Коммутативная алгебра

Эта статья о разделе алгебры. Чтобы узнать о коммутативных алгебрах, см. Коммутативная алгебра (структура) .

Открытка 1915 года от одной из пионеров коммутативной алгебры Эмми Нётер Э. Фишер, в которой обсуждается ее работа в области коммутативной алгебры.

Коммутативная алгебра , впервые известная как теория идеалов , — это раздел алгебры , изучающий коммутативные кольца , их идеалы и модули над такими кольцами. И алгебраическая геометрия , и алгебраическая теория чисел основаны на коммутативной алгебре. Яркие примеры коммутативных колец включают полиномиальные кольца ; кольца целых алгебраических чисел , включая обычные целые числа $\mathbb {Z}$; и p -адические целые числа .

Коммутативная алгебра — основной технический инструмент алгебраической геометрии , и многие результаты и понятия коммутативной алгебры тесно связаны с геометрическими понятиями.

Изучение колец, которые не обязательно являются коммутативными, известно как некоммутативная алгебра ; она включает теорию колец , теорию представлений и теорию банаховых алгебр .

Обзор

Коммутативная алгебра — это, по сути, изучение колец, встречающихся в теории алгебраических чисел и алгебраической геометрии .

Несколько концепций коммутативных алгебр были разработаны в связи с теорией алгебраических чисел, таких как кольца Дедекинда (основной класс коммутативных колец, встречающихся в теории алгебраических чисел), целочисленные расширения и кольца нормирования .

Кольца полиномов от нескольких неопределенных над полем являются примерами коммутативных колец. Поскольку алгебраическая геометрия по своей сути является изучением общих нулей этих колец, многие результаты и понятия алгебраической геометрии имеют аналоги в коммутативной алгебре, и их названия часто напоминают об их геометрическом происхождении; например « Размерность Крулля », « локализация кольца », « локальное кольцо », « регулярное кольцо ».

Аффинное алгебраическое многообразие соответствует простому идеалу в кольце многочленов, а точки такого аффинного многообразия соответствуют максимальным идеалам , содержащим этот простой идеал. Топология Зарисского , первоначально определенная на алгебраическом многообразии, была распространена на множества простых идеалов любого коммутативного кольца; для этой топологии замкнутые множества — это множества простых идеалов, содержащих данный идеал.

Спектр кольца — это окольцованное пространство, простыми идеалами, снабженными топологией Зарисского, и локализациями кольца на открытых множествах базиса образованное этой топологии. Это отправная точка теории схем , обобщения алгебраической геометрии, введенной Гротендиком , которая в значительной степени основана на коммутативной алгебре и, в свою очередь, вызвала множество разработок коммутативной алгебры.

История

Предмет, впервые известный как идеальная теория , начался с Рихарда Дедекинда работы об идеалах , которая сама основана на более ранних работах Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера . Позже Дэвид Гильберт ввел термин « кольцо» , чтобы обобщить более ранний термин « кольцо чисел» . Гильберт представил более абстрактный подход, чтобы заменить более конкретные и вычислительно-ориентированные методы, основанные на таких вещах, как комплексный анализ и классическая теория инвариантов . В свою очередь, Гильберт сильно повлиял на Эмми Нётер , которая переформулировала многие более ранние результаты в терминах условия восходящей цепи , теперь известного как условие Нётера. Другой важной вехой стала работа ученика Гильберта Эмануэля Ласкера , который ввёл первичные идеалы и доказал первую версию теоремы Ласкера-Нётер .

Главной фигурой, ответственной за зарождение коммутативной алгебры как зрелого предмета, был Вольфганг Крулль , который ввёл фундаментальные понятия локализации и пополнения кольца, а также правильных локальных колец . Он разработал концепцию Крулля размерности кольца , сначала для нетеровых колец, а затем перешел к расширению своей теории, чтобы охватить кольца общей оценки и кольца Крулля . По сей день теорема Крулла о главном идеале широко считается единственной и наиболее важной фундаментальной теоремой коммутативной алгебры. Эти результаты проложили путь к введению коммутативной алгебры в алгебраическую геометрию, идея, которая произвела революцию в последнем предмете.

Большая часть современного развития коммутативной алгебры делает упор на модули . Оба идеала кольца R и R -алгебры являются частными случаями R -модулей, поэтому теория модулей охватывает как теорию идеалов, так и теорию расширений колец . Хотя современный подход к коммутативной алгебре с использованием теории модулей уже зародился в работах Кронекера , его обычно приписывают Круллю и Нётер .

Основные инструменты и результаты

Нётеровы кольца

Основная статья: Нётерово кольцо

, Нётерово кольцо названное в честь Эмми Нётер , — это кольцо, в котором каждый идеал порождён конечно ; то есть все элементы любого идеала можно записать как линейные комбинации конечного набора элементов с коэффициентами в кольце.

Многие обычно рассматриваемые коммутативные кольца являются нётеровыми, в частности, каждое поле , кольцо целого числа и каждое кольцо многочленов от одного или нескольких неопределённых над ними. Тот факт, что кольца многочленов над полем нётеровы, называется базовой теоремой Гильберта .

Более того, многие кольцевые конструкции сохраняют нётеровость. В частности, если коммутативное кольцо R нётерово, то же самое верно для любого кольца полиномов над ним, а также для каждого факторкольца , локализации или пополнения кольца.

Важность свойства нетеровости заключается в его повсеместности, а также в том факте, что многие важные теоремы коммутативной алгебры требуют, чтобы задействованные кольца были нетеровыми. Это касается, в частности, теоремы Ласкера-Нётера , теоремы Крулля о пересечении и теоремы Накаямы. лемма .

Более того, если кольцо нётерово, то оно удовлетворяет условию нисходящей цепи на простых идеалах , из которого следует, что каждое нётерово локальное кольцо имеет конечную размерность Крулля .

Первичное разложение

Основная статья: Первичное разложение

Идеал Q кольца называется примарным, если и всякий раз Q собственный , когда xy ∈ Q , либо x ∈ Q , либо y ^н ∈ Q для некоторого натурального числа n . В Z первичными идеалами являются именно идеалы вида ( p ^Это ), где p — простое число, а e — целое положительное число. Таким образом, первичное разложение ( n ) соответствует представлению ( n ) как пересечения конечного числа первичных идеалов.

Приведенную здесь теорему Ласкера –Нётер можно рассматривать как определенное обобщение основной теоремы арифметики:

Теорема Ласкера-Нётера. Пусть R — коммутативное нётерово кольцо, а I — идеал R. кольца Тогда меня можно записать как пересечение конечного числа первичных идеалов с различными радикалами ; то есть:

$I=\bigcap _{i=1}^{t}Q_{i}$

с Q _i первичным для всех i и Rad( Q _i ) ≠ Rad( Q _j ) для i ≠ j . Кроме того, если:

$I=\bigcap _{i=1}^{k}P_{i}$

является разложением I с Rad( P _i ) ≠ Rad( P _j ) для i ≠ j , и оба разложения I неизбыточны (это означает , что нет правильного подмножества ни { Q ₁ , ..., Q _t }, ни { P ₁ , ..., P _k } дает пересечение, равное I ), t = k и (после возможного изменения нумерации Q _i ) Rad( Q _i ) = Rad( P _i ) для всех i .

Для любого первичного разложения I набор всех радикалов, то есть набор {Rad( Q ₁ ), ..., Rad( Q _t )}, остается прежним по теореме Ласкера – Нётер. На самом деле оказывается, что (для нётерова кольца) множество является именно убийцей модуля R / I ; то есть набор всех аннуляторов R ) , / I (рассматриваемых как модуль над R которые являются простыми.

Локализация

Основная статья: Локализация (алгебра)

Локализация — это формальный способ ввести «знаменатели» данного кольца или модуля. То есть вводит новое кольцо/модуль из существующего так, чтобы оно состояло из дробей

${\frac {m}{s}}$.

где знаменатели s в заданном подмножестве S R . располагаются Типичным примером является построение кольца Q рациональных чисел из кольца Z целых чисел.

Завершение

Основная статья: Завершение (теория колец)

Пополнение , — это любой из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях которые приводят к полным топологическим кольцам и модулям. Завершение похоже на локализацию , и вместе они являются одними из самых основных инструментов анализа коммутативных колец . Полные коммутативные кольца имеют более простое строение, чем общие, и лемма Гензеля к ним применима .

Топология Зариского

Основная статья: Топология Зариского

Топология Зарисского определяет топологию на спектре кольца (множества простых идеалов). В этой формулировке под множествами, замкнутыми по Зарисскому, понимаются множества

$V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\}$

где A — фиксированное коммутативное кольцо, а I — идеал. Это определяется по аналогии с классической топологией Зариского, где замкнутые множества в аффинном пространстве определяются полиномиальными уравнениями. Чтобы увидеть связь с классической картиной, заметим, что для любого множества S следует, многочленов (над алгебраически замкнутым полем) из Nullstellensatz Гильберта что точки V ( S ) (в старом смысле) являются в точности кортежами ( a ₁ ,..., ) _{такой ,} идеал ( x1 _- S a1 _, ..., xn _- an что _an содержит ) ; более того, это максимальные идеалы, и согласно «слабому» Nullstellensatz идеал любого аффинного координатного кольца является максимальным тогда и только тогда, когда он имеет этот вид. Таким образом, V ( S ) «то же самое, что» максимальные идеалы, S. содержащие Новаторство Гротендика в определении Spec заключалось в замене максимальных идеалов всеми простыми идеалами; в этой формулировке это наблюдение естественно просто обобщить на определение замкнутого множества в спектре кольца.

Связи с алгебраической геометрией

Коммутативная алгебра (в виде колец многочленов и их частных, используемых при определении алгебраических многообразий ) всегда была частью алгебраической геометрии . Однако в конце 1950-х годов алгебраические многообразия были включены в Гротендика концепцию схемы Александра . Их локальными объектами являются аффинные схемы или простые спектры, которые представляют собой локально окольцованные пространства, образующие категорию, антиэквивалентную (двойственную) категории коммутативных колец с единицей, расширяющую двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над полем k и категория конечно порожденных приведенных k -алгебр. Склейка осуществляется по топологии Зарисского; можно склеить внутри категории локально окольцованных пространств, но также, используя вложение Йонеды, в более абстрактную категорию предпучков множеств над категорией аффинных схем. Топология Зарисского в теоретико-множественном смысле тогда заменяется топологией Зарисского в смысле топологии Гротендика . Гротендик представил топологии Гротендика, имея в виду более экзотические, но геометрически более тонкие и более чувствительные примеры, чем грубая топология Зарисского, а именно этальная топология и две плоские топологии Гротендика: fppf и fpqc. В настоящее время стали известны некоторые другие примеры, в том числе топология Нисневича . Кроме того, пучки могут быть обобщены на стопки в смысле Гротендика, обычно с некоторыми дополнительными условиями представимости, что приводит к стопкам Артина и, что еще лучше, стопкам Делиня-Мамфорда , которые часто называют алгебраическими стопками.

См. также

• Список тем коммутативной алгебры
• Глоссарий коммутативной алгебры
• Комбинаторная коммутативная алгебра
• базис Грёбнера
• Гомологическая алгебра

Ссылки

• Атья, Майкл ; Макдональд, Ян Г. (2018) [1969]. Введение в коммутативную алгебру . ЦРК Пресс. ISBN  978-0-429-96218-9 .
• Бурбаки, Николя (1998) [1989]. «Главы 1–7». Коммутативная алгебра . Элементы математики. Спрингер. ISBN  3-540-64239-0 .
• Бурбаки, Николя (2006) [1983]. «Главы 8 и 9». Коммутативная алгебра . Элементы математики. Спрингер. ISBN  978-3-540-33942-7 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с прицелом на алгебраическую геометрию . Тексты для аспирантов по математике . Том. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag . xvi+785. ISBN  0-387-94268-8 . МР   1322960 .
• Гобло, Реми (2001). Коммутативная алгебра, курсы и исправленные упражнения (2-е изд.). Дюнод. ISBN  2-10-005779-0 .
• Кунц, Эрнст (1985). Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию . Биркгаузер. ISBN  0-8176-3065-1 .
• Мацумура, Хидеюки (1980). Коммутативная алгебра Серия лекций по математике. Том. 56 (2-е изд.). Бенджамин/Каммингс. ISBN  0-8053-7026-9 .
• Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36764-6 .
• Нагата, Масаеши (1975) [1962]. Местные кольца . Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике. Том. 13. Межнаучный подход. ISBN  978-0-88275-228-0 . ОСЛК   1137934 .
• Рид, Майлз (1996). Бакалавриат по коммутативной алгебре . Тексты студентов Лондонского математического общества. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-45889-4 .
• Серр, Жан-Пьер (2000). Локальная алгебра . Монографии Спрингера по математике. Перевод Чина, CheeWhye. Спрингер. ISBN  3-540-66641-9 .
• Шарп, Р.Ю. (2000). Шаги коммутативной алгебры . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 51 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 2000. ISBN  0-521-64623-5 .
• Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1975). Коммутативная алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 28. Спрингер. ISBN  978-0-387-90171-8 . Том II . Том. 29. 1975. ISBN.  978-0-387-90089-6 .