Составное число

Демонстрация с помощью стержней Кюизенера . делителей составного числа 10

Составные числа можно расположить в прямоугольники , а простые числа — нет.

Составное число – это целое положительное число , которое можно получить путем умножения двух меньших положительных целых чисел. Эквивалентно, это положительное целое число, имеющее хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. Каждое положительное целое число является составным, простым или имеет единицу 1, поэтому составными числами являются именно те числа, которые не являются простыми и не являются единицей.

Например, целое число 14 является составным числом, поскольку оно является произведением двух меньших целых чисел 2 × 7. Аналогично, целые числа 2 и 3 не являются составными числами, поскольку каждое из них можно разделить только на единицу и на себя.

Составные числа до 150:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 3, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150. (последовательность A002808 в OEIS )

Каждое составное число можно записать как произведение двух или более (не обязательно различных) простых чисел. Например, составное число 299 можно записать как 13×23, а составное число 360 можно записать как 2. ³ × 3 ² × 5; более того, это представление уникально с точностью до порядка множителей. Этот факт называется основной теоремой арифметики .

Существует несколько известных тестов на простоту , которые могут определить, является ли число простым или составным, без необходимости выявления факторизации составного входного сигнала.

Типы

Один из способов классификации составных чисел — подсчет количества простых множителей. Составное число с двумя простыми делителями является полупростым или 2-почти простым (сомножители не обязательно должны быть различными, следовательно, включаются квадраты простых чисел). Составное число с тремя различными простыми делителями является сфеническим числом . В некоторых приложениях необходимо различать составные числа с нечетным числом различных простых множителей и числа с четным числом различных простых множителей. Для последнего

$\mu (n)=(-1)^{2x}=1$

(где µ — функция Мёбиуса , а x — половина суммы простых множителей), а для первого

$\mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1.$

Однако для простых чисел функция также возвращает −1 и $\mu (1)=1$. Для числа n с одним или несколькими повторяющимися простыми делителями:

$\mu (n)=0$.

Если все простые множители числа повторяются, то оно называется мощным числом (все совершенные степени являются мощными числами). Если ни один из его простых множителей не повторяется, он называется безквадратным . (Все простые числа и 1 не содержат квадратов.)

Например, 72 = 2 ³ × 3 ² , все простые множители повторяются, поэтому 72 — мощное число. 42 = 2 × 3 × 7, ни один из простых множителей не повторяется, поэтому число 42 не содержит квадратов.

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное изобилие

   Очень обильный

   Сверхобильные и очень сложные

   Колоссально обильный и превосходный высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Дефицит

Другой способ классификации составных чисел — подсчет количества делителей. Все составные числа имеют не менее трёх делителей. В случае квадратов простых чисел эти делители равны $\{1,p,p^{2}\}$. Число n, у которого делителей больше, чем любое число x < n, является составным числом (хотя первые два таких числа — 1 и 2).

Составные числа также называют «прямоугольными числами», но это название также может относиться к проническим числам — числам, которые являются произведением двух последовательных целых чисел.

Еще один способ классификации составных чисел — определить, находятся ли все простые множители ниже или выше некоторого фиксированного (простого) числа. Такие числа называются гладкими числами и грубыми числами соответственно.

См. также

• Каноническое представление натурального числа
• Целочисленная факторизация
• Решето Эратосфена
• Таблица простых коэффициентов

Ссылки

• Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN  0-201-01984-1
• Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN  978-1114541016
• Лонг, Кэлвин Т. (1972), Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.), Лексингтон: DC Heath and Company , LCCN   77-171950
• Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN   68-15225
• Петтофреззо, Энтони Дж.; Биркит, Дональд Р. (1970), Элементы теории чисел , Энглвуд Клиффс: Прентис Холл , LCCN   77-81766

Внешние ссылки

• Списки составных чисел с простой факторизацией (первые 100, 1000, 10000, 100000 и 1000000)
• График делителей (шаблоны, обнаруженные в больших составных числах)