Перемешать алгебру
В математике тасованная алгебра — это алгебра Хопфа с базой, соответствующей словам в некотором множестве, чей продукт задается тасованным произведением X ⧢ Y двух слов X , Y : суммой всех способов их переплетения. Переплетение задается перестановкой рифленого тасования .
Алгебра тасования на конечном множестве является градуированной двойственной универсальной обертывающей алгеброй к свободной алгебре Ли на множестве.
Над рациональными числами тасованная алгебра изоморфна алгебре полиномов в словах Линдона .
Произведение тасования встречается в общих условиях в некоммутативных алгебрах ; это связано с тем, что он способен сохранять относительный порядок умножения множителей - перестановка с перетасовкой . Это можно рассматривать в отличие от структуры разделенной власти , которая становится уместной, когда факторы коммутативны.
Перемешать продукт [ править ]
Перетасованное произведение слов длин m и n представляет собой сумму по ( м + н )! / м ! н ! способы чередования двух слов, как показано в следующих примерах:
- ab ⧢ xy = abxy + axby + xaby + axyb + xayb + xyab
- ааа ⧢ аа = 10 ааааа
Его можно определить индуктивно по формуле [1]
- ты ⧢ ε = ε ⧢ ты = ты
- ua ⧢ vb знак равно ( ты ⧢ vb ) а + ( ua ⧢ v ) б
где ε — пустое слово , a и b — отдельные элементы, а u и v — произвольные слова.
Продукт перемешивания был представлен Эйленбергом и Мак Лейном (1953) . Название «произведение тасования» относится к тому факту, что произведение можно рассматривать как сумму всех способов перетасовки двух слов вместе: это перестановка перетасовки . Произведение коммутативно и ассоциативно . [2]
Произведение перемешивания двух слов в некотором алфавите часто обозначается символом произведения перемешивания ⧢ ( символ Unicode U+29E2 SHUFFLE PRODUCT , полученный из кириллической буквы ⟨ш⟩ sha ).
Продукт проникновения [ править ]
Близкородственный продукт инфильтрации был представлен Ченом, Фоксом и Линдоном (1958) . Он определяется индуктивно на словах в алфавите A по формуле
- fa ↑ ga знак равно ( ж ↑ ga ) а + ( fa ↑ грамм ) а + ( ж ↑ грамм ) а
- fa ↑ gb знак равно ( ж ↑ gb ) а + ( fa ↑ g ) б
Например:
- ab ↑ ab = ab + 2 aab + 2 abb + 4 aabb + 2 abab
- аб ↑ ба = аба + баб + абаб + 2 абба + 2 бааб + баба
Продукт инфильтрации также коммутативен и ассоциативен. [3]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Лотарь 1997 , с. 101 126
- ^ Лотарь 1997 , с. 126
- ^ Лотарь 1997 , с. 128
- Чен, Го-Цай; Фокс, Ральф Х .; Линдон, Роджер К. (1958), «Свободное дифференциальное исчисление. IV. Факторгруппы нижнего центрального ряда», Annals of Mathematics , Second Series, 68 (1): 81–95, doi : 10.2307/1970044 , JSTOR 1970044 , МР 0102539 , Збл 0142.22304
- Эйленберг, Сэмюэл ; Мак Лейн, Сондерс (1953), «О группах H (Π, n). I», Анналы математики , вторая серия, 58 (1): 55–106, doi : 10.2307/1969820 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969820 , MR 0056295 , Збл 0050.39304
- Грин, Дж. А. (1995), Алгебры перемешивания, алгебры Ли и квантовые группы , Тексты по математике. Серия Б, том. 9, Коимбра: математический факультет Университета Коимбры, MR 1399082
- Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Перетасованная алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Хазевинкель, Мишель; Губарени, Надежда; Кириченко В.В. (2010), Алгебры, кольца и модули. Алгебры Ли и алгебры Хопфа , Математические обзоры и монографии, вып. 168, Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/surv/168 , ISBN. 978-0-8218-5262-0 , МР 2724822 , Збл 1211.16023
- Лотер, М. (1997), Комбинаторика слов , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 17, Перрин, Д.; Ройтенауэр, К.; Берстель, Дж.; Пин, Дж. Э.; Пирилло, Г.; Фоата, Д.; Сакарович Дж.; Саймон, И.; Шютценбергер, член парламента; Шоффрут, К.; Кори, Р.; Линдон, Роджер; Рота, Джан-Карло. Предисловие Роджера Линдона (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-59924-5 , Збл 0874.20040
- Ройтенауэр, Кристоф (1993), Свободные алгебры Ли , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 7, Издательство Оксфордского университета, ISBN 978-0-19-853679-6 , МР 1231799 , Збл 0798.17001