Коалгебра
В математике — это структуры , коалгебры или когебры которые двойственны (в теоретико-категорном смысле изменения направления стрелок ) к унитальным ассоциативным алгебрам . Аксиомы ассоциативных алгебр с единицей можно сформулировать в терминах коммутативных диаграмм . Переворачивая все стрелки, получаем аксиомы коалгебр.Каждая коалгебра в силу ( векторного пространства ) двойственности порождает алгебру, но, вообще говоря, не наоборот. В конечных измерениях эта двойственность идет в обе стороны ( см. ниже ).
Коалгебры естественным образом встречаются в ряде контекстов (например, в теории представлений , универсальных обертывающих алгебрах и групповых схемах ).
Существуют также F-коалгебры , имеющие важные приложения в информатике .
Неформальное обсуждение [ править ]
Один часто повторяющийся пример коалгебры встречается в теории представлений и, в частности, в теории представлений группы вращения . Основной задачей, имеющей практическое применение в физике, является получение комбинаций систем с различными состояниями углового момента и спина . Для этого используются коэффициенты Клебша–Гордана . Учитывая две системы с угловыми моментами и , особо важной задачей является нахождение полного момента импульса учитывая комбинированное состояние . Это обеспечивается оператором полного углового момента , который извлекает необходимую величину из каждой стороны тензорного произведения. Его можно записать как «внешнее» тензорное произведение.
Здесь появляется слово «внешний» в отличие от «внутреннего» тензорного произведения тензорной алгебры . Тензорная алгебра имеет тензорное произведение (внутреннее); он также может быть снабжен вторым тензорным произведением, «внешним» или копроизведением , имеющим приведенную выше форму. То, что это два разных произведения, подчеркивается, если вспомнить, что внутреннее тензорное произведение вектора и скаляра представляет собой простое скалярное умножение. Внешний продукт удерживает их отдельно. В этом случае копродукцией является карта
это занимает
Для этого примера можно считать одним из спиновых представлений группы вращения, причем фундаментальное представление является выбором здравого смысла. Это копроизведение можно перенести на всю тензорную алгебру с помощью простой леммы, применимой к свободным объектам : тензорная алгебра является свободной алгеброй , поэтому любой гомоморфизм, определенный на подмножестве, может быть распространен на всю алгебру. Подробно исследуя подъем, можно заметить, что копроизведение ведет себя как произведение тасования , главным образом потому, что два вышеуказанных фактора, левый и правый, должны сохраняться в последовательном порядке при произведениях нескольких угловых моментов (вращения не коммутативны).
Своеобразная форма наличия появляются в копродукции только один раз, а не (например) определяют заключается в том, чтобы сохранить линейность: для этого примера (и для теории представлений в целом) копроизведение должно быть линейным. Как правило, копроизведение в теории представлений приводимо; коэффициенты задаются по правилу Литтлвуда-Ричардсона . (Правило Литтлвуда-Ричардсона передает ту же идею, что и коэффициенты Клебша-Гордана, но в более общей ситуации).
Формальное определение коалгебры, приведенное ниже, абстрагирует этот частный случай и его необходимые свойства в общую ситуацию.
Формальное определение [ править ]
Формально коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K -линейными отображениями ∆: C → C ⊗ C и ε: C → K такими, что
- .
(Здесь ⊗ относится к тензорному произведению над K , а id — тождественная функция .)
Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют :
На первой диаграмме C ⊗ ( C ⊗ C ) отождествляется с ( C ⊗ C ) ⊗ C ; эти два естественно изоморфны . [1] Аналогично во второй диаграмме естественно изоморфные пространства C , C ⊗ K и K ⊗ C. отождествляются [2]
Первая диаграмма является двойственной диаграмме, выражающей ассоциативность алгебраического умножения (называемой коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма является двойственной диаграмме, выражающей существование мультипликативного тождества . Соответственно, отображение ∆ называется коумножением (или копроизведением ) карты C , а ε – это единица С.
Примеры [ править ]
Возьмем произвольное множество S и сформируем K -векторное пространство C = K ( С ) с базисом S следующим образом. Элементами этого векторного пространства C являются те функции из S в K , которые отображают все элементы S, кроме конечного числа , в ноль; отождествите элемент s из S с функцией, которая отображает s в 1, а все остальные элементы S в 0. Определите
- Δ( s ) = s ⊗ s и ε( s ) = 1 для всех s в S .
Тогда по линейности и Δ, и ε могут быть однозначно распространены на все C . Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением Δ и единицей ε.
В качестве второго примера рассмотрим кольцо многочленов K [ X от одного неопределенного X. ] Это становится коалгеброй ( разделенная степенная коалгебра [3] [4] ), если для всех n ≥ 0 определено:
Опять же, ввиду линейности, этого достаточно, чтобы однозначно определить Δ и ε на всем K [ X ]. Теперь K [ X ] является одновременно ассоциативной алгеброй с единицей и коалгеброй, и эти две структуры совместимы. Подобные объекты называются биалгебрами , и фактически большинство важных коалгебр, рассматриваемых на практике, являются биалгебрами.
Примеры коалгебр включают тензорную алгебру , внешнюю алгебру , алгебры Хопфа и биалгебры Ли . В отличие от полиномиального случая, описанного выше, ни один из них не является коммутативным. Таким образом, побочный продукт становится продуктом перетасовки , а не структурой разделенной власти, приведенной выше. Перетасованное произведение подходит, поскольку оно сохраняет порядок членов, входящих в произведение, как это необходимо для некоммутативных алгебр.
Сингулярные гомологии топологического пространства образуют градуированную коалгебру всякий раз, когда имеет место изоморфизм Кюннета , например, если коэффициенты считаются полем. [5]
Если C — K -векторное пространство с базисом { s , c }, рассмотрим ∆: C → C ⊗ C задается формулой
- Δ( s ) знак равно s ⊗ c + c ⊗ s
- Δ( c ) знак равно c ⊗ c - s ⊗ s
и ε: C → K определяется формулой
- ε( s ) = 0
- ε( с ) знак равно 1
В этой ситуации ( C , Δ, ε) является коалгеброй, известной как тригонометрическая коалгебра . [6] [7]
Для локально конечного частично упорядоченного множества P с набором интервалов J определите коалгебру инцидентности C с J в качестве базиса. Коумножение и счетная единица определяются как
Интервалы нулевой длины соответствуют точкам P и являются групповыми элементами. [8]
Конечные размеры [ править ]
В конечных размерностях двойственность между алгебрами и коалгебрами более тесная: двойственная конечномерной (унитальной ассоциативной) алгебре является коалгеброй, а двойственная конечномерной коалгебре - (унитальной ассоциативной) алгебре. В общем, двойственная алгебра не может быть коалгеброй.
Ключевым моментом является то, что в конечных измерениях ( A ⊗ A ) ∗ и А ∗ ⊗ А ∗ изоморфны.
Чтобы отличить их: в общем, алгебра и коалгебра являются двойственными понятиями (это означает, что их аксиомы двойственны: поменяйте местами стрелки), тогда как для конечных размерностей они также являются двойственными объектами (это означает, что коалгебра является двойственным объектом алгебры и наоборот ).
Если A — конечномерная -алгебра, то унитарная ассоциативная K ее K -дуальная A ∗ состоящая из всех K -линейных отображений из A в K, является коалгеброй. Умножение A можно рассматривать как линейное отображение A ⊗ A → A , которое при дуализации дает линейное отображение A ∗ → ( А ⊗ А ) ∗ . В конечномерном случае ( A ⊗ A ) ∗ естественно изоморфен A ∗ ⊗ А ∗ , поэтому это определяет коумножение на A ∗ . Единица А ∗ определяется путем оценки линейных функционалов при 1.
Обозначение Свидлера [ править ]
При работе с коалгебрами определенное обозначение коумножения значительно упрощает формулы и стало весьма популярным. Для данного элемента c коалгебры ( C , Δ, ε) существуют элементы c ( я )
(1) и в ( я )
(2) в C такое, что
Обратите внимание, что ни количество членов в этой сумме, ни точные значения каждого или , однозначно определяются ; есть только обещание, что существует конечное число членов и что полная сумма всех этих членов иметь правильное значение .
В Свидлера обозначениях [9] (названный так в честь Мосса Свидлера ), это сокращенно
Тот факт, что ε является единицей, может быть выражен следующей формулой
Здесь подразумевается, что суммы имеют одинаковое количество членов и одинаковые списки значений для и , как и в предыдущей сумме для .
Коассоциативность Δ можно выразить как
В обозначениях Свидлера оба этих выражения записываются как
Некоторые авторы также опускают символы суммирования; в этой безсуммной записи Свидлера пишут
и
Всякий раз, когда в выражении такого типа встречается переменная с пониженным и заключенным в круглые скобки индексом, для этой переменной подразумевается символ суммирования.
и Дальнейшие факты концепции
Коалгебра ( C , Δ, ε ) называется кокоммутативной , если , где σ: C ⊗ C → C ⊗ C — K -линейное отображение, определяемое формулой σ ( c ⊗ d ) = d ⊗ c для всех c , d в C . В безсуммарных обозначениях Свидлера C кокоммутативен тогда и только тогда, когда
для c в C. всех (Важно понимать, что подразумеваемое суммирование здесь важно: не требуется, чтобы все слагаемые были попарно равны, требуется лишь равенство сумм, а это гораздо более слабое требование.)
Группоподобный элемент (или множествоподобный элемент ) — это элемент x такой, что Δ( x ) = x ⊗ x и ε ( x ) = 1 . Вопреки тому, что предполагает это соглашение об именах, групповые элементы не всегда образуют группу и, как правило, образуют только набор. Групповые элементы алгебры Хопфа действительно образуют группу. — Примитивный элемент это элемент x , который удовлетворяет условию Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x . Примитивные элементы алгебры Хопфа образуют алгебру Ли . [10] [11]
Если ( C 1 , Δ 1 , ε 1 ) и ( C 2 , Δ 2 , ε 2 ) — две коалгебры над одним и тем же полем K , то морфизм коалгебры из C 1 в C 2 является K -линейным отображением f : C 1 → C 2 такой, что и .В безсуммной записи Свидлера первое из этих свойств можно записать как:
Композиция K двух морфизмов коалгебр снова является морфизмом коалгебры, и коалгебры над вместе с этим понятием морфизма образуют категорию .
Линейное подпространство I в C называется коидеалом, I ⊆ ker( ε ) и ∆( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I. если В этом случае факторпространство C / I естественным образом становится коалгеброй.
Подпространство D в C называется подкоалгеброй, если ∆( D ) ⊆ D ⊗ D ; в этом случае D сама является коалгеброй с ограничением ε на D как единицу.
Ядро является любого морфизма коалгебры f : C 1 → C 2 является коидеалом в C 1 , а образ подкоалгеброй C 2 . Общие теоремы об изоморфизме справедливы для коалгебр, так, например, C 1 /ker( f ) изоморфна im( f ).
Если A — конечномерная унитарная ассоциативная K -алгебра, то A ∗ является конечномерной коалгеброй, и действительно, каждая конечномерная коалгебра возникает таким образом из некоторой конечномерной алгебры (а именно из K -двойственной коалгебры). При этом соответствии коммутативные конечномерные алгебры соответствуют кокоммутативным конечномерным коалгебрам. Итак, в конечномерном случае теории алгебр и коалгебр двойственны; изучение одного равносильно изучению другого. Однако в бесконечномерном случае отношения расходятся: хотя K -дуальная к каждой коалгебре является алгеброй, K -двойственная к бесконечномерной алгебре не обязательно должна быть коалгеброй.
Каждая коалгебра представляет собой сумму своих конечномерных подкоалгебр, чего нельзя сказать о алгебрах. Абстрактно, коалгебры являются обобщениями или двойниками конечномерных ассоциативных алгебр с единицей.
Понятию представления алгебр соответствует ко-представление или комодуль .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Йоконума (1992). «Предложение 1.7». Тензорные пространства и внешняя алгебра . п. 12.
- ^ Йоконума (1992). «Предложение 1.4». Тензорные пространства и внешняя алгебра . п. 10.
- ^ См. также Даскалеску, Нэстасеску и Райану (2001). Алгебры Хопфа: Введение . п. 3.
- ^ См. также Райану, Сербан. Коалгебры из формул. Архивировано 29 мая 2010 г. в Wayback Machine , стр. 2.
- ^ «Конспекты лекций для справки» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 февраля 2012 г. Проверено 31 октября 2008 г.
- ^ См. также Даскалеску, Нэстасеску и Райану (2001). Алгебры Хопфа: Введение . п. 4. и Даскалеску, Нэстасеску и Райану (2001). Алгебры Хопфа: Введение . стр. 55. , упр. 1.1.5.
- ^ Райану, Сербан. Коалгебры из формул. Архивировано 29 мая 2010 г. в Wayback Machine , стр. 1.
- ^ Монтгомери (1993) стр.61
- ^ Андервуд (2011) стр.35
- ^ Михалев Александр Васильевич; Пильц, Гюнтер, ред. (2002). Краткий справочник по алгебре . Издательство Спрингер . п. 307, гр.42. ISBN 0792370724 .
- ^ Абэ, Эйичи (2004). Алгебры Хопфа . Кембриджские трактаты по математике. Том. 74. Издательство Кембриджского университета . п. 59. ИСБН 0-521-60489-3 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Блок, Ричард Э.; Леру, Пьер (1985), «Обобщенные двойственные коалгебры алгебр с приложениями к косвободным коалгебрам», Journal of Pure and Applied Algebra , 36 (1): 15–21, doi : 10.1016/0022-4049(85)90060-X , ISSN 0022-4049 , МР 0782637 , Збл 0556.16005
- Даскалеску, Сорин; Нэстасеску, Константин; Райану, Шербан (2001), Алгебры Хопфа: Введение , Чистая и прикладная математика, том 235 (1-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN. 0-8247-0481-9 , Збл 0962.16026 .
- Гомес-Торресильяс, Хосе (1998), «Коалгебры и коммутативы над коммутативным кольцом», Румынский обзор чистой и прикладной математики , 43 : 591–603
- Хазевинкель, Мишель (2003), «Кофри-коалгебры и многомерная рекурсивность», Journal of Pure and Applied Algebra , 183 (1): 61–103, doi : 10.1016/S0022-4049(03)00013-6 , ISSN 0022-4049 , МР 1992043 , Збл 1048.16022
- Монтгомери, Сьюзен (1993), Алгебры Хопфа и их действия на кольцах , Серия региональных конференций по математике, том. 82, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-0738-2 , Збл 0793.16029
- Андервуд, Роберт Г. (2011), Введение в алгебры Хопфа , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-72765-3 , Збл 1234.16022
- Йоконума, Такео (1992), Тензорные пространства и внешняя алгебра , Переводы математических монографий, том. 108, Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-4564-0 , Збл 0754.15028
- Глава III, раздел 11 в Бурбаки, Николя (1989). Алгебра . Издательство Спрингер . ISBN 0-387-19373-1 .