Основная омега-функция

В теории чисел простые омега-функции $\omega (n)$ и $\Omega (n)$ подсчитать количество простых делителей натурального числа $n.$ Тем самым $\omega (n)$ (маленькая омега) считает каждый отдельный простой множитель, тогда как соответствующая функция $\Omega (n)$ (большая омега) подсчитывает общее количество простых делителей $n,$ учитывая их кратность (см. арифметическую функцию ). То есть, если у нас есть простая факторизация $n$ формы $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}$ для различных простых чисел $p_{i}$ ( $1\leq i\leq k$), то соответствующие простые омега-функции имеют вид $\omega (n)=k$ и $\Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}$. Эти функции подсчета простых множителей имеют множество важных теоретико-числовых соотношений.

Свойства и отношения

Функция $\omega (n)$ является аддитивным и $\Omega (n)$ является полностью аддитивным .

$\omega (n)=\sum _{p\mid n}1$

Если $p$ делит $n$ хотя бы один раз мы считаем его только один раз, например $\omega (12)=\omega (2^{2}3)=2$.

$\Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha$

Если $p$ делит $n$ $\alpha \geq 1$ раз, то мы считаем показатели степени, например $\Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3$. По-прежнему, $p^{\alpha }\parallel n$ означает $\alpha$ это точная мощность $p$ разделяющий $n$.

$\Omega (n)\geq \omega (n)$

Если $\Omega (n)=\omega (n)$ затем $n$ бесквадратна соотношением и связана с Мёбиуса функцией

$\mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}$

Если $\omega (n)=1$ затем $n$ является основной степенью, и если $\Omega (n)=1$ затем $n$ является простым числом.

Известно, что средний порядок функции делителя удовлетворяет условию $2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}$.

Как и для многих арифметических функций, для нее не существует явной формулы. $\Omega (n)$ или $\omega (n)$ но есть приближения.

Асимптотический ряд для среднего порядка $\omega (n)$ дается

${\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},$

где $B_{1}\approx 0.26149721$ – постоянная Мертенса и $\gamma _{j}$ — константы Стилтьеса .

Функция $\omega (n)$ связано с суммами делителей по функции Мёбиуса и функцией делителей, включая следующие суммы.

$\sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}$

$\sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}$

$\sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})$

$\sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)$

$\sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )$

$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})$

$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)$

Характеристическую функцию простых чисел можно выразить сверткой с Функция Мёбиуса :

$\chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).$

Точная идентификация, связанная с разделом, для $\omega (n)$ дается

$\omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],$

где $p(n)$ это функция распределения , $\mu (n)$ — функция Мёбиуса , а треугольная последовательность $s_{n,k}$ расширяется за счет

$s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),$

в терминах бесконечного символа q-Похгаммера и ограниченных статистических сумм $s_{o/e}(n,k)$ которые соответственно обозначают количество $k$во всех разделах $n$ на нечетное ( четное ) количество отдельных частей.

Продолжение комплексной плоскости

Продолжение $\omega (n)$ найдено, хотя оно не везде аналитично. Обратите внимание, что нормализованный $\operatorname {sinc}$ функция $\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$ используется.

$\omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(x^{2}+x-yz\right)\right)\right)$

Средний порядок и суммирующие функции

Средний заказ того и другого $\omega (n)$ и $\Omega (n)$ является $\log \log n$. Когда $n$ является простым, нижняя граница значения функции равна $\omega (n)=1$. Аналогично, если $n$ примитивна , то функция имеет такой же размер, как $\omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}$ в среднем заказе. Когда $n$ является степенью 2 , то $\Omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log 2}}$ .

Асимптотика суммирующих функций по $\omega (n)$, $\Omega (n)$, и $\omega (n)^{2}$ соответственно вычисляются в Харди и Райте как

${\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}$

где $B_{1}\approx 0.2614972128$ – постоянная Мертенса и константа $B_{2}$ определяется

$B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.$

Другие суммы, связывающие два варианта простых омега-функций, включают:

$\sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),$

и

$\#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).$

Пример I: Модифицированная суммирующая функция

В этом примере мы предлагаем вариант суммирующих функций $S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)$ оцененные в приведенных выше результатах для достаточно больших $x$. Затем мы докажем асимптотическую формулу роста этой модифицированной суммирующей функции, полученную из асимптотической оценки $S_{\omega }(x)$ представлено в формулах в основном подразделе этой статьи выше.

Чтобы быть совсем точным, пусть суммирующая функция с нечетным индексом определяется как

$S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{\text{ odd}}],$

где $[\cdot ]$ обозначает скобку Айверсона . Тогда у нас есть это

$S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}}\right\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}}\right]+O\left({\frac {x}{\log x}}\right).$

Доказательство этого результата следует, сначала заметив, что

$\omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{\text{if }}n{\text{ is odd; }}\\\omega (n),&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\end{cases}}$

а затем применив асимптотический результат Харди и Райта для суммирующей функции по $\omega (n)$, обозначенный $S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)$, в следующем виде:

${\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2)\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor \right)+\left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor .\end{aligned}}$

Пример II: Суммирующие функции для так называемых факториальных моментов ω(n)

Вычисления, расширенные в главе 22.11 Харди и Райта, дают асимптотические оценки суммирующей функции

$\omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\},$

оценивая произведение этих двух компонентных омега-функций как

$\omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p\neq q}{p,q{\text{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{\text{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{\text{ prime}}}}1.$

Аналогичным образом мы можем вычислить асимптотические формулы в более общем смысле для соответствующих суммирующих функций по так называемым факториальным моментам функции $\omega (n)$.

Серия Дирихле

Известная серия Дирихле, включающая $\omega (n)$ а дзета-функция Римана определяется выражением

$\sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.$

Мы также можем это видеть

$\sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}}\right),|z|<2,\Re (s)>1,$

$\sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,$

Функция $\Omega (n)$ , полностью аддитивна где $\omega (n)$ является сильно аддитивным (аддитивным) . Теперь мы можем доказать короткую лемму в следующем виде, из которой вытекают точные формулы для разложений ряда Дирихле по обеим сторонам: $\omega (n)$ и $\Omega (n)$:

Лемма. Предположим, что $f$ является сильно аддитивной арифметической функцией, определенной так, что ее значения в простых степенях определяются выражением $f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )$, то есть, $f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})$ для различных простых чисел $p_{i}$ и показатели $\alpha _{i}\geq 1$. Серия «Дирихле ». $f$ расширяется за счет

$\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).$

Доказательство. Мы можем видеть это

$\sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).$

Это означает, что

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}$

везде, где соответствующие ряды и произведения сходятся. В последнем уравнении мы использовали произведения Эйлера представление дзета-функции Римана . $\boxdot$

Из леммы следует, что для $\Re (s)>1$,

${\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega \lambda }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda (n)\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s),\end{aligned}}$

где $P(s)$ является простой дзета-функцией и $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$ это Лямбда-функция Лиувилля .

Распределение разности простых омега-функций

Распределение различных целочисленных значений разностей $\Omega (n)-\omega (n)$ является регулярным по сравнению с полуслучайными свойствами составляющих функций. Для $k\geq 0$, определять

$N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).$

Эти мощности имеют соответствующую последовательность предельных плотностей $d_{k}$ такой, что для $x\geq 2$

$N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).$

Эти плотности создаются основными продуктами

$\sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).$

С абсолютной константой ${\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}$, плотности $d_{k}$ удовлетворить

$d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).$

Сравните с определением основных продуктов, данным в последнем разделе по отношению к теореме Эрдеша–Каца .

См. также

• Аддитивная функция
• Арифметическая функция
• Теорема Эрдеша – Каца
• Омега-функция (значения)
• Простое число
• Целое число без квадратов

Ссылки

• Г.Х. Харди и Э.М. Райт (2006). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
• Х. Л. Монтгомери и Р. К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
• Шмидт, Макси (2017). «Теоремы факторизации для произведений Адамара и производных высших порядков производящих функций рядов Ламберта». arXiv : 1712.00608 [ math.NT ].
• Вайсштейн, Эрик. «Различные простые факторы» . Математический мир . Проверено 22 апреля 2018 г.

Внешние ссылки

• OEIS Wiki для связанных порядковых номеров и таблиц.
• OEIS Wiki на Prime Factors