Коммутативная алгебра
Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( июнь 2019 г. ) |
Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
---|
Коммутативная алгебра , впервые известная как теория идеалов , — это раздел алгебры , изучающий коммутативные кольца , их идеалы и модули над такими кольцами. И алгебраическая геометрия , и алгебраическая теория чисел основаны на коммутативной алгебре. Яркие примеры коммутативных колец включают полиномиальные кольца ; кольца целых алгебраических чисел , включая обычные целые числа ; и p -адические целые числа . [1]
Коммутативная алгебра — главный технический инструмент алгебраической геометрии , и многие результаты и понятия коммутативной алгебры тесно связаны с геометрическими понятиями.
Изучение колец, которые не обязательно являются коммутативными, известно как некоммутативная алгебра ; она включает теорию колец , теорию представлений и теорию банаховых алгебр .
Обзор [ править ]
Коммутативная алгебра — это, по сути, изучение колец, встречающихся в теории алгебраических чисел и алгебраической геометрии .
Несколько концепций коммутативных алгебр были разработаны в связи с теорией алгебраических чисел, таких как кольца Дедекинда (основной класс коммутативных колец, встречающихся в теории алгебраических чисел), целочисленные расширения и кольца нормирования .
Кольца полиномов от нескольких неопределенных над полем являются примерами коммутативных колец. Поскольку алгебраическая геометрия по своей сути представляет собой изучение общих нулей этих колец, многие результаты и понятия алгебраической геометрии имеют аналоги в коммутативной алгебре, и их названия часто напоминают об их геометрическом происхождении; например « Размерность Крулля », « локализация кольца », « локальное кольцо », « регулярное кольцо ».
Аффинное алгебраическое многообразие соответствует простому идеалу в кольце многочленов, а точки такого аффинного многообразия соответствуют максимальным идеалам , содержащим этот простой идеал. Топология Зарисского , первоначально определенная на алгебраическом многообразии, была распространена на множества простых идеалов любого коммутативного кольца; для этой топологии замкнутые множества — это множества простых идеалов, содержащих данный идеал.
Спектр кольца — это окольцованное пространство, снабженными топологией Зарисского, и локализациями кольца на открытых множествах базиса образованное простыми идеалами , этой топологии. Это отправная точка теории схем , обобщения алгебраической геометрии, введенной Гротендиком , которая в значительной степени основана на коммутативной алгебре и, в свою очередь, вызвала множество разработок коммутативной алгебры.
История [ править ]
Предмет, впервые известный как идеальная теория , начался с Рихарда Дедекинда работы об идеалах , которая сама основана на более ранних работах Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера . Позже Дэвид Гильберт ввел термин «кольцо» , чтобы обобщить более ранний термин « кольцо чисел» . Гильберт представил более абстрактный подход, чтобы заменить более конкретные и вычислительно-ориентированные методы, основанные на таких вещах, как комплексный анализ и классическая теория инвариантов . В свою очередь, Гильберт сильно повлиял на Эмми Нётер , которая переформулировала многие более ранние результаты в терминах условия восходящей цепи , теперь известного как условие Нётера. Другой важной вехой стала работа ученика Гильберта Эмануэля Ласкера , который ввёл первичные идеалы и доказал первую версию теоремы Ласкера-Нётер .
Главной фигурой, ответственной за зарождение коммутативной алгебры как зрелого предмета, был Вольфганг Крулль , который ввел фундаментальные понятия локализации и пополнения кольца, а также правильных локальных колец . Он разработал концепцию Крулля размерности кольца , сначала для нётеровых колец , а затем перешел к расширению своей теории, чтобы охватить кольца общей оценки и кольца Крулля . По сей день теорема Крулла о главном идеале широко считается единственной и наиболее важной фундаментальной теоремой коммутативной алгебры. Эти результаты проложили путь к введению коммутативной алгебры в алгебраическую геометрию — идея, которая произвела революцию в последнем предмете.
Большая часть современного развития коммутативной алгебры делает упор на модули . Оба идеала кольца R и R -алгебры являются частными случаями R -модулей, поэтому теория модулей охватывает как теорию идеалов, так и теорию расширений колец . Хотя современный подход к коммутативной алгебре с использованием теории модулей уже зародился в работах Кронекера , его обычно приписывают Круллю и Нётер .
и результаты Основные инструменты
Нётеровы кольца [ править ]
, Нётерово кольцо названное в честь Эмми Нётер , — это кольцо, в котором каждый идеал конечно порождён ; то есть все элементы любого идеала можно записать как линейные комбинации конечного набора элементов с коэффициентами в кольце.
Многие обычно рассматриваемые коммутативные кольца являются нётеровыми, в частности, каждое поле , кольцо целого числа и каждое кольцо многочленов от одного или нескольких неопределённых над ними. Тот факт, что кольца многочленов над полем нётеровы, называется базовой теоремой Гильберта .
Более того, многие кольцевые конструкции сохраняют нётеровость. В частности, если коммутативное кольцо R нётерово, то же самое верно для любого кольца многочленов над ним, а также для каждого факторкольца , локализации или пополнения кольца.
Важность свойства нетеровости заключается в его повсеместности, а также в том факте, что многие важные теоремы коммутативной алгебры требуют, чтобы задействованные кольца были нетеровыми. Это касается, в частности, теоремы Ласкера-Нётера , теоремы Крулля о пересечении и теоремы Накаямы. лемма .
Более того, если кольцо нётерово, то оно удовлетворяет условию нисходящей цепи на простых идеалах , из которого следует, что каждое нётерово локальное кольцо имеет конечную размерность Крулля .
Первичное разложение [ править ]
Идеал Q кольца называется примарным, и всякий раз если Q собственный , когда xy ∈ Q , либо x ∈ Q , либо y н ∈ Q для некоторого натурального числа n . В Z первичными идеалами являются именно идеалы вида ( p и ), где p — простое число, а e — целое положительное число. Таким образом, первичное разложение ( n ) соответствует представлению ( n ) как пересечения конечного числа первичных идеалов.
Приведенную здесь теорему Ласкера –Нётер можно рассматривать как определенное обобщение основной теоремы арифметики:
Теорема Ласкера-Нётера — Пусть R коммутативное нётерово кольцо, а I — идеал кольца R. . Тогда меня можно записать как пересечение конечного числа первичных идеалов с различными радикалами ; то есть:
с Q i первичным для всех i и Rad( Q i ) ≠ Rad( Q j ) для i ≠ j . Кроме того, если:
является разложением I с Rad( P i ) ≠ Rad( P j ) для i ≠ j , и оба разложения I неизбыточны ( это означает, что нет правильного подмножества ни { Q 1 , ..., Q t }, ни { P 1 , ..., P k } дает пересечение, равное I ), t = k и (после возможного изменения нумерации Q i ) Rad( Q i ) = Rad( P i ) для всех i .
Для любого первичного разложения I набор всех радикалов, то есть набор {Rad( Q 1 ), ..., Rad( Q t )}, остается прежним по теореме Ласкера – Нётер. На самом деле оказывается, что (для нётерова кольца) множество является именно убийцей модуля R / I ; то есть набор всех аннуляторов / R I R (рассматриваемых как модуль над ) , которые являются простыми.
Локализация [ править ]
Локализация — это формальный способ ввести «знаменатели» данного кольца или модуля. То есть вводит новое кольцо/модуль из существующего так, чтобы оно состояло из дробей
- .
где знаменатели s в заданном подмножестве S R располагаются . Типичным примером является построение кольца Q рациональных чисел из кольца Z целых чисел.
Завершение [ править ]
Пополнение — это любой из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях , которые приводят к полным топологическим кольцам и модулям. Завершение похоже на локализацию , и вместе они являются одними из самых основных инструментов анализа коммутативных колец . Полные коммутативные кольца имеют более простое строение, чем общие, и к ним применима лемма Гензеля .
о идеалах простых Топология Зариского
Топология Зарисского определяет топологию на спектре кольца (множества простых идеалов). [2] В этой формулировке под множествами, замкнутыми по Зарисскому, понимаются множества
где A — фиксированное коммутативное кольцо, а I — идеал. Это определяется по аналогии с классической топологией Зариского, где замкнутые множества в аффинном пространстве определяются полиномиальными уравнениями. Чтобы увидеть связь с классической картиной, заметим, что для любого множества S многочленов (над алгебраически замкнутым полем) из Nullstellensatz Гильберта следует , что точки V ( S ) (в старом смысле) являются в точности кортежами ( a 1 ,..., такой an ( x1 - идеал a1 ; ,..., xn - an что , ) содержит S ) более того, это максимальные идеалы, и согласно «слабому» Nullstellensatz идеал любого аффинного координатного кольца является максимальным тогда и только тогда, когда он имеет этот вид. Таким образом, V ( S ) «то же самое, что» максимальные идеалы, S. содержащие Новаторство Гротендика в определении Spec заключалось в замене максимальных идеалов всеми простыми идеалами; в этой формулировке это наблюдение естественно просто обобщить на определение замкнутого множества в спектре кольца.
Связи с алгебраической геометрией [ править ]
Коммутативная алгебра (в виде колец многочленов и их частных, используемых при определении алгебраических многообразий ) всегда была частью алгебраической геометрии . Однако в конце 1950-х годов алгебраические многообразия были включены в Гротендика концепцию схемы Александра . Их локальными объектами являются аффинные схемы или простые спектры, которые представляют собой локально окольцованные пространства, образующие категорию, антиэквивалентную (двойственную) категории коммутативных колец с единицей, расширяющую двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над полем k и категория конечно порожденных приведенных k -алгебр. Склейка осуществляется по топологии Зарисского; можно склеить внутри категории локально окольцованных пространств, но также, используя вложение Йонеды, в более абстрактную категорию предпучков множеств над категорией аффинных схем. Топология Зарисского в теоретико-множественном смысле тогда заменяется топологией Зарисского в смысле топологии Гротендика . Гротендик представил топологии Гротендика, имея в виду более экзотические, но геометрически более тонкие и более чувствительные примеры, чем грубая топология Зарисского, а именно этальная топология и две плоские топологии Гротендика: fppf и fpqc. В настоящее время стали известны и другие примеры, в том числе топология Нисневича . Кроме того, пучки могут быть обобщены на стопки в смысле Гротендика, обычно с некоторыми дополнительными условиями представимости, что приводит к стопкам Артина и, что еще лучше, стопкам Делиня-Мамфорда , которые часто называют алгебраическими стопками.
См. также [ править ]
- Список тем коммутативной алгебры
- Глоссарий коммутативной алгебры
- Комбинаторная коммутативная алгебра
- База Грёбнер
- Гомологическая алгебра
Примечания [ править ]
- ^ Атья и Макдональд, 1969, Глава 1.
- ^ Даммит, Д.С.; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. стр. 71–72 . ISBN 9780471433347 .
Ссылки [ править ]
- Атья, Майкл ; Макдональд, Ян Г. (2018) [1969]. Введение в коммутативную алгебру . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-429-96218-9 .
- Бурбаки, Николя (1998) [1989]. «Главы 1–7». Коммутативная алгебра . Элементы математики. Спрингер. ISBN 3-540-64239-0 .
- Бурбаки, Николя (2006) [1983]. «Главы 8 и 9». Коммутативная алгебра . Элементы математики. Спрингер. ISBN 978-3-540-33942-7 .
- Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с прицелом на алгебраическую геометрию . Тексты для аспирантов по математике . Том. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag . xvi+785. ISBN 0-387-94268-8 . МР 1322960 .
- Гобло, Реми (2001). Коммутативная алгебра, курсы и исправленные упражнения (2-е изд.). Дюнод. ISBN 2-10-005779-0 .
- Кунц, Эрнст (1985). Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию . Биркгаузер. ISBN 0-8176-3065-1 .
- Мацумура, Хидеюки (1980). Коммутативная алгебра Серия лекций по математике. Том. 56 (2-е изд.). Бенджамин/Каммингс. ISBN 0-8053-7026-9 .
- Мацумура, Хидеюки (1989). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6 .
- Нагата, Масаеши (1975) [1962]. Местные кольца . Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике. Том. 13. Межнаучный подход. ISBN 978-0-88275-228-0 . ОСЛК 1137934 .
- Рид, Майлз (1996). Бакалавриат по коммутативной алгебре . Тексты студентов Лондонского математического общества. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45889-4 .
- Серр, Жан-Пьер (2000). Локальная алгебра . Монографии Спрингера по математике. Перевод Чина, CheeWhye. Спрингер. ISBN 3-540-66641-9 .
- Шарп, Р.Ю. (2000). Шаги коммутативной алгебры . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 51 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 2000. ISBN 0-521-64623-5 .
- Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1975). Коммутативная алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 28. Спрингер. ISBN 978-0-387-90171-8 . Том II . Том. 29. 1975. ISBN. 978-0-387-90089-6 .