгебра [ править ]

Примером биалгебры является набор функций от конечной группы G (или, в более общем смысле, любого конечного моноида ) до $\mathbb {R}$ , которое мы можем представить как векторное пространство $\mathbb {R} ^{G}$ состоящая из линейных комбинаций стандартных базисных векторов , например _g для каждого g ∈ G , которые могут представлять собой распределение вероятностей по G в случае векторов, все коэффициенты которых неотрицательны и в сумме равны 1. Пример подходящих операторов коумножения и единиц, которые дают контрунитальную коалгебру:

\Delta (\mathbf {e} _{g})=\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{g}\,,

который представляет собой создание копии случайной величины (которую мы распространяем на все $\mathbb {R} ^{G}$ по линейности), и

\varepsilon (\mathbf {e} _{g})=1\,,

(опять же линейно распространяется на все $\mathbb {R} ^{G}$ ), который представляет собой «отслеживание» случайной величины, т. е. забывание значения случайной величины (представленного одним тензорным коэффициентом) для получения предельного распределения остальных переменных (оставшихся тензорных коэффициентов). Учитывая приведенную выше интерпретацию (Δ,ε) в терминах вероятностных распределений, условия согласованности биалгебры сводятся к следующим ограничениям на (∇,η):

η — оператор, подготавливающий нормализованное распределение вероятностей, независимое от всех других случайных величин;
Произведение ∇ отображает распределение вероятностей двух переменных в распределение вероятностей одной переменной;
Копирование случайной величины в распределении, заданном η, эквивалентно наличию двух независимых случайных величин в распределении η;
Взятие произведения двух случайных величин и подготовка копии полученной случайной величины имеет то же распределение, что и подготовка копий каждой случайной величины независимо друг от друга и умножение их попарно.

Пара (∇,η), удовлетворяющая этим ограничениям, представляет собой свертки оператор

\nabla {\bigl (}\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{h}{\bigr )}=\mathbf {e} _{gh}\,,

снова распространилось на всех $\mathbb {R} ^{G}\otimes \mathbb {R} ^{G}$ по линейности; это дает нормализованное распределение вероятностей из распределения двух случайных величин и имеет в качестве единицы дельта-распределение $\eta =\mathbf {e} _{i}\;,$ где i ∈ G обозначает единицу G. группы

Другие примеры [ править ]

Другие примеры биалгебр включают тензорную алгебру , которую можно превратить в биалгебру, добавив соответствующее коумножение и счетную единицу; они подробно рассмотрены в этой статье.

Биалгебры часто можно расширить до алгебр Хопфа , если можно найти подходящий антипод; таким образом, все алгебры Хопфа являются примерами биалгебр. ^[5]^: 151 Подобные структуры с разной совместимостью произведения и коумножения или разными типами умножения и коумножения включают биалгебры Ли и алгебры Фробениуса . Дополнительные примеры приведены в статье о коалгебрах .

См. также [ править ]

Квазибиалгебра

Примечания [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Кассель 2012 , с. 46 .
^ Кассель 2012 , с. 45 .
^ Даскалеску, Нэстасеску и Райану 2001 , стр. 147 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Даскалеску, Нэстасеску и Райану 2001 , стр. 148 .
^ Даскалеску, Нэстасеску и Райану 2001 , стр. 151 .

Ссылки [ править ]

Даскалеску, Сорин; Нэстасеску, Константин; Райану, Шербан (2001), «4. Биалгебры и алгебры Хопфа», Алгебры Хопфа: введение , Чистая и прикладная математика, том 235, Марсель Деккер, ISBN. 0-8247-0481-9 .
Хазевинкель, Мишель; Губарени, Надежда; Кириченко, В. (2010). «Биалгебры и алгебры Хопфа. Мотивация, определения и примеры». Алгебры, кольца и модули. Алгебры Ли и алгебры Хопфа . Американское математическое общество. стр. 131–173. ISBN 978-0-8218-5262-0 . Скачать полный текст PDF
Кассель, Кристиан (2012). «Язык алгебр Хопфа». Квантовые группы . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0783-2 .
Андервуд, Роберт Г. (28 августа 2011 г.). Введение в алгебры Хопфа . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72766-0 . Онлайн-книга

[FOOTNOTEKassel2012[httpsbooksgooglecombooksid0pHfBwAAQBAJpgPA46_46]-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Кассель 2012 , с. 46 .

[FOOTNOTEKassel2012[httpsbooksgooglecombooksid0pHfBwAAQBAJpgPA45_45]-2] Кассель 2012 , с. 45 .

[FOOTNOTEDăscălescuNăstăsescuRaianu2001[httpsbooksgooglecombooksidpBJ6sbPHA0ICpgPA147dq22isamorphismofcoalgebras22_147]-3] Даскалеску, Нэстасеску и Райану 2001 , стр. 147 .

[FOOTNOTEDăscălescuNăstăsescuRaianu2001[httpsbooksgooglecombooksidpBJ6sbPHA0ICpgPA148dq22isamorphismofcoalgebras22_148]-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Даскалеску, Нэстасеску и Райану 2001 , стр. 148 .

[FOOTNOTEDăscălescuNăstăsescuRaianu2001[httpsbooksgooglecombooksidpBJ6sbPHA0ICpgPA151dq22havinganantipodeiscalled22_151]-5] Даскалеску, Нэстасеску и Райану 2001 , стр. 151 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]