Перемешать алгебру

В математике тасованная алгебра — это алгебра Хопфа с базой, соответствующей словам в некотором множестве, чей продукт задается тасованным произведением X ⧢ Y двух слов X , Y : суммой всех способов их переплетения. Переплетение задается перестановкой рифленого тасования .

Алгебра тасования на конечном множестве является градуированной двойственной универсальной обертывающей алгеброй к свободной алгебре Ли на множестве.

Над рациональными числами тасованная алгебра изоморфна алгебре полиномов в словах Линдона .

Произведение тасования встречается в общих условиях в некоммутативных алгебрах ; это связано с тем, что он способен сохранять относительный порядок умножения множителей - перестановка с перетасовкой . Это можно рассматривать в отличие от структуры разделенной власти , которая становится уместной, когда факторы коммутативны.

Перемешать продукт

Перетасованное произведение слов длин m и n представляет собой сумму по ( м + н )! / м ! н ! способы чередования двух слов, как показано в следующих примерах:

ab ⧢ xy = abxy + axby + xaby + axyb + xayb + xyab

ааа ⧢ аа = 10 ааааа

Его можно определить индуктивно по формуле

ты ⧢ ε = ε ⧢ ты = ты

ua ⧢ vb знак равно ( ты ⧢ vb ) а + ( ua ⧢ v ) б

где ε — пустое слово , a и b — отдельные элементы, а u и v — произвольные слова.

Продукт перемешивания был представлен Эйленбергом и Мак Лейном (1953) . Название «произведение тасования» относится к тому факту, что произведение можно рассматривать как сумму всех способов перетасовки двух слов вместе: это перестановка перетасовки . Произведение коммутативно и ассоциативно .

Произведение перемешивания двух слов в некотором алфавите часто обозначается символом произведения перемешивания ⧢ ( символ Unicode U+29E2 SHUFFLE PRODUCT , полученный из кириллической буквы ⟨ш⟩ sha ).

Продукт проникновения

Близкородственный продукт инфильтрации был представлен Ченом, Фоксом и Линдоном (1958) . Он определяется индуктивно на словах в алфавите A по формуле

fa ↑ ga знак равно ( ж ↑ ga ) а + ( fa ↑ грамм ) а + ( ж ↑ грамм ) а

fa ↑ gb знак равно ( ж ↑ gb ) а + ( fa ↑ g ) б

Например:

ab ↑ ab = ab + 2 aab + 2 abb + 4 aabb + 2 abab

аб ↑ ба = аба + баб + абаб + 2 абба + 2 бааб + баба

Продукт инфильтрации также коммутативен и ассоциативен.

См. также

• Алгебра перестановок Хопфа
• Алгебра Зинбиля

Ссылки

• Чен, Го-Цай; Фокс, Ральф Х .; Линдон, Роджер К. (1958), «Свободное дифференциальное исчисление. IV. Факторгруппы нижнего центрального ряда», Annals of Mathematics , Second Series, 68 (1): 81–95, doi : 10.2307/1970044 , JSTOR   1970044 , МР   0102539 , Збл   0142.22304
• Эйленберг, Сэмюэл ; Мак Лейн, Сондерс (1953), «О группах H (Π, n). I», Анналы математики , вторая серия, 58 (1): 55–106, doi : 10.2307/1969820 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969820 , MR   0056295 , Збл   0050.39304
• Грин, Дж. А. (1995), Алгебры перемешивания, алгебры Ли и квантовые группы , Тексты по математике. Серия Б, том. 9, Коимбра: Математический факультет Университета Коимбры, MR   1399082
• Хазевинкель, М. (2001) [1994], «Перетасованная алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Хазевинкель, Мишель; Губарени, Надежда; Кириченко В.В. (2010), Алгебры, кольца и модули. Алгебры Ли и алгебры Хопфа , Математические обзоры и монографии, вып. 168, Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/surv/168 , ISBN.  978-0-8218-5262-0 , МР   2724822 , Збл   1211.16023
• Лотер, М. (1997), Комбинаторика слов , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 17, Перрен, Д.; Ройтенауэр, К.; Берстель, Дж.; Пин, Дж. Э.; Пирилло, Г.; Фоата, Д.; Сакарович Дж.; Саймон, И.; Шютценбергер, член парламента; Шоффрут, К.; Кори, Р.; Линдон, Роджер; Рота, Джан-Карло. Предисловие Роджера Линдона (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  0-521-59924-5 , Збл   0874.20040
• Ройтенауэр, Кристоф (1993), Свободные алгебры Ли , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 7, Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19-853679-6 , МР   1231799 , Збл   0798.17001

Внешние ссылки

• Перемешать символ продукта