Разделенная структура власти

В математике , особенно в коммутативной алгебре , структура разделенной степени — это способ введения элементов со схожими свойствами в виде выражений вида $x^{n}/n!$ есть, даже когда невозможно фактически разделить на $n!$.

Определение

Пусть A — кольцо с идеалом I. коммутативное Структура разделенной власти (или PD-структура , от французского puissance divisées ) на I представляет собой совокупность карт. $\gamma _{n}:I\to A$ для n = 0, 1, 2, ... такой, что:

1. $\gamma _{0}(x)=1$ и $\gamma _{1}(x)=x$ для $x\in I$, пока $\gamma _{n}(x)\in I$ для n > 0.
2. $\gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{i}(y)$ для $x,y\in I$.
3. $\gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)$ для $\lambda \in A,x\in I$.
4. $\gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)=((m,n))\gamma _{m+n}(x)$ для $x\in I$, где $((m,n))={\frac {(m+n)!}{m!n!}}$ является целым числом.
5. $\gamma _{n}(\gamma _{m}(x))=C_{n,m}\gamma _{mn}(x)$ для $x\in I$ и $m>0$, где $C_{n,m}={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}$ является целым числом.

Для удобства обозначений $\gamma _{n}(x)$ часто пишется как $x^{[n]}$ когда станет ясно, о какой разделенной структуре власти идет речь.

Термин «идеал разделенной власти» относится к идеалу с заданной структурой разделенной власти, а «кольцо разделенной власти» относится к кольцу с заданным идеалом и структурой разделенной власти.

Гомоморфизмы алгебр с разделенной степенью - это кольцевые гомоморфизмы, которые соблюдают структуру разделенной степени в ее источнике и цели.

Примеры

• Свободная разделенная степенная алгебра над $\mathbb {Z}$ на одном генераторе:

$\mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} \left[x,{\tfrac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\tfrac {x^{n}}{n!}},\ldots \right]\subset \mathbb {Q} [x].$

• Если A — алгебра над $\mathbb {Q} ,$ тогда каждый идеал Я имеет уникальную структуру разделенной власти, где $\gamma _{n}(x)={\tfrac {1}{n!}}\cdot x^{n}.$ Действительно, это пример, который в первую очередь мотивирует определение.

• Если M — A -модуль, пусть $S^{\bullet }M$ обозначаем алгебру M над A симметрическую . Тогда это двойное $(S^{\bullet }M)^{\vee }={\text{Hom}}_{A}(S^{\bullet }M,A)$ имеет каноническую структуру разделенного кольца власти. Фактически оно канонически изоморфно пополнению естественному $\Gamma _{A}({\check {M}})$ (см. ниже), если M имеет конечный ранг.

Конструкции

Если A — любое кольцо, существует кольцо разделенной мощности.

$A\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle$

состоящий из разделенных степенных полиномов от переменных

$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$

то есть суммы разделенных степенных мономов вида

$cx_{1}^{[i_{1}]}x_{2}^{[i_{2}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}$

с $c\in A$. Здесь идеал разделенной мощности представляет собой набор полиномов разделенной мощности с постоянным коэффициентом 0.

В более общем смысле, если M является A -модулем, существует универсальная A -алгебра, называемая

$\Gamma _{A}(M),$

с ПД идеалом

$\Gamma _{+}(M)$

и A -линейное отображение

$M\to \Gamma _{+}(M).$

(Случай полиномов разделенной степени — это частный случай, когда M — свободный модуль над A конечного ранга.)

Если I — какой-либо идеал кольца A , существует универсальная конструкция которая расширяет A за счет разделенных степеней элементов I, чтобы получить оболочку разделенной степени I в A. ,

Приложения

Разделенная степенная оболочка является фундаментальным инструментом в теории дифференциальных операторов ПД и кристаллических когомологий , где она используется для преодоления технических трудностей, возникающих в положительной характеристике .

Разделенный степенной функтор используется при построении ко-функторов Шура.

См. также

• Кристаллические когомологии

Ссылки

• Бертло, Пьер ; Огус, Артур (1978). Заметки о кристаллических когомологиях . Анналы математических исследований. Издательство Принстонского университета . Збл   0383.14010 .
• Хазевинкель, Мишель (1978). Формальные группы и приложения . Чистая и прикладная математика, серия монографий и учебников. Том. 78. Эльзевир . п. 507. ИСБН  0123351502 . Збл   0454.14020 .
• p-адические производные когомологии де Рама - содержат отличный материал по кольцам PD-полиномов и PD-конвертам.
• Как называется аналог алгебр с разделенной степенью для x^i/i - содержит полезную эквивалентность алгебрам с разделенной степенью как двойственным алгебрам