Аналитическая теория чисел

Дзета-функция Римана ζ ( s ) в комплексной плоскости . Цвет точки s кодирует значение ζ ( s ): цвета, близкие к черному, обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок значения кодирует аргумент .

В математике , аналитическая теория чисел — это раздел теории чисел который использует методы математического анализа для решения задач о целых числах . Часто говорят, что это началось с Питером Густавом Леженом Дирихле введения Дирихле в 1837 году L -функций , чтобы дать первое доказательство теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . Он хорошо известен своими результатами о простых числах (включая теорему о простых числах и дзета-функцию Римана ) и аддитивной теории чисел (таких как гипотеза Гольдбаха и проблема Варинга ).

Разделы

Аналитическая теория чисел может быть разделена на две основные части, разделенные больше по типу задач, которые они пытаются решить, чем по фундаментальным различиям в технике.

• Мультипликативная теория чисел занимается распределением простых чисел , например оценкой количества простых чисел в интервале, и включает в себя теорему о простых числах и теорему Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях .
• Аддитивная теория чисел занимается аддитивной структурой целых чисел, например, гипотезой Гольдбаха о том, что каждое четное число больше 2 является суммой двух простых чисел. Одним из основных результатов аддитивной теории чисел является решение проблемы Уоринга .

История

Прекурсоры

Большая часть аналитической теории чисел была вдохновлена ​​теоремой о простых числах . Пусть π( x ) будет функцией подсчета простых чисел , которая дает количество простых чисел, меньших или равных x , для любого действительного числа x . Например, π(10) = 4, потому что есть четыре простых числа (2, 3, 5 и 7), которые меньше или равны 10. Тогда теорема о простых числах утверждает, что x / ln( x ) является хорошим приближением к π. ( x ) в том смысле, что двух функций предел частного π( x ) и x / ln( x ) при приближении x к бесконечности равен 1:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,$

известный как асимптотический закон распределения простых чисел.

Адриен-Мари Лежандр выдвинула в 1797 или 1798 году гипотезу, что π( a ) аппроксимируется функцией a /( A ln( a ) + B ), где A и B — неуказанные константы. Во втором издании своей книги по теории чисел (1808 г.) он затем сделал более точную гипотезу: A = 1 и B ≈ -1,08366. Карл Фридрих Гаусс рассматривал тот же вопрос: «Im Jahr 1792 oder 1793» («в 1792 или 1793 году»), по его собственным воспоминаниям почти шестьдесят лет спустя, в письме к Энке (1849 г.) он записал в своей таблице логарифмов (ему тогда было 15 или 16) короткая записка «Примзален унтер» $a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}$"('простые числа под $a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}$'). Но Гаусс никогда не публиковал эту гипотезу. В 1838 году Петер Густав Лежен Дирихле придумал свою собственную аппроксимирующую функцию — логарифмический интеграл li( x ) (в несколько иной форме ряда, которую он сообщил Гауссу). Из формул Лежандра и Дирихле вытекает одна и та же предполагаемая асимптотическая эквивалентность π( x ) и x /ln( x ), указанная выше, хотя оказалось, что приближение Дирихле значительно лучше, если рассматривать разности вместо частных.

Дирихле

Основная статья: Иоганн Петер Густав Лежен Дирихле

Иоганну Петеру Густаву Лежену Дирихле приписывают создание аналитической теории чисел. область, в которой он нашел несколько глубоких результатов и для их доказательства представил некоторые фундаментальные инструменты, многие из которых позже были названы в его честь. В 1837 году он опубликовал теорему Дирихле об арифметических прогрессиях , используя концепции математического анализа для решения алгебраической проблемы и создав таким образом раздел аналитической теории чисел. При доказательстве теоремы он ввёл характеры Дирихле и L-функции . В 1841 году он обобщил свою теорему об арифметических прогрессиях целых чисел на кольцо гауссовских целых чисел. $\mathbb {Z} [i]$.

Chebyshev

Основная статья: Пафнутий Чебышев

В двух статьях 1848 и 1850 годов русский математик Пафнутий Львович Чебышев попытался доказать асимптотический закон распределения простых чисел. Его работа примечательна использованием дзета-функции ζ( s ) (для действительных значений аргумента «s», как и работы Леонарда Эйлера еще в 1737 году), предшествующей знаменитым мемуарам Римана 1859 года, и ему удалось доказать немного более слабая форма асимптотического закона, а именно, что если предел π( x )/( x /ln( x )) при стремлении x к бесконечности вообще существует, то он обязательно равен единице. Ему удалось безоговорочно доказать, что это отношение ограничено сверху и снизу двумя явно заданными константами, близкими к 1, для всех x . Хотя статья Чебышева не доказала теорему о простых числах, его оценки π( x ) были достаточно сильными, чтобы он мог доказать постулат Бертрана существует простое число о том, что между n и 2 n для любого целого числа n ≥ 2.

Риман

Основная статья: Бернхард Риман

" ...весьма вероятно, что все корни настоящие. Однако строгое доказательство этого было бы желательно; однако поиски его я временно оставил в стороне после нескольких мимолетных неудачных попыток, так как оно показалось ненужным для следующей цели моего расследования » .

«…весьма вероятно, что все корни реальны. Конечно, здесь хотелось бы строгого доказательства; мне пришлось на время, после некоторых мимолетных тщетных попыток, временно отложить поиски этого, так как оно представляется ненужным для следующая цель моего расследования».

Изложение Риманом гипотезы Римана из его статьи 1859 года. (Он обсуждал версию дзета-функции, модифицированную так, чтобы ее корни были вещественными, а не на критической линии. См. «Xi-функция Римана».)

Бернхард Риман внес ряд известных вкладов в современную аналитическую теорию чисел. В единственной короткой статье (единственной, которую он опубликовал по теме теории чисел) он исследовал дзета-функцию Римана и установил ее важность для понимания распределения простых чисел . Он выдвинул ряд гипотез о свойствах дзета-функции , одной из которых является известная гипотеза Римана .

Адамар и де ла

Основные статьи: Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен

Развивая идеи Римана, два доказательства теоремы о простых числах были получены независимо Жаком Адамаром и Шарлем Жаном де ла Валле-Пуссеном и появились в одном и том же году (1896 г.). В обоих доказательствах использовались методы комплексного анализа, устанавливающие в качестве основного шага доказательства, что дзета-функция Римана ζ( s ) отлична от нуля для всех комплексных значений переменной s , которые имеют вид s = 1 + it с t > 0. .

Новое время

Самым большим техническим изменением после 1950 года стала разработка ситовых методов . особенно в мультипликативных задачах. Они носят комбинаторный характер и весьма разнообразны. На экстремальную ветвь комбинаторной теории, в свою очередь, большое влияние оказало значение, придаваемое аналитической теорией чисел количественным верхним и нижним границам. Другая недавняя разработка — вероятностная теория чисел . который использует методы теории вероятностей для оценки распределения теоретико-числовых функций, таких как количество простых делителей в числе.

В частности, открытия Итана Чжана , Джеймса Мейнарда , Теренса Тао и Бена Грина основывались на методе Голдстона - Пинца - Йылдырыма , который они первоначально использовали, чтобы доказать, что

$$p_{n+1}-p_{n}\geq o(\log p_{n}).$$

Разработки в аналитической теории чисел часто представляют собой усовершенствования более ранних методов, которые уменьшают ошибки и расширяют их применимость. Например, метод окружности Харди и Литтлвуда был задуман как применение к степенным рядам вблизи единичного круга на комплексной плоскости ; теперь его рассматривают в терминах конечных экспоненциальных сумм (то есть на единичном круге, но с усеченным степенным рядом). необходима Диофантова аппроксимация для вспомогательных функций , которые не являются производящими функциями (их коэффициенты строятся по принципу «ячейки» ) и включают несколько комплексных переменных . Области диофантовой аппроксимации и теории трансцендентности расширились до такой степени, что эти методы были применены к гипотезе Морделла .

и

Теоремы и результаты аналитической теории чисел, как правило, не являются точными структурными результатами о целых числах, для которых более подходят алгебраические и геометрические инструменты. Вместо этого они дают приблизительные границы и оценки для различных теоретико-числовых функций, как иллюстрируют следующие примеры.

Мультипликативная теория чисел

Основная статья: Мультипликативная теория чисел

Евклид показал, что простых чисел бесконечно много. Важным вопросом является определение асимптотического распределения простых чисел; то есть грубое описание того, сколько простых чисел меньше заданного числа. Гаусс , среди прочих, после вычисления большого списка простых чисел, предположил, что количество простых чисел, меньших или равных большому числу N , близко к значению интеграла

$\int _{2}^{N}{\frac {1}{\log t}}\,dt.$

В 1859 году Бернхард Риман использовал комплексный анализ и специальную мероморфную функцию, теперь известную как дзета-функция Римана, чтобы получить аналитическое выражение для количества простых чисел, меньших или равных действительному числу x . Примечательно, что основным членом в формуле Римана был именно указанный выше интеграл, что придавало существенный вес гипотезе Гаусса. Риман обнаружил, что члены ошибки в этом выражении и, следовательно, способ распределения простых чисел тесно связаны с комплексными нулями дзета-функции. Используя идеи Римана и получив дополнительную информацию о нулях дзета-функции, Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен сумели завершить доказательство гипотезы Гаусса. В частности, они доказали, что если

$\pi (x)=({\text{number of primes }}\leq x),$

затем

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.$

Этот замечательный результат сегодня известен как теорема о простых числах . Это центральный результат аналитической теории чисел. Грубо говоря, он утверждает, что при большом числе N количество простых чисел, меньших или равных N, составляет около N /log( N ).

В более общем плане тот же вопрос можно задать о количестве простых чисел в любой арифметической прогрессии a+nq для любого целого числа n . В одном из первых применений аналитических методов к теории чисел Дирихле доказал, что любая арифметическая прогрессия с взаимно простыми числами a и q содержит бесконечно много простых чисел. Теорему о простых числах можно обобщить на эту проблему; сдача в аренду

$\pi (x,a,q)=({\text{number of primes }}\leq x{\text{ such that }}p{\text{ is in the arithmetic progression }}a+nq,n\in \mathbf {Z} ),$

тогда, если a и q взаимно просты,

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1.$

В теории чисел также существует множество глубоких и обширных гипотез, доказательства которых кажутся слишком сложными для современных методов, например, гипотеза о простых числах-близнецах , которая спрашивает, существует ли бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 является простым. В предположении гипотезы Эллиотта – Хальберштама недавно было доказано, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + k является простым для некоторого положительного четного k , не превосходящего 12. Кроме того, это было доказано безоговорочно (т. е. не зависит от недоказанных гипотезы), что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + k является простым для некоторого положительного четного k, не превосходящего 246.

Аддитивная

Основная статья: Аддитивная теория чисел

Одной из наиболее важных проблем аддитивной теории чисел является проблема Уоринга , которая спрашивает, возможно ли для любого k ≥ 2 записать любое положительное целое число как сумму ограниченного числа k -х степеней:

$n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.$

На случай квадратов k = 2 ответил Лагранж в 1770 году, который доказал, что каждое положительное целое число является суммой не более четырех квадратов. Общий случай был доказан Гильбертом в 1909 году с использованием алгебраических методов, которые не давали явных границ. Важным прорывом стало применение аналитических инструментов к проблеме Харди и Литтлвудом . Эти методы известны как метод круга и дают явные верхние оценки для функции G ( k ), наименьшее количество необходимых k -х степеней, например . оценку Виноградова

$G(k)\leq k(3\log k+11).$

Диофантовые задачи

Основная статья: Диофантова задача

Диофантовы задачи связаны с целочисленными решениями полиномиальных уравнений: можно изучать распределение решений, то есть подсчитывать решения в соответствии с некоторой мерой «размера» или высоты .

Важным примером является задача о круге Гаусса , которая требует целых точек ( x   y ), которые удовлетворяют

$x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.$

С геометрической точки зрения, если имеется круг с центром в начале координат на плоскости радиусом r , задача состоит в том, сколько целочисленных точек решетки лежит на круге или внутри него. Нетрудно доказать, что ответ $\pi r^{2}+E(r)$, где $E(r)/r^{2}\to 0$ как $r\to \infty$. Опять же, трудной частью и большим достижением аналитической теории чисел является получение конкретных верхних оценок члена ошибки E ( r ).

Гаусс показал, что $E(r)=O(r)$. В общем, ошибка O ( r ) была бы возможна, если бы единичный круг (или, точнее, замкнутый единичный диск) был заменен расширениями любой ограниченной плоской области с кусочно гладкой границей. Более того, если заменить единичный круг единичным квадратом, погрешность для общей задачи может достигать линейной функции от r . Поэтому получение ошибки, связанной с формой $O(r^{\delta })$ для некоторых $\delta <1$в случае с кругом это значительное улучшение. Первым, кто достиг этого, был Серпинский в 1906 году, показавший $E(r)=O(r^{2/3})$. В 1915 году Харди и Ландау показали, что не существует $E(r)=O(r^{1/2})$. С тех пор целью было показать, что для каждого фиксированного $\epsilon >0$ существует действительное число $C(\epsilon )$ такой, что $E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }$.

В 2000 году Хаксли показал что $E(r)=O(r^{131/208})$, что является лучшим опубликованным результатом.

Методы аналитической теории чисел

Серия Дирихле

Основная статья: Серия Дирихле

Одним из наиболее полезных инструментов мультипликативной теории чисел являются ряды Дирихле , которые являются функциями комплексной переменной, определяемой бесконечным рядом вида

$f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.$

В зависимости от выбора коэффициентов $a_{n}$, этот ряд может сходиться везде, нигде или на некоторой полуплоскости. Во многих случаях, даже если ряд не сходится всюду, определяемую им голоморфную функцию можно аналитически продолжить до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. Полезность подобных функций в мультипликативных задачах можно увидеть в формальном тождестве

$\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};$

следовательно, коэффициенты произведения двух рядов Дирихле являются мультипликативными свертками исходных коэффициентов. такие методы, как частичное суммирование и тауберовы теоремы Кроме того, для получения информации о коэффициентах из аналитической информации о ряде Дирихле можно использовать . Таким образом, общий метод оценки мультипликативной функции состоит в том, чтобы выразить ее в виде ряда Дирихле (или произведения более простого ряда Дирихле с использованием тождеств свертки), рассмотреть этот ряд как сложную функцию и затем преобразовать эту аналитическую информацию обратно в информацию об исходной функции. .

Дзета-функция Римана

Основная статья: дзета-функция Римана

Эйлер показал, что из фундаментальной теоремы арифметики следует (по крайней мере формально) произведение Эйлера

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ for }}s>1$

где произведение берется по всем простым числам p .

Доказательство Эйлера бесконечности простых чисел использует расхождение слагаемого в левой части при s = 1 (так называемый гармонический ряд ), что является чисто аналитическим результатом. Эйлер также был первым, кто использовал аналитические аргументы с целью изучения свойств целых чисел, в частности, путем построения производящих степенных рядов . Это было началом аналитической теории чисел.

Позже Риман рассмотрел эту функцию для комплексных значений s и показал, что эту функцию можно расширить до мероморфной функции на всей плоскости с простым полюсом при s = 1. Эта функция теперь известна как дзета-функция Римана и обозначается через ζ ( с ). По этой функции существует множество литературы, и эта функция является частным случаем более общих L-функций Дирихле .

Аналитические теоретики чисел часто интересуются ошибками аппроксимаций, таких как теорема о простых числах. В этом случае ошибка меньше x /log x . Формула Римана для π( x ) показывает, что член ошибки в этом приближении может быть выражен через нули дзета-функции. В своей статье 1859 года Риман предположил, что все «нетривиальные» нули ζ лежат на прямой $\Re (s)=1/2$но так и не представил доказательств этого утверждения. Эта знаменитая и давняя гипотеза известна как гипотеза Римана и имеет множество глубоких последствий в теории чисел; Фактически, многие важные теоремы были доказаны в предположении, что гипотеза верна. Например, в предположении гипотезы Римана погрешность в теореме о простых числах равна $O(x^{1/2+\varepsilon })$.

В начале 20 века Дж.Х. Харди и Литтлвуд доказали множество результатов о дзета-функции, пытаясь доказать гипотезу Римана. Действительно, в 1914 г. Харди доказал, что на критической прямой имеется бесконечно много нулей дзета-функции.

$\Re (z)=1/2.$

Это привело к нескольким теоремам, описывающим плотность нулей на критической линии.

См. также

• Автоморфная L-функция
• Автоморфная форма
• Программа Ленглендса
• Матричный метод Майера

Ссылки

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001
• Борвейн, Питер ; Чой, Стивен; Руни, Брендан; Вайратмюллер, Андреа, ред. (2008), Гипотеза Римана: ресурс как для любителей, так и для виртуозов , Книги CMS по математике, Нью-Йорк: Springer, doi : 10.1007/978-0-387-72126-2 , ISBN  978-0-387-72125-5
• Давенпорт, Гарольд (2000), Мультипликативная теория чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 74 (3-е исправленное издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-95097-6 , МР   1790423
• Эдвардс, HM (1974), Дзета-функция Римана , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-41740-0 , МР   0466039
• Тененбаум, Джеральд (1995), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 46, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-41261-7

Дальнейшее чтение

• Аюб, Введение в аналитическую теорию чисел
• Х. Л. Монтгомери и Р. К. Воган, Мультипликативная теория чисел I : классическая теория
• Х. Иванец и Э. Ковальски, Аналитическая теория чисел .
• DJ Ньюман, Аналитическая теория чисел , Springer, 1998.

По специальным вопросам особенно известны следующие книги:

• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), Oxford University Press
• Х. Хальберштам и Х. Э. Ричерт, « Ситовые методы».
• Р. К. Воган, Метод Харди – Литтлвуда , 2-й. изд.

Некоторые темы еще не достигли сколько-нибудь глубокой книжной формы. Некоторые примеры: (i) Гипотеза парной корреляции Монтгомери и работа, которая началась с нее, (ii) новые результаты Голдстона, Пинца и Илидрима о малых промежутках между простыми числами и (iii) теорема Грина–Тао, показывающая, что существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии простых чисел.