Номер Джуги

Число Джуги — это составное число n такое, что для каждого из его отдельных простых делителей p _i имеем $p_{i}|\left({n \over p_{i}}-1\right)$ , или, что то же самое, такой, что для каждого из его отдельных простых делителей p _i мы имеем $p_{i}^{2}|(n-p_{i})$ .

Числа Джуги названы в честь математика Джузеппе Джуги и связаны с его гипотезой о простоте.

Определения [ править ]

Альтернативное определение числа Джуги, данное Такаши Аго, следующее: составное число n является числом Джуги тогда и только тогда, когда выполняется сравнение

nB_{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}

верно, где B — число Бернулли и $\varphi (n)$ — это полная функция Эйлера .

Эквивалентная формулировка Джузеппе Джуги такова: составное число n является числом Джуги тогда и только тогда, когда выполняется сравнение

\sum _{i=1}^{n-1}i^{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}

и тогда и только тогда, когда

\sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {N} .

Все известные числа Джуги n фактически удовлетворяют более сильному условию

\sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}=1.

Примеры [ править ]

Последовательность чисел Джуги начинается

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 432749205173838, … (последовательность A007850 в OEIS ).

Например, 30 — это число Джуги, поскольку его простые делители — 2, 3 и 5, и мы можем проверить, что

30/2 – 1 = 14, которое делится на 2,
30/3 - 1 = 9, что равно 3 в квадрате, и
30/5 - 1 = 5, сам третий простой множитель.

Свойства [ править ]

Простые делители числа Джуги должны быть различны. Если $p^{2}$ делит $n$ , то отсюда следует, что ${n \over p}-1=m-1$ , где $m=n/p$ делится на $p$ . Следовательно, $m-1$ не делился бы на $p$ , и таким образом $n$ не будет числом Джуги.

Таким образом, числами Джуги могут быть только целые числа без квадратов . Например, делители 60 — это 2, 2, 3 и 5, а 60/2 — 1 = 29, что не делится на 2. Таким образом, 60 не является числом Джуги.

Это исключает квадраты простых чисел, но полупростые числа также не могут быть числами Джуги. Ибо если $n=p_{1}p_{2}$ , с $p_{1}<p_{2}$ простые числа, тогда ${n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ , так $p_{2}$ не будет делить ${n \over p_{2}}-1$ , и таким образом $n$ не является числом Джуги.

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много чисел Джуги?

(еще нерешенные задачи по математике)

Все известные числа Джуги четные. Если существует нечетное число Джуги, оно должно быть произведением как минимум 14 простых чисел . Неизвестно, бесконечно ли много чисел Джуги.

Паоло П. Лава (2009) выдвинул гипотезу, что числа Джуги являются решениями дифференциального уравнения n' = n+1 , где n' — арифметическая производная от n . (Для чисел без квадратов $n=\prod _{i}{p_{i}}$ , $n'=\sum _{i}{\frac {n}{p_{i}}}$ , поэтому n' = n+1 — это просто последнее уравнение в приведенном выше разделе «Определения» , умноженное на n .)

Хосе Мª Грау и Антонио Оллер-Марсен показали, что целое число n является числом Джуги тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию n' = an + 1 для некоторого целого числа a > 0, где n' — арифметическая производная от n . (Опять же, n' = an + 1 идентично третьему уравнению в Определениях , умноженному на n .)

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Число Джуги» . Математический мир .
Борвейн, Д. ; Борвейн, Дж. М. ; Борвейн, ПБ ; Гиргенсон, Р. (1996). «Гипотеза Джуги о первичности» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 103 (1): 40–50. CiteSeerX 10.1.1.586.1424 . дои : 10.2307/2975213 . JSTOR 2975213 . Збл 0860.11003 . Архивировано из оригинала (PDF) 31 мая 2005 г.
Бальзаротти, Джорджо; Лава, Паоло П. (2010). Сто три математических курьеза . Милан: Hoepli Editore. п. 129. ИСБН 978-88-203-4556-3 .